8. Gyakorisági táblázatok elemzése (statisztikai elemzések arányokkal, illetve diszkrét változókkal)

Tartalom Arányokra vonatkozó hipotézisek vizsgálata (eloszlásvizsgálat 2-próbával) Arányok összehasonlítása összetartozó és független minták segítségével Diszkrét változók kapcsolatvizsgálata

Diszkrét változók eloszlásában Hol találkozunk arányokkal? Diszkrét változók eloszlásában

Példa diszkrét eloszlásra Érték: 1 2 3 Arány: 0,20 0,35 0,40 0,05

Néhány példa diszkrét változóra Személy neme (x1 = férfi, x2 = nő) Iskolázottsági szint (x1 = Alsófok, x2 = Középfok, x3 = Felsőfok) 5-fokú skálaváltozók Diagnózis (x1 = Neurózis, x2 = Szkizofrénia, ...) Kor (x1 = 18-35 év, x2 = 36-55 év, x3 = 56-99 év)

Kiemelt fontosságú diszkrét változók Változó típusa Kvantitatív Kvalitatív Arány Intervallum Ordinális Nominális

Statisztikai problématípusok arányok esetén

1. Eloszlásvizsgálatok Csoki nyuszitojást milyen színű papírban viszik (veszik) a leginkább? (piros, zöld ...) Fiúból, vagy lányból születik-e több? Szmogriadó esetén, ha csak a páratlan rendszámú autók közlekedhetnek: Kisebb-e a páros rendszámúak aránya? Kisebb-e 1/3-nál a páros rendszámúak aránya?

2a. Homogenitásvizsgálatok (Arányok összehasonlítása független minták segítségével) Igaz-e, hogy a nők között több neurotikus van, mint a férfiak között? Ugyanolyan-e Bp.-en a Koronás, a Kádár- és a Kossuth-címer kedveltsége, mint vidéken?

2b. Homogenitásvizsgálatok (Arányok összehasonlítása összetartozó minták segítségével) Változik-e a dohányosok aránya egy előadássorozat hatására különböző időpontokban? Változik-e a pártok kedveltségi aránya két vagy több időpont között?

3. Két diszkrét változó kapcsolatának vizsgálata (Kapcsolatvizsgálatok) Függ-e a pártpreferencia az iskolázottságtól? Milyen szoros kapcsolatban van a fenti két változó egymással?

Problématípusok rendszere

1. Eloszlásvizsgálatok Példa: A Koronás, a Kádár és a Kossuth címer kedveltsége egy 939 fős mintában. Koronás címer Kádár-címer Kossuth-címer Összes személy 708 109 122 939

Százalékos megoszlási arányok

Lehetséges nullhipotézisek a) H0: Koronás: 60%, Kádár: 20%, Kossuth: 20% b) H0: Koronás: 40%, Kádár: 20%, Kossuth: 40% c) H0: Koronás = Kádár = Kossuth = 33,3%

A khi-négyzet-próba alapötlete A mintabeli kapott és a nullhipotézis igaz volta esetén várt gyakoriságok összehasonlítása és a köztük lévő különbségekből egy c2 próbastatisztika kiszámítása. Szabadságfok: f = g - 1

khi-négyzet-próbával Eloszlásvizsgálat khi-négyzet-próbával Minél nagyobb az eltérés a kapott és a várt gyakoriságok között, annál valószínűbb, hogy H0 nem igaz. Az eltérés egyik mértéke a c2 próbastatisztika. Ha igaz H0, ez a mennyiség közelítőleg c2-eloszlású. Ha c2 elég nagy, akkor H0-t elutasítjuk.

A c2-próba végrehajtása Kapott gyak. 708 109 122 S=939 Várt gyak. 313 313 313 S=939 c2 = (708-313)2/313 + ... = 892,09 > c20,01 = 9,21 (f = 2; p < 0,01 szignifikáns) Mivel a c2-érték elég nagy, a nullhipotézist elutasítjuk. ‘A 3 címert kedvelők aránya szignifikánsan különbözik.’

Másik példa: Választás 2010 Adatok: 1000 személy pártpreferencia értékei: melyik pártra szavazna? Értékek: FIDESZ, MDF, MSZP, SZDSZ, JOBBIK, Egyéb (más párt vagy nem válaszol) Kapott gyakoriságok: n1 = 515, n2 = 13, n3 = 145, n4 = 12, n5 = 115

Megválaszolandó kérdések Bekerül-e a parlamentbe az SZDSZ? Nullhipotézis: P(SZDSZ) = 0,05 Adatok: n1 = 12, n2 = 790, várt gyak. = ? Győz-e az MSZP-vel szemben a FIDESZ? Nullhipotézis: P(FIDESZ) = P(MSZP) Adatok: n1 = 515, n2 = 145, várt gyak. = ?

2a. Két populáció összehasonlítása diszkrét változó segítségével Kérdés: Budapestiek és vidékiek között van-e különbség a címerpreferencia tekintetében? Nullhipotézis: A két populációban a címerválasztási arányok ugyananazok

Kétszempontos gyakorisági táblázat Koronás Kádár Kossuth Össz. Bpest 116 15 32 n1 =163 Vidék 592 94 90 n2 =776 Össz.: 708 109 122 N =939

Arányok összehasonlítása (sorösszegek szerinti százalékok) Koronás Kádár Kossuth Össz. Bpest 71,2% 9,2% 19,6% 100% Vidék 76,3% 12,1% 11,6% 100%

Általános khi-négyzet-próba H0 igaz volta esetén a próbastatisztika c2-eloszlást követ. Szabadságfok: f = (sorok száma - 1)×(oszlopok száma - 1). c2 < c20,05: H0-t 5%-os szinten nem utasítjuk el. c2 ³ c20,05 : H0-t 5%-os szinten elutasítjuk.

A címeres példa eredménye Sorok száma: g = 2 Oszlopok száma: h = 3 Szabadságfok: f = (2-1)×(3-1) = 1×2 = 2 Kritikus értékek: - c20,05 = 5,991 - c20,01 = 9,210 Kiszámított khi-négyzet-érték: c2 = 8,144 Döntés: H0-t 5%-os szinten elutasítjuk.

A c2-próba alkalmazási feltétele A várt gyakoriságok ne legyenek kb. 5-nél kisebbek. Engedmény: elég, ha 80%-ra teljesül. Például egy 22-es táblázatban 4 cella van, ezért ezekre mind teljesülnie kell.

Mit tehetünk, ha az alkalmazási feltétel nem teljesül? Kis gyakoriságú sorok vagy oszlopok összevonása. Nagyobb minta választása. 22-es táblázat esetén a 22-es c2-próba helyett a Fisher-egzakt-próba.

Példa oszlopok összevonására h6 változó értékei Isk. szint 1 2 3 4 Össz. Alsófok 16 10 24 55 Középfok 13 20 45 Felsőfok 17 5 42 8 43 28 60 142

Férfiak és nők feminitása (CPI) százalék

Példa a Fisher-egzakt-próbára Fem ≤ 11 Fem > 11 Férfi (n = 12) 6 6 Nő (n = 70) 7 63 2 = 12,286 (f = 1, p < 0,01), vártmin = 1,9 Fisher-egzakt-próba: p = 0,0027

2b. Összetartozó mintás homogenitásvizsgálatok Két dichotóm változó összehasonlítása (McNemar-próba, Előjelpróba) Ketőnél több dichotóm változó összehasonlítása (Cochran-féle Q-próba) Két tetszőleges diszkrét változó összehasonlítása (Általános McNemar-próba, Bowker-féle szimmetria-próba)

Két helyzet vagy időpont összehasonlítása egy dichotóm változó segítségével Példa: Középiskolai osztályban előadást tartanak a dohányzás ártalmáról. 36 tanuló közül 8 leszokik, 3 rászokik a dohányzásra. Hatásos-e az előadás? Nullhipotézis: A dohányzás változójának eloszlása az előadás előtt és után ugyanaz. Különbségváltozó: x1= leszokik, x2 = rászokik Nullhipotézis: H0: P(leszokás) = P(rászokás)

Képlet és számolás: McNemar-próba Adattáblázat: Dohányzik? Utána igen Utána nem Előtte igen a b = 8 Előtte nem c = 3 d Képlet és számolás: McNemar-próba c 2 10 8 3 25 11 27 = - + < ( ) , b Alkalmazási feltétel: (b+c)/2 ³ 5 Hogyan lehetne itt az előjelpróbát alkalmazni?

1. általánosítás: X dichotóm, h számú összetartozó minta összehasonlítása Nullhipotézis: A h számú dichotóm változó eloszlása ugyanaz

Szakmai példa: h számú tesztkérdés nehézségének az összehasonlítása Személy item1 item2 item3 item4 1. 1 2. 3. 4. ... Megoldási arány 0,28 0,56 0,48 0,22

Másik szakmai példa: elvonó kúra után állapotrögzítés több időpontban Személy 1. hónap 3. hónap 6. hónap 9. hónap 1. 1 2. 3. 4. ... Visszaesők aránya 0,18 0,26 0,32 0,30

Cochran-féle Q-próba Nullhipotézis: A h számú dichotóm változó eloszlása ugyanaz  az 1 (és úgyszintén a 0) érték elméleti arányai megegyeznek Alkalmazási feltétel: nh  24 n: személyek száma; h: változók száma Próbastatisztika: Q, mely H0 igaz volta esetén közelítőleg 2-eloszlást követ

2. általánosítás: X tetszőleges, de csak két összetartozó mintát hasonlítunk össze (változik-e X eloszlása az egyik helyzetről/időpontról a másikra?) Sima McNemar-próba általánosítása: Általános McNemar-próba (vagy Bowker-féle szimmetria-próba)

2 diszkrét változó kapcsolatának vizsgálata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 105 17 122 Nem 469 340 809 Összesen 574 357 931 Kapcsolatvizsgálat  homogenitásvizsgálat

Sorösszegek szerinti százalékok táblázata 15 éves lányok Könnyen teremt baráti kapcsolatokat Dohányzik Igen Nem Összesen Igen 86,1 13,9 100 Nem 58,0 42,0 100 Összesen 61,7 38,3 100

A pártpreferencia függése az életkortól és a nemtől A pártpreferencia nem függ a kortól, ha a pártpreferencia eloszlása különböző életkori szinteken ugyanaz. A pártpreferencia nem függ a nemtől, ha a pártpreferencia eloszlása férfiaknál és nőknél ugyanaz.

Iskolázottság és szimpátia Függ-e ennek a személynek a kedveltsége az iskolai végzettségtől?

Eloszlás a 3 iskolázottsági szinten

X és Y függetlensége X független Y-tól, ha Y eloszlása ugyanaz X minden értéke mellett Y független X-től, ha X eloszlása ugyanaz Y minden értéke mellett A függetlenség kölcsönös

A kapcsolat szorosságának mérése diszkrét változók esetén Cramér-féle V kontingencia-együttható: Ha X és Y független, V = 0. 0 ≤ V ≤ 1.

A kapcsolat szorosságának mérése dichotóm változók esetén Dichotóm (kétértékű) változók esetén V  φ kontingencia együttható, |φ| = V -1 ≤ φ ≤ 1 φ = Pearson-féle r korrelációs együttható a sor- és az oszlopváltozó között

A kapcsolat szorosságának mérése dichotóm változók esetén Kontingencia-együttható (φ) Pearson korreláció a numerikusan kódolt dichotóm változók között Yule-féle asszociációs együttható (, Y) Kendall-féle gamma dichotóm változókkal Alfa esélyhányados

Az alfa esélyhányados Alfa = (b/a) : (d/c) X= „-” X=„+” Y = férfi a b Y = nő c d Alfa = (b/a) : (d/c) Ha alfa = 1, nincs különbség a 2 csoport között Ha alfa nagyon kicsi vagy nagyon nagy, komoly különbség van a 2 csoport között

A φ együttható jelentése Kódoljuk X értékeit az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = férfi, 2 = nő). Kódoljuk Y értékeit ugyancsak az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = igen, 2 = nem). φ a Pearson-féle korrelációs együttható X és Y között

A  együttható jelentése Kódoljuk X értékeit az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = férfi, 2 = nő). Kódoljuk Y értékeit ugyancsak az 1 és a 2 számmal (pl. 1 = igen, 2 = nem).  a pozitív és a negatív együttjárás %-os arányának különbsége (Kendall-féle Γ)

A kapcsolat szorosságának mérése ordinális változók esetén Ordinális skálájú változók esetén: Kendall-féle G monotonitási (asszociációs) együttható. Jelentés: pozitív kapcsolat relatív fölénye a negatívval szemben: (Poz-Neg)/(Poz+Neg) Egyirányú függés mérése: Somers-féle monotonitási mérőszámok