2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926)

Matematikai fogalmak

Az operátor

Az operátor Függvény: mennyiséget rendel mennyiséghez. Az operátor (általánosan): egyik halmaz elemeit rendeli egy másik halmaz elemeihez. Függvényoperátor: függvények halmazának elemeit rendeli egy másik függvényhalmaz elemeihez. (függvényt rendel függvényhez.) A kvantummechanikában a függvényoperátorokat nevezzük röviden operátoroknak.

Az operátorok jele: Független változók, amelyek az operátorban és az egymáshoz rendelt függvényekben is szerepelnek „kalap”

Például

Például Alkalmazzuk a fenti operátort!

Például Alkalmazzuk a fenti operátort! Eredmény:

Alkalmazzuk az operátort másik függvényre!

Alkalmazzuk az operátort másik függvényre! Eredmény:

Alkalmazzuk az operátort egy harmadik függvényre!

Alkalmazzuk az operátort egy harmadik függvényre! Eredmény:

Nézzünk egy többváltozós operátort is!

Nézzünk egy többváltozós operátort is! Alkalmazzuk az f(x,y) = x2y2 függvényre!

Nézzünk egy többváltozós operátort is! Alkalmazzuk az f(x,y) = x2y2 függvényre! Eredmény:

Operátor sajátérték-egyenlete

Operátor sajátérték-egyenlete változóit együtt röviden -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény A sajátérték-egyenlet megoldása C sajátérték (konstans)

Sajátérték-egyenlet: a ()-en az operátor által kijelölt műveletet végrehajtva visszakapjuk a () függvényt a C konstanssal szorozva

A sajátérték-egyenlet megoldásai: 0(), 1(), 2(),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C0, C1, C2  sajátértékek

A sajátérték-egyenlet megoldásai: 0(), 1(), 2(),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C0, C1, C2  sajátértékek Másképp fogalmazva: A 0() - C0, 1() - C1, 2() - C2  sajátfüggvény - sajátérték párok

Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete

Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások:

Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f0(x) = ex, C0 = 1

Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f0(x) = ex, C0 = 1 f1(x) = e2x, C1 = 2 

Komplex számok Tartalmazzák az i imaginárius egységet Jelölésük: a + ib valós rész képzetes rész

Komplex szám abszolút értéke Komplex szám konjugáltja a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám abszolút értéke |a + bi|2 = (a + ib) (a - ib)

Komplex szám konjugáltja a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám abszolút értéke |a + bi|2 = (a + ib) (a - ib) = = a2 + iab - iab + b2 = a2 + b2 Mindig valós!

Komplex függvények F(x,y) = V(x,y) + iW(x,y) alakban felírható függvények Két valós függvényt tartalmaznak: V(x,y) és W(x,y)

Teljes analógia a valós számokkal!

A komplex függvény konjugáltja komplex konjugált Jele: fölül vonás

A komplex függvény abszolút értéke Jelöljük a változókat -val! A függvény és komplex konjugáltjának szorzata az abszolút érték négyzete. Valós függvény!

A kvantummechanika axiómái 1. axióma. Alapmennyiségek 2. axióma. Sajátérték-egyenlet 3. axióma. Állapotfüggvény 4. axióma. Időbeli folyamatok 5. axióma. Várható érték 6. axióma. Hullámfüggvény előjele (l. atomok elektronszerkezete)

1. axióma Alapmennyiségek.

A fizikai mennyiségek: • Természeti állandók (fénysebesség vákuumban, elektron töltése, elektron tömege ) •• Alapmennyiségek (távolság, idő, tömeg, töltés, hőmérséklet, fényerősség) ••• Leszármaztatott mennyiségek

vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z) A klasszikus mechanika alapmennyiségei: Távolság (d) vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z) helyvektor Idő (t) Tömeg (m) A többi mennyiséget ezekből származtatjuk le!

A kvantummechanika alapmennyiségei: Távolság (d) / Helyvektor Idő (t) Tömeg (m) Töltés (q) Impulzus ( )

Távolság (d) / Helyvektor Az x,y,z helykoordináták és az helyvektor jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

Idő (t) Az idő jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

Tömeg (m) Az elemi részecskék (elektron, proton, neutron) tömege természeti állandó (me, mp, mn), a többieké ezek összege. Pl.: m(23Na mag) = 11mp + 12mn A tömeg a kvantummechanikában konstans! (Nem függ a többi fizikai mennyiségtől!)

Töltés (q) A mikrorendszerek mozgásában alapvető szerepe van a töltésnek. Ezért a kvantummechanika mennyiségei között szerepel a töltés. Az elemi részecskék töltése is természeti állandó, az elektroné -e, a protoné +e, a neutroné 0. A többi részecskéé ezek összegeként adódik. A töltés is konstans a kvantummechanikában!

Impulzus ( ) A kvantummechanikában az impulzus is alapmennyiség. Az impulzus, és a vele összefüggésben álló rendszerek kvantáltak. Az impulzus különleges definíciója az eszköz ahhoz, hogy a kvantált fizikai mennyiségeket megfogalmazzuk.

Az impulzus a klasszikus mechanikában Vektor! másik neve: lendület

Az impulzus a kvantum- mechanikában Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

Az impulzus a kvantum- mechanikában Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: ; ; .

Az impulzus a kvantum- mechanikában Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: ; ; . (Planck-állandó)

Tömör formában: , nabla vektor ahol

A többi kvantummechanikai mennyiséget úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti módon értelmezett alapmennyiségeket.

Példa: Energia, Hamilton-függvény Klasszikus mechanika: T: kinetikus E V: pot. E

Előkészület a kvantummechanikára:  T összefügg az impulzussal!  V csak a helykoordináták függvénye, ezek a mennyiségek nem változnak a kvantummechanikában. V = V(x,y,z)

Kvantummechanika: Az 1.axióma szerint:

skalárszorzat

A Hamilton-operátor (egy részecskére)

Példa Impulzusmomentum Klasszikus mechanika Kvantummechanika

2. axióma Sajátérték-egyenlet

Az 1. axióma szerint a kvantált fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk. Ilyenek:  impulzus (alapmennyiség)  kinetikus energia  teljes mechanikai energia  impulzus momentum Hogyan kapjuk meg ezen mennyiségek lehetséges értékeit?

2. axióma Egy kvantált mennyiségnek, amelynek az operátora a lehetséges értékeit az operátor sajátérték-egyenletéből számított C = C0, C1, C2 ... sajátértékek adják meg. Megjegyzés: Az egyenletet megoldva megkapjuk az egyes sajátértékekhez tartozó () = 0(), 1(), 2()... sajátfüggvényeket is

Példa Energia: A Hamilton-operátor sajátértékei A sajátérték-egyenlet a Schrödinger-egyenlet: , ahol kin. E. pot. E.

Megjegyzés: a kvantumkémiai irodalomban minden helykoordinátáktól függő fizikai mennyiséget operátorként tüntetnek fel. Olyanokat is, amelyek nem kapcsolódnak az impulzushoz, és így nem is kvantáltak. Pl.: Potenciális energia Dipólusmomentum

Az m tömegű részecske Schrödinger-egyenlete

3. axióma Állapotfüggvények

3. axióma Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a állapotfüggvény jellemzi.

x1,y1,z1 1. részecske helykoordinátái … xN,yN,zN N. részecske helykoordinátái t idő

megjegyzés: röviden

Az állapotfüggvény alkalmazása: A részecskék eloszlását számítjuk ki belőle, egy adott térrészre integrálva:

A 3. axióma tagadást is tartalmaz: Nem lehet pontosan megadni, hogy a kvantummechanikai rendszer részecskéi egy adott pillanatban hol tartózkodnak, csak valószínűségeket lehet megadni! A klasszikus mechanikában a részecskék pályája számítható!

4. axióma Időbeli folyamatok

4. axióma „Időtől függő Schrödinger-egyenlet” Összekapcsolja az időben változó rendszer állapotfüggvényét és Hamilton-operátorát

Az időben állandó (stacionárius) rendszerre ebből az egyenletből levezethető, hogy állapotfüggvénye megegyezik a Hamilton-operátor sajátfüggvényével!

5. axióma Várható érték

Vannak olyan kvantált mennyiségek, amelyek sajátfüggvényei  megegyeznek a Hamilton-operátoréval, azaz 0, 1, 2,… állapotfüggvényekkel, és vannak,  amelyeké nem egyezik meg.

Ha közösek a sajátfüggvények, akkor a rendszer 0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel jellemzett állapotaiban az energia rendre E0, E1, E2,… és a másik kvantált mennyiség értéke rendre C0, C1, C2,….

Ezek az az E-val egyidejűleg mérhető mennyiségek!

Ha nem közösek az állapotfüggvények, (az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiségek), akkor a másik kvantált mennyiség értéke az egyes állapotokban bizonytalan, de várható értéke megadható.

5. axióma Az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiség várható értéke az n-ik állapotban: a Hamilton operátor sajátfgv.-e az n-ik állapotban.

1929: L. W. De Broglie, 1892-1987 1932: W. Heisenberg, 1901-1976 1933: E. Schrödinger, 1887-1961 1933: P. A. M. Dirac, 1902-1984 1945: W. Pauli, 1900-1958