Gazdaságstatisztika 12. előadás

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Valószínűségi változók jellemzői

Valószínűségi változó várható értéke Diszkrét eset Legyenek a valószínűségi változó lehetséges értékei . Ekkor a értéket várható értékének nevezzük (feltéve, hogy a sor konvergens). Folytonos eset Legyen a folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az függvény. Ekkor várható értéke: (feltéve, hogy ). A várható értékét általában -vel vagy -vel jelöljük. Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változó várható értéke Megjegyzés Ez egy definíció A várható érték nem biztos, hogy a valószínűségi változó azon értéke, melyet a legnagyobb valószínűséggel vesz fel, lehet, hogy nem is eleme a valószínűségi változó értékkészletének. Pl. kockadobás várható értéke. A várható érték néhány tulajdonsága Ha konstans, akkor Ha várható értéke létezik és egy konstans, akkor Ha a valószínűségi változóknak létezik várható értékük, akkor Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változó varianciája és szórása A várható érték önmagában nem elegendő, mert nem nyújt információt arról, hogy a valószínűségi változó lehetséges értékei hogyan szóródnak a várható érték körül. Ha és létezik, akkor az mennyiséget a valószínűségi változó szórásnégyzetének, vagy varianciájának nevezzük és -vel jelöljük. A variancia a várható értéktől vett eltérés négyzetének várható értéke. A variancia pozitív négyzetgyökét szórásnak nevezzük és -vel jelöljük: Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változó varianciája és szórása A várható érték tulajdonságainak felhasználásával a variancia “egyszerűsítése”: A variancia néhány további tulajdonsága Ha létezik és a és b két tetszőleges valós szám, akkor Ha a valószínűségi változók páronként függetlenek és szórásaik léteznek, akkor Gazdaságstatisztika

Példa Határozzuk meg két szabályos kockával dobás esetén a dobott számok összegének várható értékét, szórását és annak a valószínűségét, hogy a dobott számok összege 4-nél nagyobb, de kisebb mint 9! k pk F(k) 2 1/36 0 3 2/36 1/36 4 3/36 3/36 5 4/36 6/36 6 5/36 10/36 7 6/36 15/36 8 5/36 21/36 : : : 12 1/36 35/36 Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Diszkrét elméleti eloszlások

Számunkra fontos diszkrét elméleti eloszlások Elméletileg végtelen sok diszkrét eloszlástípus van. A műszaki, gazdasági gyakorlatban azonban viszonylag kis számú diszkért valószínűségeloszlás-típus fordul elő. Ezek közül a legfontosabbak a következők: Bernoulli eloszlás Diszkrét egyenletes eloszlás Binomiális eloszlás Poisson eloszlás Hipergeometrikus eloszlás Gazdaságstatisztika

Bernoulli-eloszlás (kiegészítő anyag) A valószínűségi változó p-paraméterű Bernoulli-eloszlású, ha lehetséges értékei 0 és 1, és , , ahol . Várható érték: Szórás: Példa Legyen az A esemény bekövetkezésének valószínűsége P(A)=p, Legyen Ekkor egy p= P(A) paraméterű Bernoulli eloszlású valószínűségi váltózó. Gazdaságstatisztika

A Bernoulli család - Jacob (kiegészítő anyag) Sok terület Matematika Fizika Közgazdaságtan Alkalmazott tudományok Gazdaságstatisztika

Diszkrét egyenletes eloszlás A valószínűségi változó egyenletes eloszlású, ha véges sok értéket vehet fel és ezek egyenlő valószínűségűek. Várható érték: Szórásnégyzet: A gyakorlatban leginkább a szerencsejátékokkal kapcsolatban találkozhatunk vele. Pl. kockadobás, kártyahúzás Gazdaságstatisztika

Binomiális eloszlás A valószínűségi változó binomiális eloszlású az n, p paraméterekkel, ha Várható érték: Szórásnégyzet: Háttér Legyen A egy esemény, s végezzünk független kísérleteket n-szer. Legyen A bekövetkezéseinek száma. Ekkor binomiális eloszlású az n és p=P(A) paraméterekkel. A binomiális eloszlást a gyakorlatban elsősorban a visszatevéses mintavétel során alkalmazzuk. Ha n=1, akkor a binomiális eloszlás a Bernoulli eloszlásba megy át. Azaz a Bernoulli eloszlás a binomiális eloszlás egy speciális esete. Gazdaságstatisztika

Példa (*) Egy gépgyárban készített tengelyekkel kapcsolatban az a tapasztalat, hogy 5%-uk nem felel meg a minőségi elvárásoknak. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlenül kiválasztott 5 tengely közül a.) mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak? b.) egyik sem felel meg a minőségi elvárásoknak? c.) legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak? Gazdaságstatisztika

Példa (*) - megoldás Jelentse a nem megfelelő termékek számát a kiválasztott 5 termékből. binomiális eloszlású. 5% nem felel meg => a.) mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak  0 db nem megfelelő van 0,7738 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül mindegyik megfelel a minőségi elvárásoknak. b.) egyik sem felel meg a minőségi elvárásoknak  Közel 0 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül egyik sem felel meg az elvárásoknak. c.) legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak  legfeljebb 1 nem felel meg a minőségi elvárásoknak  0,9774 annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott 5 tengely közül legalább 4 megfelel a minőségi elvárásoknak. Gazdaságstatisztika

Poisson-eloszlás A valószínűségi változó Poisson-eloszlású a paraméterrel, ha Várható érték: Szórásnégyzet: Háttér Nagy gyakorlati jelentőségű diszkrét eloszlás Ritkán bekövetkező esemény bekövetkezéseinek száma ezzel az eloszlással írható le Az egyenesen, síkon, térben véletlenszerűen elhelyezkedő pontok esetén egy adott tartományba eső pontok száma, vagy a véletlenszerű időpontokban bekövetkező eseményeknél adott időtartam alatt bekövetkező események száma igen gyakran Poisson-eloszlású. Gazdaságstatisztika

Siméon Poisson Siméon Poisson (1781-1840) Francia matematikus és fizikus Lagrange és Laplace tanítványa Munkássága nagyon sokoldalú, tisztán elméleti. (Határozott integrálok, Fourier sorok, valószínűségszámítás) Gazdaságstatisztika

A Poisson- és a binomiális eloszlás kapcsolata Legyen A egy esemény, és legyen A bekövetkezéseinek száma n megfigyelésből és p=P(A). Ekkor tudjuk, hogy binomiális eloszlású az n, p paraméterekkel, tudjuk továbbá, hogy Legyen rögzítettet, pozitív szám. Az A esemény n megfigyelésből várhatóan ennyiszer következik be. Ha n nő, akkor csökken, azaz A bekövetkezési valószínűsége csökken. Belátható, hogy Következmény Ha a valószínűségi változó binomiális eloszlású az n, p paraméterekkel és n elég nagy és p kicsi, akkor a binomiális eloszlást a  = np paraméterű Poisson-eloszlással közelíthetjük. Gazdaságstatisztika

Példa (*) Egy mobilszolgáltatónál elvégzett vizsgálatok azt mutatták, hogy 200 nap alatt átlagosan 40 alkalommal történik váratlan kimaradás a szolgáltatásban. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt a.) 1 kimaradás történik a szolgáltatásban? b.) történik kimaradás a szolgáltatásban? c.) legfeljebb 1 kimaradás történik a szolgáltatásban? Gazdaságstatisztika

Példa (*) - megoldás Mivel 200 nap alatt átlagosan 40 alkalommal történik szolgáltatás-kimaradás ezért 10 nap alatt várhatóan 2 alkalommal történik szolgáltatás-kimaradás. (p=10/200 = 0,05 a szolgáltatás-kimaradás valószínűsége.) Ez alapján a 10 nap alatt bekövetkező szolgáltatás-kimaradások számáról feltételezhetjük, hogy Poisson-eloszlású valószínűségi változó várható értékkel. a.) 1 kimaradás történik a szolgáltatásban (10 nap alatt)? 0,2707 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt 1 szolgáltatás-kimaradás történik. b.) történik kimaradás a szolgáltatásban (10 nap alatt)? 0,8647 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt történik szolgáltatás-kimaradás. Gazdaságstatisztika

Példa (*) - megoldás c.) legfeljebb 1 kimaradás történik a szolgáltatásban (10 nap alatt)? 0,4060 a valószínűsége annak, hogy 10 nap alatt legfeljebb 1 szolgáltatás-kimaradás történik. Megjegyzés A feladat az n=40, p=0,05 paraméterű binomiális eloszlás felhasználásával is megoldható Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Folytonos elméleti eloszlások

Számunkra fontos folytonos elméleti eloszlások A műszaki, gazdasági gyakorlatban a következő folytonos elméleti eloszlások nagy jelentőséggel bírnak. Folytonos egyenletes eloszlás Exponenciális eloszlás Normális (Gauss) eloszlás Gazdaságstatisztika

Folytonos egyenletes eloszlás A valószínűségi változó folytonos egyenletes eloszlású az (a,b) intervallumon, ha f sűrűségfüggvénye: Várható érték: Szórás: Eloszlásfüggvény: Gazdaságstatisztika

Exponenciális eloszlás A valószínűségi változó paraméterű exponenciális eloszlású, ha f sűrűségfüggvénye: Várható érték: Szórás: Eloszlásfüggvény: Háttér Exponenciális eloszlás leginkább bizonyos véletlen hosszúságú időtartamok eloszlásaként lép fel. Exponenciális eloszlással írható le például egy olyan berendezésnek ill. alkatrésznek az élettartama, hibamentes működési ideje, melynek tönkremenetelét nem kopás vagy természetes elhasználódás okozza, hanem váratlan törés szakadás illetve egyéb véletlen ok. Gazdaságstatisztika

Példa (*) Egy fodrászatban a vendégek által várakozással eltöltött időről kimutatták, hogy exponenciális eloszlású. További vizsgálatok azt mutatták, hogy az átlagos várakozási idő 20 perc. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy vendég a.) 10 percnél rövidebb ideig várakozik? b.) pontosan 5 percig várakozik? c.) 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik? Gazdaságstatisztika

Példa (*) - megoldás Legyen a valószínűségi változó a várakozással eltöltött idő. Az átlagos várakozási idő 20 perc, ezért perc. Tudjuk, hogy , így 1/perc. a.) 10-percnél rövidebb ideig várakozik? 0,3935 a valószínűsége annak, hogy egy vendég 10 percnél rövidebb ideig várakozik. b.) pontosan 5 percig várakozik? 0 a valószínűsége annak, hogy egy vendég pontosan 5 percig várakozik. c.) 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik? 0,2386 a valószínűsége annak, hogy egy vendég 10 percnél hosszabb, de 20 percnél rövidebb ideig várakozik Gazdaságstatisztika