Lineáris algebra

Lineáris egyenletrendszerek Lineáris elsőfokú két ismeretlenes egyenletrendszerek megoldás, a két függvény metszépontja: Nincs megoldás: Párhuzamosak Végtelen sok megoldás: Egybeesnek Pontosan egy megoldás: Metszéspont Általános megoldóképlete:

Másodrendű determináns

Másodrendű determináns tulajdonságai Determináns értéke nem változik, ha az elemeket bármely átlóra tükrözzük. Ha a determináns két sorát, vagy oszlopát felcseréljük, akkor -1-szeresét kapjuk. Ha a két sor, vagy oszlop elemei megegyeznek, akkor a determináns értéke 0. Ha valamelyik sor, vagy oszlop csak 0-kat tartalmaz, akkor a determináns értéke 0. Ha valamelyik oszlop, vagy sor felbontható két elem összegére, akkor a determinánst felírhatjuk két determináns összegeként. Ha valamelyik sor, vagy oszlop minden elemét megszorozzuk egy konstanssal, akkor a determináns értéke konstans-szorosra nő. Ha egy sor, vagy oszlop elemei a másik többszöröse, akkor a determináns értéke nulla. (3+6) Értéke nem változik, ha valamelyik sorához, vagy oszlopához hozzáadjuk valamelyik sorának, vagy oszlopának többszürüsét.

Harmadrendű determináns

Aldetermináns Úgy kapjuk meg, hogy elhagyjuk azt az sort, és oszlopot, amely azt az elemet tartalmazza, amihez az aldetreminánst meg akarjuk határozni. Az egyes elemek előjelét a következő szabály határozza meg:

Cramer-szabály Ha egy egyenletrendszer determinánsa nem nulla, akkor az egyenletrendszernek pontosan egy megoldása van. Bármely ismeretlen értéke egy olyan törttel egyenlő, melynek nevezője a rendszer determinánsa, számlálója pedig az a determináns, amely a rendszer determinánsából úgy képezhető, hogy az ismeretlen együtthatóit a normál alakban vett állandó tagokra helyettesítjük.

Mátrixok Mátrixnak nevezzük az n x m számú, téglalap alapba rendezett valós számot. Jele: Nagy latin betű. Az (n;m) számpárt, a mátrix típusának nevezzük, ahol n a sorok, m az oszlopok száma. Ha n=m, akkor négyzetes (kvadratikus) mátrixról beszélünk. Két mátrix akkor, és csak akkor egyenlő, ha azonos típusúak, és az egyes helyeken levő értékeik is megegyeznek. Sormátrix csak egy sorral rendelkezik. Oszlopmátrix csak egy oszloppal rendelkezik. Zérusmátrix minden eleme nulla. Egységmátrix olyan négyzetes mátrix, mely főátlójában 1, azon kívül 0 szerepel. Jele: E

Mátrix műveletek Transzponálás: Oszlopokat felcseréljük a sorokkal. (Főátlóra tükrözünk) Jele: A* Összeadás, kivonás: Csak azonos típusú mátrixokkal hajtható végre. A megegyező helyen álló értékeket adjuk össze. (A+B)*=A*+B* Mátrix szorzása skalárral: A mátrix minden egyes elemét megszorozzuk a skalárral. Mátrix szorzása mátrixszal: (A∙B)Csak akkor értelmezzük, ha A-nak ugyan annyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek. (Konformábilisak) Nem kommutatív Asszociatív Disztributív

Falk-módszer 2 3 -1 1 8 9 4 6 -3 14 5

Mátrix determinánsa: Egy négyzetes mátrix determinánsán az elemeiből képzett determinánst értjük. Jelölése: |A|, vagy det A. Reguláris, ha ez nem nulla, és szinguláris, ha det A = 0. Inverz mátrix: Az eredeti mátrixot az inverzével szorozva egységmátrixot kapunk.

Lineáris egyenletrendszerek Homogén az egyenlet, ha b mindig nulla. Ellenkező esetben az egyenletet inhomogénnek nevezzük. Homogén egyenletrendszernek mindig van megoldása, amikor minden x értéke nulla. Ezt nevezik triviális megoldásnak. Abban az esetben, ha az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával (n=m), és a rendszer determinánsa nulla, az egyenletrendszer egyértelműen megoldható

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Ahhoz, hogy az egyenletrendszer megoldható legyen, találnunk kell olyan szorzót, amire egy kivételével, az összes ismeretlen kiesik. Gauss-féle módszer: Az egyenleteket megszorozzuk egy-egy konstanssal, úgy, hogy amikor összeadjuk azokat, az első ismeretlen kiesik. Ezt addig folytatjuk, amíg csak egy ismeretlen marad.