KÖRNYEZETI RENDSZEREK MODELLEZÉSE Dr. Koncsos László egy. docens Érzékenységvizsgálat

A “nem” tudás kategóriái Determinizmus Statisztikai bizonytalanság Scenario bizonytalanság Tudás hiánya

Hibák forrása „nem” tudás - modell-hibák Hibás bemeneti adatok Determinizmus Statisztikai bizonytalanság Scenario bizonytalanság Tudás hiánya Hibás bemeneti adatok Hibás paraméter-adatok

Érzékenységvizsgálat Érzékenység a paraméterek hibáira Érzékenység a bemenő adatok hibáira

ANYAGMÉRLEG Megváltozás = BE - KI ± S KI (2) (1) V BE ellenőrző felület BE (1) V Megváltozás = BE - KI ± S

ANYAGMÉRLEG KI (2) (1) V BE Feladat: ellenőrző felület BE (1) V Feladat: anyagáramok definiálása a (1) és a (2) szelvényben forrástag (S) definiálása a megváltozás felírása az ellenőrző felületen belül

ANYAGMÉRLEG Megváltozás = BE - KI ± S ha a C koncentráció a V térfogaton belül állandó (teljes elkeveredés) Megváltozás = BE - KI ± S ha C(t), Q1(t), Q2(t) = áll.  permanens (Q=A∙v) ha FORRÁSOK = O  konzervatív anyag

ANYAGMÉRLEG - Kitérő Konzervatív anyag: Oldott állapotú Nem ülepedő Nem reagáló Pl.: konyhasó Valóságban előforduló szennyezők nagy többsége nem-konzervatív!

ANYAGMÉRLEG EGY FOLYÓSZAKASZRA Permanens eset  C(t)=const, Q(t)=const Ülepedésre képes szennyező  S ≠ 0 Prizmatikus meder  A, B, H = áll. B  H vS A B H [m2]

(kiülepedett anyagmennyiség) (1) (2) x x Q KI A ∙ v [ C+ x dC/dx ] c(x) - lineáris (feltevés) BE A ∙ v ∙ C Q ∙ C MEGVÁLTOZÁS (kiülepedett anyagmennyiség) B ∙ x ∙ vs ∙ C AV AV

AvC - AvC - Av x dC/dx = B x vS C  : AvC - AvC - Av x dC/dx = B x vS C (A=B ∙ H)  v vS ha x=O C=Co

 : BOI esetében AvC - AvC - Av x dC/dx = B x H k C (A=B ∙ H) Lebomlási tényező ha x=O C=Co

Ch - háttér koncentráció CO MEGHATÁROZÁSA Ch - háttér koncentráció CO - szennyvízbevezetés alatt Q x E=qc - emisszió 1D - Teljes elkeveredés (két víz összekeverése) Anyagmérleg QCh + qc = (Q+q) CO Koncentráció-övekmény E hígulási arány

Hidrodinamikai modell: permanens áramlás Hidrodinamikai modellből: t=x/v 1 t…levonulási idő k…lebomlási tényező k=k(T) Hidrodinamikai modell: permanens áramlás -Négyszögszelvény, -Széles meder -Permananens állandó vm.

Levonulási idő: Mivel:

H=f(Q,kst,B,I) Paraméterek Input adat

Érzékenység vizsgálat az inputok véletlen perturbációjával e(I) Inputok: I=I+e(I) Determinisztikus modell modell e(O) Output hiba eloszlása Érzékenység vizsgálat az inputok véletlen perturbációjával

Chezy féle 1D hidrodinamikai modell e(I) Inputok: I=I+e(I) Kst,B,I Determinisztikus modell modell e(O) Output hiba eloszlása H Érzékenység vizsgálat az inputok véletlen perturbációjával

Chezy féle 1D hidrodinamikai modell e(I) Inputok: I=I+e(I) Kst,B,I -Egyenként, -együtt Determinisztikus modell modell e(O) Output hiba eloszlása H Érzékenység vizsgálat az inputok véletlen perturbációjával

Chezy féle 1D hidrodinamikai modell: Példa e(I) Inputok: I=I+e(I) Egyenletes eloszlás Kst,B,I Determinisztikus modell modell e(O) Output hiba eloszlása H Érzékenység vizsgálat az inputok véletlen perturbációjával

Hidrodinamikai modellből: t=x/v=x/(Q/BH) 1 t…levonulási idő k…lebomlási tényező

Streeter-Phelps modell: BOI e(I) Inputok: I=I+e(I) Kst,B,I,k -Egyenként, -együtt Determinisztikus modell modell e(O) Output hiba eloszlása c Érzékenység vizsgálat az inputok véletlen perturbációjával

Érzékenységvizsgálat inputok perturbálásával Paksi hőszennyezés „esettanulmány”

Miért érdemes az inputokat terhelő bizonytalanságokkal foglalkozni? Pl. mert azok gyakran mérési adatok. Mérés = hiba, bizonytalanság

Érzékenységvizsgálat determinisztikus modell függvényének Taylor-sorba fejtésével Analitikus eljárás, papír, ceruza elég hozzá! Az egyszerűség kedvéért tekintsünk egy egyváltozós modellt: y=f(x)

Kettős cél Egyváltozós modell modell érzékenységének vizsgálata bizonytalansági becslés elvégzése: a bemenő adatok statisztikai jellemzői alapján a vizsgált változó várható értékének szórásának meghatározása Egyváltozós modell az egyszerűség kedvéért feltevések: kellően „sima” deriválható függvény a független változót terhelő hiba becsülhető mértékű

INPUT OUTPUT ? ?

Modell kimenetének várható értéke Modell kimenetének szórása – Taylor sor Linearizálás,

Modell kimenetének szórása szórás képzése, és Tehát nyertünk egy olyan összefüggést, amivel a bemenő változó szórásának függvényeként becsülhető az eredmény szórása

Mi a helyzet két független változó esetén?

INPUT OUTPUT ? ?

Modell kimenetének várható értéke Két független változó esetén

Modell kimenetének szórása Két független változó esetén Kétváltozós függvény Taylor-sora linearizálás után várható értékek körül kifejtve

Modell kimenetének szórása Két független változó esetén Szórás képzése után

Taylor-soros érzékenységvizsgálattal ismerve az input adatok statisztikai jellemzőit a modellben használt függvény deriváltjait becsülhető az output várható értéke és a szórása Előnyök sok esetben egyszerűen kivitelezhető reprezentálja a modell paraméterek kovariancia struktúráját Feltevések, egyszerűsítések közelítő megoldás bonyolult, pl. nem-lineáris függvények esetén nem használható

Érzékenységvizsgálat – összegzés Hátrány Előny Leírás Módszer Bizonytalanságok mértékére nehéz következtetni Egyszerű, könnyen elvégezhető Paraméterek (fél)manuális perturbálása, változások nyomon követése Egyszerű érzékenység-vizsgálat Idő- és számításigényes. Inputok kovariancia struktúráját nem feltétlenül adja vissza Egzakt, realisztikus megoldás. Bizonytalan-ságok becslése Algoritmikus, véletlenszerű perturbáció valós vagy feltételezett hibafüggvények alapján. Érzékenység, és a bizonytalanság mértékének meghatározása Monte Carlo elemzés Közelítés, komplexebb függvények esetén nem jó. Szórások ismerete szükséges Kovariancia struktúra megőrzése, sokszor egyszerű, gyors Az output szórásának becslése az inputokat terhelő bizonytalanságok függvényeként. Sorbafejtéses vizsgálat

2. házi feladat – Érzékenységvizsgálat Inputok perturbációja y koordináták módosítása véletlen {0, 0.1} tartományban mozgó hibataggal célfüggvény és a C(2,1) koncentráció megváltozása kezdőknek és haladóknak Taylor-sorba fejtéses vizsgálat 2D transzport-egyenlet megoldásának sorba fejtése vx és Dy szerint vx és Dy várható értéke, szórása, kovarianciája ismert (kiírás a honlapon) deriváltak meghatározása 9-től 99 éves korig minden mérnöknek!