Kvantitatív módszerek 8. Hipotézisvizsgálatok I. Nemparaméteres próbák Dr. Kövesi János
Általános menet - 1 szakmai megfontolások alapján felállítjuk az igazolandó hipotézist statisztikai próba kiválasztása felállítjuk a nullhipotézist meghatározzuk a szignifikancia szintet, mintanagyságot, mintavétel elfogadási és elutasítási tartomány meghatározása
Általános menet-2 számított érték meghatározása, a minta adataiból számított érték és az elfogadási ill. kritikus tartomány összehasonlítása döntés a nullhipotézisről értelmezzük az előző pont eredményét a szakmai hipotézisre
Statisztikai próbák elve f(2) P(2szám< 2krit()|H0 igaz) = 1- = DF (szabadsági fok) =1- 2 szám 2 szám 2 2 krit
Feladat Feladat: Egy dobókockáról szeretnénk megtudni, hogy szabályos-e, azaz minden szám előfordulásának valószínűsége egyforma. Hogyan döntsük el?
Kockadobás összesen 600 dobás
2-számított érték DF = r-1-l fk = tapasztalati gyakoriság Fk = elméleti gyakoriság Szabadsági fok r = kategóriák, osztályok száma
Feladat (megoldás) összesen 600 dobás
H0-t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos. Feladat (megoldás) 2 szám= 2,02 DF = 6 - 1 = 5 2 krit= 11,1 = 0,05 2 szám << 2 krit H0-t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos.
Feladat A Tiszán adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során, az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt, amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt , amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy annál több árhullám következett be. Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma Poisson-eloszlással modellezhető?
Emlékeztető: becslés elmélet Feladat Emlékeztető: becslés elmélet H0: Poisson-eloszlás 0,8 = ? DF = r-1-l = 4-1-1 = 2 2 krit= 5,99 = 0.05
? ? Feladat 0,8 2 krit= 5,99 0,273 k fk Fk pk 0 30 1 25 2 9 3- 4 0 30 1 25 2 9 3- 4 0,4493 30,55 0,8 0,3595 0,1438 0,0474 24,45 9,78 3,22 ? 2 krit= 5,99 H0-t elfogadjuk, az árhullámok száma 0,8 paraméterű Poisson-eloszlással leírható. ? 0,273
Leírható-e a gáztérfogat normális eloszlással ? Feladat Halogénlámpa gyártásánál n=60 elemű minta alapján a betöltött gáztérfogat (cm3) az alábbiak szerint alakult: Leírható-e a gáztérfogat normális eloszlással ?
Feladat P(xA <xF) Fk 0,0033 0,0596 ? 0,3886 0,1379 0,1131 1,0000 0,20 3,58 ? 23,32 8,27 6,79 60 3,25 0,05 ? 0,58 0,36 2,11 6,8 H0: normális eloszlás, =3,326; =0,083 DF = 6-1-2= 3 Pl.: P3(3,21 <3,30) = F(3,30) - F(3,21) = F3= n·P3= 60·0,2975= 17,85
Feladat 2 szám= 6,8 Pl.: P1(3,01 <3,10) = P1(<3,10) = 0,0033 Fk P(xA <xF) 0,20 3,58 17,85 23,32 8,27 6,79 60 0,0033 0,0596 0,2975 0,3886 0,1379 0,1131 1,0000 3,25 0,05 0,45 0,58 0,36 2,11 6,8 Pl.: P1(3,01 <3,10) = P1(<3,10) = 0,0033 F1= n·P1= 60·0,0033 = 0,198 2 szám= 6,8 2 krit= 7,81 = 5% H0-t elfogadjuk = 10% 2 krit= 6,25 H0-t elutasítjuk
Feladat 98 vállalatnál a halálos balesetek száma 1998-ban a következőképpen alakult: Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással?
Feladat Pl.: F3 = n·p3 = 98·0,224 = 21,95 22 H0: Poisson-eloszlás =3 k fk Fk DF = 10-1-1 = 8 0 3 5 1 17 15 2 26 22 3 16 22 4 18 17 5 9 10 6 3 5 7 5 2 8 0 0,8 9 1 0,2 98 98 = 10% = 30% 3 ? ? 2 krit= 13,4 2 krit= 9,52 Pl.: F3 = n·p3 = 98·0,224 = 21,95 22 2 szám= 13,1 H0-t elfogadjuk H0-t elutasítjuk
Kvantitatív módszerek 9. Hipotézisvizsgálatok II. Szórások összehasonlítása Dr. Kövesi János
F-próba Két független, ismeretlen várható értékű és szórású normális eloszlást követő valószínűségi változó varianciáinak azonosságára vonatkozó hipotézisünket az ún. F-próbával ellenőrizhetjük. számláló: DF1 = n1 -1 nevező: DF2 = n2 -1
Példa H0: 1 = 2 H1: 1 > 2 = 0,05 DF1 = 10 DF2 = 9
Több szórás összehasonlítása Kettőnél több, normális eloszlást követő valószí-nűségi változó szórásainak összehasonlítására a Cochran- v. a Bartlett - próbát alkalmazhatjuk. Ha a minták elemszáma minden mintában azonos, akkor Cochran-próbát alkalmazhatunk. n1= n2= n3=…..= nr= n
Feladat Műselyem szakítóerő vizsgálatánál …. n = 10 r = 20
Feladat n = 10 r = 20 gsz = 0,183 DF (f) = n-1= 10-1=9 = 5% A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az i=19-es szórás (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan eltér a többitől. = 5% g95=0,136 0,136 = 1% g99=0,157 20 9 f = n-1
Feladat A 19. mintát kivéve, ismételjük meg a próbát! n = 10 r = 19 A H0 nullhipotézist elfogadjuk, az i=8-as minta szórása (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan nem tér el a többi szórástól. DF(f) = n-1= 10-1= 9 = 5% g95=0,140 = 1% g99=0,160
Feladat Fkrit = 2,02 Kísérleti gyártásnál két …. n1 = n2 = 15 H0-t elutasítjuk, a két szórás nem származhat ( = 10%-os szinten) azonos varianciájú alapsokaságból. Az első minta szórása szignifikánsan nagyobb a másodikénál. f1 = f2 = 15-1 = 14 Fkrit = 2,02 = 10%
Feladat - 5 Fkrit = 5,63 Egy hazai termék élettartam szórása …. n = 5 H0-t elfogadjuk, a minta szórása ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem tér el a hazai termék (alapsokaság) szórásától. f1 = Fkrit = 5,63 f2 = 5-1 = 4 = 5%
Kvantitatív módszerek 10. Hipotézisvizsgálatok III. Középértékre vonatkozó próbák Dr. Kövesi János
Átlagok próbái ismert nem ismert egymintás egymintás u-próba t-próba H0: = m H0: 1 = 2 kétmintás kétmintás u-próba t-próba
< BUX Szórások megegyeznek? Fkrit = 1,9 kétmintás t-próba F-próba: H0: 1 = 2 = 5% Fkrit = 1,9 DFsz = n2-1= 12-1= 11 < DFn = n1-1= 65-1= 64
BUX Középértékek összehasonlítása: H0: 1 = 2 H1: 1 2 kétmintás t-próba Középértékek összehasonlítása: H0: 1 = 2 H1: 1 2 kétoldali = 5% tkrit = 1,99 DF = n1 + n2 -2=65+12-2 =75 H0-t elfogadjuk, a két minta középértéke ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik.
Feladat Egy szabályozott folyamatban 0=100;0=0,5. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99 ) ebből a folyamatból? Legyen a próba kétoldali (az alsó és a felső eltérés is veszélyes lehet)! H0: 0= x = 5% A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése a 0-tól (5%-os szinten) szignifikáns. -1,96 1,96
Legyen a próba kétoldali! Feladat Egy szabályozott folyamatban 0=100. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99; = 0,5) ebből a folyamatból? H0: 0= x = 5% A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése a 0-tól (5%-os szinten) szignifikáns. Legyen a próba kétoldali! DF = n-1 = 14 tkrit= 2,14
Feladat Szeretnénk eldönteni, hogy - a megkötött bizto-sítások számát tekintve - két ügyfélszolgálati iroda között van-e különbség. A két iroda adatai az alábbiak:
Feladat Két minta középértékének összehasonlítása, az elméleti szórás nem ismert. kétmintás t-próba Szórások megegyeznek? F-próba: H0: I = II = 5% Fkrit = 2,91 DFsz = nII-1= 13-1= 12 < DFn = nI-1= 11-1= 10
Feladat Középértékek összehasonlítása: H0: I = II H1: I II kétmintás t-próba Középértékek összehasonlítása: H0: I = II H1: I II kétoldali = 5% tkrit = 2,07 DF = nI + nII -2=11+13-2 =22 H0-t elfogadjuk, a két minta középértéke ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik.