Paradoxon perdületre TÉTEL: Zárt rendszer perdülete állandó. A Fizikai Szemle júliusi számában jelent meg Radnai Gyula és Tichy Géza hasonló című cikke. Gondolatok a cikk elolvasása után, fizika szakköri feldolgozásra

Két gyermek fekszik egy-egy gumimatracon, egymással szemben a vízen. Egyikük meglöki a másik matracát. Mi történik ezután, ha a víz fékező hatásától és egyéb zavaró körülményektől eltekintünk? Tételezzük fel, hogy az erő merőleges a matracok hossztengelyére!

Valami ilyet láthatnánk. Nézzük meg néhányszor!

Tekintsük meg az egyenlő időközönként készült pillanatfelvételeket! Kezdetben mindkét test nyugalomban volt, most pedig mindkettő forog és ellentétes irányban mozognak. Figyeljük meg a matracok forgásának irányát! Mit mondhatunk a két test perdületének összegéről? elmozdulásokerőhatások A rendszer tömegközéppontjaA téglatestek tömegközéppontja

Fel fogjuk használni, hogy erőpár forgatónyomatéka független a forgás tengelyétől. Az ábrán piros nyilak jelölik a tényleges kölcsönhatást. A továbbiakban szükségünk lesz egy gyakran hasznos trükkre. Lényege az, hogy a tömegközéppontokban olyan erőket vettünk fel, melyek eredője külön-külön zérus. Az erők nagysága a kölcsönhatáskor fellépő erő nagyságával azonos.

Figyeljük meg a perdületek irányát, mely azonos az erőpárok forgatónyomatékainak irányával! Az ábrán most a matracokra ható erőpárokat emeltük ki. Zárt a rendszer és belső erő hozza létre ezeket a perdületeket? Tehetetlenségi nyomaték:A testek tömegétől, geometriai adataitól és a forgás tengelyétől is függ. Perdület: A tehetetlenségi nyomaték és a szögsebesség szorzata.

Figyeljük meg a rendszer tömegközéppontjához viszonyított elmozdulásokat és a haladó mozgást létrehozó erőket! Ezeknek az erőknek a rendszer tömegközéppontjára vonatkozóan van forgatónyomatéka. Ez az erőpár milyen irányú perdületet hoz létre?

Nézzük meg az előző két ábrát együtt! Így már lehet zérus a perdületek összege! A paradoxont feloldottuk. EMLÉKEZTETŐ: Zárt rendszer perdülete állandó.

Mennyire reális a bevezetőben látott animáció? Érdemes kiszámítani, hogy egy adott erőlökés esetén milyen a haladó mozgás és a forgó mozgás viszonya. Vizsgáljunk most egyetlen m tömegű téglatestet! (Majdnem olyan, mint a gyerek a matracon.) Ennek tehetetlenségi nyomatéka a tömegközépponton áthaladó, a és b élre merőleges tengelyre vonatkozóan:

A haladó mozgás v S sebességének és a forgó mozgás ω szögsebességének a kapcsolatát szeretnénk megvizsgálni. Az erőhatás rövid időtartama miatt célszerű a mozgásegyenleteket a következő alakban felírni:

Az alkalmazott jelölések: A mozgásegyenletek ismét: Itt, és ha A második egyenletet az elsővel osztva: és P Q S a r d α F b

Mivel homogén téglatestet vizsgálunk és b=2r, Tovább alakítva az összefüggést Itt v k a P és Q pontok tömegközépponthoz viszonyított kerületi sebességét jelöli, és v k =rω, mert PS=QS=r P Q S a r d α b F

Láthatjuk, hogy a arány csak a téglatest két élének arányától függ. A nevezőben felismerhetjük a téglalap d átlójának négyzetét. Ha α az a oldal és az átló hajlásszöge, akkor Ennek akkor van minimuma, ha α = 0, vagyis akkor, ha egy homogén tömegeloszlású pálcát hosszirányban lökünk meg. (b = r = 0) Maximuma van a függvénynek, ha α = 90°, vagyis ha ha egy homogén pálcát hosszirányára merőlegesen lökünk meg.

Egy pálcánál, ha  ≈ 0, sinα ≈ 1, a vizsgált pontok sebességére: Ha indításkor az erő merőleges a matrac hossztengelyére és a P pont az erő támadáspontja, Az ellentett Q pontra pedig A mozgásegyenletből a sebességek nagyságát is kiszámíthatjuk, ha az erőlökés, a tömeg és a geometriai méretek ismertek.

Házi feladat! Ismételjük meg az előző gondolatmenetet elhanyagolható tömegű pálcával összekötött m 1 és m 2 tömegpontokra, azaz egy súlyzóra! A következő ábrákon a tömegpontok és a súlyzó S tömegközéppontjának mozgását megtekinthetjük.

A bal oldali táblázat második oszlopába beírt adatok alapján készült az ábra. Induló adatokSzámított adatok( SI egységekben ) 1. tömegre ható erő (N) (x irányú) 25 Súlypont helye, ha t=0 (x) 0 Erőhatás ideje (s) 0,4 Súlypont helye ha t=0 (y) 0,8 1. tömeg P pont (kg) 2 Súlypont sebessége 5 2. tömeg Q pont (kg) 3 Q pont helye, ha t=0 (x) 0 tömegpontok távolsága (m) 1 Q pont helye, ha t=0 (y) 1,2 A képpontok száma T idő alatt 50 Tehetetlenségi nyomaték 0,7 A súlypontra vonatkozó forgatónyomaték 20,00 Szögsebesség 5,5 Periódusidő 1,1 Időintervallum az ábránál Δt 0,0 P pont kerületi sebessége 4,4 Q pont kerületi sebessége 2,2 Itt játszhatunk az adatokkal (EXCEL)

Visszatérve egy korábbi ábrára: Hiba az, hogy a kölcsönhatáskor az erők nem esnek egy egyenesbe? Kérdés: Választ címre várok

Összeállította: Zagyva Tiborné Baja2007.