Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Horváth Zoltán Nincs Készen

TARTALOM Szögfüggvények a derékszögű háromszögekben Szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre is Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek Szinusz tétel általános háromszögre Koszinusz tétel Szögfüggvények ábrázolása

Szögfüggvények A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le. Az a, és a b oldal a derékszögű háromszög befogóját, c pedig az átfogóját jelöli. c a b

Szögfüggvények a derékszögű háromszögben c a b

Szögfüggvények a derékszögű háromszögben c a b

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 8 cm hosszú Egy derékszögű háromszög egyik befogója 5 cm, átfogója 8 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0,625. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek koszinusza 0,625.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, átfogója 10 cm hosszú Egy derékszögű háromszög egyik befogója 6 cm, átfogója 10 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha az átfogó és egy befogó adott, akkor a sin vagy cos szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Gyakorlásként mindkettőt alkalmazzuk. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek szinusza 0,6. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek koszinusza 0,6.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 4 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0,8. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 1,25.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 16 cm, másik befogója 5 cm hosszú. Határozd meg a háromszög szögeit! a b c Ha a két befogó adott, akkor a tangens (vagy cotangens) szögfüggvényeket célszerű alkalmazni. Mivel a ctg a tg reciproka, ezért nem használjuk ezt külön. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 3,2. Keressük azt a hegyes szöget, amelynek tangense 0,3125.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 12 cm, és az azzal szemben lévő szöge 30°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 24 cm hosszú.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és az azzal szemben lévő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azzal szemben lévő szög adott, akkor a szinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28,284 cm hosszú.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 15 cm, és a befogón fekvő szöge 75°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 57,96 cm hosszú.

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 20 cm, és a befogón fekvő szöge 45°. Határozd meg a háromszög átfogójának hosszát! a b c Ha a befogó és az azon az oldalon fekvő szög adott, akkor a koszinusz szögfüggvényt célszerű alkalmazni. Átrendezés után: A derékszögű háromszög átfogója 28,284 cm hosszú.

Szögfüggvények kiterjesztése hegyesszögnél nagyobb szögekre is A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt, negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.

Rajzoljunk fel egy egység sugarú kört a koordinátarendszerben! Vegyünk fel egy tetszőleges forgásszöget! Vetítsük le a forgásszög szárát az x tengelyre! Ekkor így keletkezett egy derékszögű háromszögünk. y 1 A derékszögű háromszög átfogója 1 egység hosszú. 1 Határozzuk meg a forgásszög melletti befogó hosszát, x’-t, mint a forgásszög szárának x ten- gelyre vonatkoztatott vetületét! x’ x -1 1 -1

Rajzoljunk fel egy egység sugarú kört a koordinátarendszerben! Vegyünk fel egy tetszőleges forgásszöget! Vetítsük a forgásszög szárát az y tengelyre! Váltószögek… Ekkor így keletkezett egy derékszögű háromszögünk. y 1 A derékszögű háromszög átfogója 1 egység hosszú. y’ 1 Határozzuk meg a forgásszöggel szembenlévő befogó hosszát, y’-t, mint a forgásszög szárának y ten- gelyre vonatkoztatott vetületét! x -1 1 -1

Összefoglalva: és A koordinátarendszerben az egységsugarú körben a forgásszög szárának x tengelyre vonatkoztatott vetülete: a forgásszög szárának y tengelyre vonatkoztatott vetülete:

(1) Következmény : Ha az egységsugarú körben egy szög koszinusza Az x tengelyre vonatkoztatott vetülete, akkor egy -1 és 1 közötti számhoz az x tengelyen, melyik forgásszög feleltethető meg? (1) Következmény : y Vegyünk fel az x tengelyen egy tetszőleges -nek megfelelő hosszúságú szakaszt! 1 Bocsássunk merőlegest az x’ szakaszra a szakasz origóval ellentétes pontjából, és messük el a körívet! x’ -1 x 1 Ekkor keletkezett két lehetőségem: -1

(2) Következmény : Ha az egységsugarú körben egy szög koszinusza Az x tengelyre vonatkoztatott vetülete, akkor egy -1 és 1 közötti számhoz az y tengelyen, melyik forgásszög feleltethető meg? (2) Következmény : y Vegyünk fel az x tengelyen egy tetszőleges -nek megfelelő hosszúságú szakaszt! 1 y’ Bocsássunk merőlegest az y’ szakaszra a szakasz az origóval ellentétes pontjából, és messük el a körívet! -1 x 1 Ekkor keletkezett két lehetőségem: -1

Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek

I. Síknegyedbeli megoldás II. Síknegyedbeli megoldás

I. Síknegyedbeli megoldás II. Síknegyedbeli megoldás

I. Síknegyedbeli megoldás IV. Síknegyedbeli megoldás

I. Síknegyedbeli megoldás IV. Síknegyedbeli megoldás

I-II. Síknegyed közötti megoldás III.-IV. Síknegyed közötti megoldás

Mivel: Ezért nincs az egyenletnek megoldása.

I. Síknegyedbeli megoldás alapján: IV. Síknegyedbeli megoldás alapján:

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(5x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Nincs megoldása az egyenletnek.

Vegyük észre, hogy az egyenlet tg(5x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 5. vagy Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 2.

Vegyük észre, hogy az egyenlet cos(2x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 1. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0,5. Ha

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(2x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 1. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0,5. Ha

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 1.

Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0,8. Ha 3,14-0,93=2,21 Keressük azt a szöget radiánban, melynek szinusza 0,2. Ha 3,14-0,201=2,94

Vegyük észre, hogy az egyenlet cos(x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető! vagy

Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0,6. Ha Keressük azt a szöget radiánban, melynek koszinusza 0,4. Ha

Felhasználjuk a következő trigonometrikus azonosságot: Ezt behelyettesítjük az egyenlet jobb oldalába: Vegyük észre, hogy az egyenlet sin(2x) -ben másodfokú egyenletre visszavezethető!

vagy , mert

Trigonometrikus egyenlőtlenségek

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y 0,5 A keresett szögtartomány: x Vagyis:

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő 0,866-nál. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y 0,866 A keresett szögtartomány: x Vagyis:

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb vagy egyenlő - 0,866-nál. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y x -0,866 A keresett szögtartomány:

Keressük azt a szögtartományt, mely szinusza nagyobb 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y 0,5 A keresett szögtartomány: x Vagyis:

Keressük azt a szögtartományt, mely koszinusza nagyobb 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y Másként: 0,5 A keresett szögtartomány: x Vagyis:

Keressük azt a szögtartományt, mely koszinusza nagyobb 0,5-nél. Rajzoljuk fel az egységsugarú kört egy koordinátarendszerbe, és keressük meg a határokat! y A keresett szögtartomány: 0,5 x Vagyis:

Szemléltessük az egyenlőtlenséget egy koordinátarendszerben! Vázoljuk fel először a tg x képét! Vázoljuk fel a konstans 1 képét! A metszéspontot vetítsük le az x tengelyre! Jelöljük be azt az intervallumot, amelyben a tg (x) képe 1-ben vagy az 1 alatt van! Megoldás:

Szemléltessük az egyenlőtlenséget egy koordinátarendszerben! Vázoljuk fel először a tg x képét! Vázoljuk fel a konstans 5 képét! A metszéspontot vetítsük le az x tengelyre! Jelöljük be azt az intervallumot, amelyben a tg (x) képe 5-ben vagy az 5 alatt van! Megoldás:

Keressük azt a szöget radiánban, melynek tangense 1,732. Felhasználva a tangens függvény szigorú monoton növekedő tulajdonságát: Viszont figyelembe kell venni a tangens függvény értelmezési tartományának határát is. Megoldás:

Keressük azt a szöget radiánban, amelynek tangense 2. Felhasználva a tangens függvény szigorú monoton növekedő tulajdonságát: Viszont figyelembe kell venni a tangens függvény értelmezési tartományának határát is. | +2 Rendezzük az egyenlőtlenséget x –re! | :3 Megoldás:

Szinusz tétel általános háromszögre Bármely háromszög két oldalának aránya megegyezik e két oldallal szemben lévő szögek szinuszainak arányával.

Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 8cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 8cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbik oldallal szemben lévő szög 30o . Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen!

Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 8cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 8cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbikkel szemben lévő szög 30o . Mekkorák a háromszög szögei? Melyik az a szög, aminek szinusza: 1? A háromszög belső szögeinek összege 180o . A háromszög belső szögei:

Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 5cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 5cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 30o . Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen!

Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 5cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 5cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 30o . Mekkorák a háromszög szögei? Melyik az a szög, aminek szinusza: 0,3125? A háromszög belső szögeinek összege 180o . A második háromszög szögei közül az egyik negatív, ami nem tesz eleget a feltételnek. A háromszög belső szögei:

Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 3cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 3cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 20o . Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen!

Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 3cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 8cm, másik 3cm hosszú. A megadott oldalak közül a hosszabbikkal szemben lévő szög 20o . Mekkorák a háromszög szögei? Melyik az a szög, aminek szinusza: 0,1283? A háromszög belső szögeinek összege 180o . A második háromszög szögei közül az egyik negatív, ami nem tesz eleget a feltételnek. A háromszög belső szögei:

Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 9cm hosszú Egy háromszög egyik oldala 4cm, másik 9cm hosszú. A megadott oldalak közül a rövidebbik szemben lévő szög 30o . Mekkorák a háromszög szögei? Két oldal és az egyikkel szemben lévő szög ismeretében keressük a másik oldallal szemben lévő szöget. Alkalmazzuk a szinusz tételt! Feltétel: A tételt célszerű úgy felírni, hogy az ismeretlen a számlálóba kerüljön azért, hogy a rendezés egyszerűbb legyen! Ilyen háromszög nincs, mert teljesülni kellene minden háromszögben:

Cosinus tétel

A háromszög harmadik oldala 7,21cm hosszú. Egy háromszög két oldala 6cm, és 8cm hosszúak, közbezárt szögük pedig 60o. Mekkora a harmadik oldala? B Feltétel: A C A háromszög harmadik oldala 7,21cm hosszú.

A háromszög harmadik oldala 10cm hosszú. Egy háromszög két oldala 6cm, és 8cm hosszúak, közbezárt szögük pedig 90o. Mekkora a harmadik oldala? B Feltétel: A C A háromszög harmadik oldala 10cm hosszú.

A háromszög harmadik oldala 7cm hosszú. Egy háromszög két oldala 3cm, és 5cm hosszúak, közbezárt szögük pedig 120o. Mekkora a harmadik oldala? B Feltétel: A C A háromszög harmadik oldala 7cm hosszú.

B Feltétel: A C A háromszög szöge . Egy háromszög oldalai 10cm, 12 cm és 15cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? B Feltétel: A C A háromszög szöge .

B Feltétel: A C A háromszög szöge . Egy háromszög oldalai 10cm, 12 cm és 15cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? B Feltétel: A C A háromszög szöge .

B Feltétel: A C A háromszög szöge . Egy háromszög oldalai 10cm, 12 cm és 15cm hosszúak. Mekkorák a háromszög belsőszögei? B Feltétel: A C A háromszög szöge .

Szögfüggvények ábrázolása x

Ezt követően jobbra eltoljuk π/2 egységgel! Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg!

Ezt követően jobbra eltoljuk π egységgel! Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg!

Ezt követően balra eltoljuk π egységgel! Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg!

Ezt követően balra eltoljuk 2 egységgel! Az alapfüggvény a sin(x), ezért először ezt rajzoljuk meg!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/2-vel jobbra!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 2π/3-mal jobbra!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3-mal balra!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 1-gyel le!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden pontját eltoljuk 0,5-del le!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét kétszeresére nyújtjuk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét háromszorosára nyújtjuk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét felére nyújtjuk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. III. A függvény képének minden értékét felére nyújtjuk! II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. III. A függvény képének minden értékét negyedére nyújtjuk! II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. III. A függvény képének minden értékét kétszeresére változtatjuk, azaz nyújtjuk! II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. III. A függvény képének minden értékét kétszeresére változtatjuk, azaz nyújtjuk! II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! IV. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3-mal jobbra!

Először megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t. III. A függvény képének minden értékét kétszeresére változtatjuk, azaz nyújtjuk! II. A függvény képének minden értékét ellentettjére változtatjuk! X tengelyre tükrözünk! V. A függvény képének minden pontját eltoljuk 0,5-del fel! IV. A függvény képének minden pontját eltoljuk π/3-mal jobbra!

I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat kétszeresére sűrítjük!

I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat háromszorosára összesűrítjük!

I. Megrajzoljuk az alapfüggvény képét, a cos x-t: II. A hullámokat felére ritkítjuk!

Rajzoljuk meg az alap függvényt! π/4-gyel toljuk el a függvény minden pontját jobbra!

Rajzoljuk meg az alap függvényt! 2,5-del toljuk el a függvény minden pontját felfelé!