Ptol-1

Ptolemy Claudius, the great Greek mathematician lived and worked in the 2 nd century B.C. An important theorem about inscribed quadrilaterals is connected with his name. This chapter deals with this theorem and its application. At first there are two introductory exercises. Their solution is not easy as some sophisticated ideas are needed to it. Then we will get acquainted with Ptolemy’s theorem and – as it will be seen – the theorem will be of great help in solving seemingly difficult problems. After this will generalize one of the exercises, and show how the theorem can be used – among others – to prove the theorems of addition. At last there will be some homework. Good luck to the solution ! Ptol-2

1.) Legyen P az A 1 A 2 A 3 szabályos háromszög köré írt köre A 1 A 3 ívének egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy Ptol-3

Hosszabbítsuk meg az A 3 P oldalt P-n túl a szakasszal! Mivel A 1 A 2 A 3 P húrnégyszög, ezért Ekkor vagyis tehát az A 1 PE háromszög szabályos tehát valóban Ptol-4

2.) Legyen P az ABCD négyzet köré írt köre AD ívének egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy Ptol-5

Ptolemaiosz Claudiosz (Kr.u. II.sz.) Az ABCD húrnégyszög szemközti oldalai szorzatainak összege egyenlő az átlók szorzatával Mielőtt ez utóbbi feladatot megoldanánk, ismerkedjünk meg Ptolemaiosz tételével Ptol-6

Ekkor Bizonyítás Vegyünk fel az egyik (pl. AC) átlón egy olyan E pontot, melyre Ptol-7

Mivel Ezt az előbbi eredménnyel összeadva Ptol-8

Írjuk föl Ptolemaiosz tételét az ABCP húrnégyszögre Térjünk rá a második feladatra Ptol-9

Most írjuk föl Ptolemaiosz téte- lét a BCDP húrnégyszögre A két eredményt összeadva Ptol-10

Most nézzük meg, hogy az 1. feladat mennyivel egyszerűbbé válik Ptolemaiosz tételének ismeretében Íjuk fel a tételt az A 1 A 2 A 3 P húrnégyszögre: Ptol-11

Most próbáljuk meg általánosítani a 2. feladatot – természetesen Ptolemaiosz tételének felhasználásával Ptol-12

Legyen P az A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 szabályos ötszög A 1 A 5 ívének egy tetszőleges pontja. Igazoljuk, hogy ekkor Ptol-13

Írjuk fel a tételt először az A 1 A 2 A 3 P húrnégyszögre Most írjuk fel a tételt az A 3 A 4 A 5 P négyszögre Következzen az A 2 A 3 A 4 P négy- szög Végül írjuk fel a tételt az A 2 A 3 A 4 A 5 húrnégyszögre Ptol-14

Ezt és a 4. egyenletet felhasználva kapjuk: Az 3. egyenletből: Az első két egyenletből: Ptol-15

Most nézzük meg, hogyan használható Ptolemaiosz tétele az addíciós tételek igazolásához Ptol-16

Most írjuk föl az ABCD húrnégyszögre Ptolemaiosz tételét Ptol-17

Házi feladat Egy kör áthalad az ABCD paralelogramma A csúcsán, az AB oldalt P-ben, az AD oldalt Q- ban, az AC átlót R-ben metszi. Igazoljuk, hogy Végezetül jöjjön egy Ptol-18

A házi feladat megoldása Ptolemaiosz tétele szerint: Az ABC és PQR háromszögek hasonlók: Ptol-19

Írjuk be a kapott eredményeket Ptolemaiosz tételébe: RP-vel egyszerűsítve, BC-vel szorozva és felhasználva, hogy Ptol-20