Gazdaságstatisztika 11. előadás

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Valószínűségszámítási alapok

Néhány alaptétel Ha az A esemény valószínűsége P(A), akkor a komplementer esemény valószínűsége Bizonyítás A ii.) és iii.) axióma alapján Ha AB, akkor P(B-A) = P(B) – P(A) és és diszjunktak, ezért a iii.) axióma szerint ebből Következmény Az i.) axióma szerint P(A), P(B) és P(A+B) nemnegatív, s mivel P(B) = P(A)+P(B-A), így P(B)P(A) Gazdaságstatisztika

Néhány alaptétel Tetszőleges A és B eseményre érvényes, hogy Bizonyítás és diszjunktak ezért a iii.) axióma szerint továbbá ezért az előző tétel szerint: így Megjegyzés Ez az ún. Poincare-formula két eseményre Gazdaságstatisztika

Valószínűségek meghatározásának módszerei A valószínűségi mező jellemzőitől függően különböző módszerek lehetségesek Mi két valószínűségi mezővel foglalkozunk Klasszikus valószínűségi mező Geometriai valószínűségi mező Egy valószínűségi mező klasszikus, ha  véges halmaz és minden elemi esemény bekövetkezése azonos valószínűségű, azaz , ahol c konstans. Mivel , ezért , azaz Ha , akkor Gazdaságstatisztika

Valószínűségek meghatározásának módszerei Klasszikus valószínűségi mező esetén egy A esemény valószínűsége k: kedvező esetek száma n: összes eset száma Ez a valószínűség klasszikus (vagy kombinatorikus) meghatározási módja Ha egy kísérletben az eseménytér n számú egyenlően valószínű elemi eseményt tartalmaz, akkor a kísérlettel kapcsolatban megfogalmazható bármely véletlen esemény valószínűségét megkapjuk, ha a véletlen eseményt alkotó elemi események k számát elosztjuk az összes elemi esemény n számával. Gazdaságstatisztika

Valószínűségek meghatározásának módszerei Geomteriai valószínűség  egy geometriai halmaz (1 dimenziós, 2 dimenziós, stb.), A Ha egy olyan mérték az  halmazon (pl. hossz, terület, térfogat), amelyre és véges és a pontok egyenletesen oszlanak el az  halmazon (egyenletességi hipotézis), akkor ahol c konstans. Mivel , ezért , így . Ha egy véletlen kísérlettel kapcsolatos elemi eseményeket egy korlátos geometriai alakzat (szakasz, ív, síkidom v. test) pontjainak véletlenszerű kiválasztásával modellezhetünk, és a pontok egyenletes eloszlására vonatkozó feltétel teljesül, akkor a kísérlettel kapcsolatos események valószínűségét geometriai módszerekkel (hosszúság, terület v. térfogat kiszámításával) határozhatjuk meg.* * Reimann J. – Tóth J.: Valószínűségszámítás és matematikai statisztika, Tankönyvkiadó, Budapest, 1985, pp. 29. Gazdaságstatisztika

Példa Kockadobás esetén (szabályos kockával dobva) jelentse A azt az eseményt, hogy a dobott pontszám páros, B pedig azt, hogy a dobott pontszám 3-nál nagyobb. Határozzuk meg a P(A), P(B), P(AB) és P(A+B) valószínűségeket! Megoldás Az eseménytér az {1; 2; 3; 4; 5; 6} halmaz. Az összes eset száma 6. Az A esemény akkor következik be, ha a 2, 4,6 elemi események valamelyike a kimenetel. Ezért az A eseményre a kedvező esetek száma 3. A B esemény akkor következik be, a 4, 5, 6 elemi események valamelyike a kimenetel. Ezért a B eseményre a kedvező esetek száma 3. AB = {4;6}, A+B = {2; 4; 5; 6} P(A+B) a Poincare formulával: Gazdaságstatisztika

Példa Egy 10 cm sugarú kör alakú céltáblán a céltáblával koncentrikus 1 cm sugarú körbe érkező lövések értéke 10 pont. Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy a céltáblát eltaláló véletlen lövés 10 pont értékű? Megoldás Az Ω eseménytér a céltábla pontjainak halmaza, A pedig az 1 cm sugarú belső kör pontjainak halmaza. Tegyük fel, hogy teljesül az egyenletességi hipotézis, azaz egy véletlen lövés azonos valószínűséggel érhet a céltábla bármely pontjába. Ekkor a keresett valószínűség: Gazdaságstatisztika

Gazdaságstatisztika VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ, ELMÉLETI ELOSZLÁSOK Valószínűségi változók jellemzői

Valószínűségi változó Legyen egy tetszőleges valószínűségi kísérletet leíró valószínűségi mező. A leképezést valószínűségi változónak nevezzük. Szokásos jelölés: helyett csak . Szokásos még az jelölés. Egy kísérlettel kapcsolatos eseménytéren minden elemi eseményhez egyértelműen hozzárendelünk egy valós számot. Ez a hozzárendelés a valószínűségi változó. Például Kockadobás esetén a felső lapon látható pontok számát rendeljük hozzá az adott kimenetelhez Kockadobás esetén a felső lapon látható pontok négyzetét rendeljük hozzá az adott kimenetelhez Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változók két nevezetes osztálya Attól függően hogy a valószínűségi változó milyen értékeket vehet fel beszélhetünk diszkrét és folytonos valószínűségi változóról. Diszkrét valószínűségi változó Véges, vagy megszámlálhatóan végtelen sok különböző értéket vehet fel. Például: selejtes termékek száma, születések száma, vizsgajegy Folytonos valószínűségi változó Megszámlálhatatlanul végtelen sok értéket vehet fel. Például a telefonbeszélgetések hossza, vagy motorgyártásnál a henger felületi érdessége, a BUX index értéke, az ország GDP-je Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változók jellemzői Diszkrét Folytonos Eloszlásfüggvény Valószínűség-eloszlás f. Sűrűségfüggvény Várható érték (Elméleti) szórás F(k) F(x) pk — — f(x) E() E() D() D() Gazdaságstatisztika

Valószínűség-eloszlás függvény Egy diszkrét valószínűségi változó minden lehetséges értékéhez megadja annak a valószínűségét, hogy a valószínűségi változó az adott értéket veszi fel. A valószínűség-eloszlás függvény tulajdonságai: Folytonos valószínűségi változó esetén minden k-ra. Gazdaságstatisztika

Valószínűség-eloszlás függvény A kockadobás valószínűség-eloszlás függvényének grafikonja pk 1/6 1 2 3 4 5 6 k Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye Egy valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye minden valós x értékhez megadja annak a valószínűségét, hogy . Az eloszlásfüggvény tulajdonságai: Monoton növekvő Balról folytonos és Diszkrét valószínűségi változó esetén a valószínűség-eloszlás függvény és az F eloszlásfüggvény kapcsolata: Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változó eloszlásfüggvénye A kockadobás eloszlásfüggvényének grafikonja 1/6 1 2 3 4 5 6 x F(x) 1/3 1/2 2/3 5/6 1 Gazdaságstatisztika

Folytonos valószínűségi változó sűrűségfüggvénye Ha a valószínűségi változó F eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt deriválható (véges sok hely kivételével mindenütt), akkor az f=F’ deriváltfüggvényt a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének nevezzük. Az sűrűségfüggvény tulajdonságai: Mivel monoton növekvő, ezért Mivel és , ezért , azaz a sűrűségfüggvény-görbe alatti terület 1. Az eloszlás és sűrűségfüggvény kapcsolata Gazdaságstatisztika

Valószínűségi változók függetlensége (kiegészítő anyag) A valószínűségi változók teljesen függetlenek, ha minden valós számok esetén azaz A valószínűségi változók páronként függetlenek, ha közülük bármely kettő független, azaz minden esetén Gazdaságstatisztika