Előadó: Kovács Zita 2013/2014. II. félév TUDÁSALAPÚ RENDSZEREK Az osztályozás fogalmának háló alapú bevezetése

1. Bevezetés 2. Hálóelméleti alapfogalmak 3. Fogalmi hierarchia 4. Az osztályozási eljárás 5. Összegzés

 osztályozás:  az objektumok közötti és  az objektumok és tulajdonságaik közötti relációk felépítése  homogén egységeket alakítunk ki

 az osztályozáson alapuló rendszerek különböző útvonalakon alakultak ki:  logika  szemantikus hálók és keretek  osztályalapú nyelvek  leíró logikák

 az osztályozáson alapuló rendszerek osztályhierarchián alapulnak  egyedeire az osztályozáson alapuló következtetőrendszerek hatnak  osztályok osztályozása olyan folyamat, melynek során  az osztályokat hierarchiába szervezzük vagy  a meglévő hierarchiába új osztályt illesztünk

 egyedek osztályozása olyan folyamat, melynek során  felismerjük az egyedhez tartozó osztályt  mai előadás célja: megmutasson egy lehetséges megközelítési módot az osztályozás fogalmának bevezetésére a háló algebrai struktúrák segítségével

 Legyen S tetszőleges halmaz.  Az R relációt reflexívnek nevezzük, ha minden S-beli a elemre R(a,a).  Az R relációt antiszimmetrikusnak nevezzük, ha minden S-beli a és b elemre, ha R(a,b) és R(b,a), akkor a és b azonosak.

 Az R relációt tranzitívnak nevezzük, ha minden S-beli a,b,c elemre ha R(a,b) és R(b,c), akkor R(a,c).  Az S halmazt részben rendezettnek nevezzük, ha az S bizonyos elempárjaira értelmezve van egy reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív R reláció.

 Az S részben rendezett halmazban ∀ a,b ∈ S esetén: R(a,b) vagy R(b,a) vagy a és b nem összehasonlíthatóak.  Legyen S részben rendezett halmaz. S-t (teljesen) rendezettnek nevezzük, ha ∀ a,b ∈ S összehasonlítható.

 Legyen S részben rendezett és a,b,c, x ∈ S.  Az x elemet az a és b elemek felső korlátjának nevezzük, ha R(a,x) és R(b,x).  Az x elemet az a és b elemek alsó korlátjának nevezzük, ha R(x,a) és R(x,b).

 A c elemet az a és b elemek legkisebb felső korlátjának nevezzük, ha  c az a és b elemek felső korlátja és  ∀ x ∈ S esetén, ha x felső korlátja az a és b elemeknek, akkor R(c,x).

 A c elemet az a és b elemek legnagyobb alsó korlátjának nevezzük, ha  c az a és b elemek alsó korlátja és  ∀ x ∈ S esetén, ha x alsó korlátja az a és b elemeknek, akkor R(x,c).

 Ha az a és b elemeknek létezik legkisebb felső (legnagyobb alsó) korlátja, akkor az egyértelműen meghatározott.  A legkisebb felső korlát: a ∪ b  A legnagyobb alsó korlát: a ∩ b

Legyen S részben rendezett halmaz az R relációval. Az {S, R} párost hálónak nevezzük, ha bármely x,y ∈ S elempár esetén létezik legkisebb felső és legnagyobb alsó korlát.  A hálók jelölésekor szokásosan nem említjük az R relációt.

 Legyen P háló és e,O ∈ P.  Aze elemet egységelemnek nevezzük, ha ∀ a ∈ P esetén R(a,e).  Az O elemet zéruselemnek nevezzük, ha ∀ a ∈ P esetén R(O,a).  Egy hálóban nem feltétlenül létezik egységelem és zéruselem.

 Az X halmaz összes részhalmaza a halmazelméleti részhalmaza relációval (jelölésben P(X)).  Legyen S teljesen rendezett halmaz. Ekkor S háló, mégpedig  a ∪ b = max(a,b) és a ∩ b = min(a,b).

 Legyen S a pozitív egészek halmaza, hozzávéve a nullát.  Jelentse az R(a,b) reláció azt, hogy a osztója b- nek.  Ekkor a ∪ b az a és b legkisebb közös többszöröse és  a ∩ b az a és b legnagyobb közös osztója.  A háló nulleleme az 1,  és egységeleme a nulla.

 Legyen S a háromdimenziós tér lineáris alakzatainak halmaza (üres halmaz, pontok, egyenesek, síkok és az egész tér).  R(a,b) jelentse azt, hogy a benne van b-ben.  Ekkor az a ∪ b az a és b alakzatokat tartalmazó legkisebb lineáris alakzat,  a ∩ b pedig az a és b alakzatok közös része.

 Tekintsük a következő számokat: 4, 5, 6, 7, 8 és legyen R a szokásos ≤, azaz R(a,b) jelentése, hogy a ≤ b

 Tekintsük a következő számokat: 2, 4, 6, 10, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek

 Tekintsük a következő halmazokat: {a,b,c}, {a}, {c}, {b,c}, ∅ és a halmazelméleti részhalmaza ( ⊆ ) relációt. {a,b,c} {b,c} {a} ∅ {c}

 Tekintsük a következő intervallumokat: A = [5,6], B = [4,7], C = [2,8], D = [3,9], E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E B A CD

 Tekintsük a következő számokat: 2, 3, 5, 30, 60 és jelentse R(a,b), hogy a osztója b-nek

 Tekintsük a következő intervallumokat: A = [4,5], B = [6,7], C = [2,8], D = [3,9], E = [1,10] és R(a,b) jelentse, hogy az a intervallum része a b intervallumnak. E BA CD

 Legyen P háló, R a P-n definiált részben rendezési reláció és a,b,c ∈ P.  Ha R(a,b), akkor létezik a-nak és b-nek legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátja a ∪ b = b és a ∩ b = a.

A P hálóban a legkisebb felső és legnagyobb alsó korlátok a következő tulajdonságokkal rendelkeznek: a ∪ a = a a ∩ a = a idempotencia a ∪ b = b ∪ a a ∩ b = b ∩ a kommutativitás a ∪ (b ∪ c) = (a ∪ b) ∪ c a ∩ (b ∩ c) = (a ∩ b) ∩ c asszociativitás (a ∪ b) ∩ a = a(a ∩ b) ∪ a = a elnyelési tulajdonság

Legyen az S nemüres halmazban két operáció értelmezve a ∪ b és a ∩ b; az S tetszőleges a,b elemeire úgy, hogy az előbbi 4 feltétel teljesül.  Ekkor S háló, amelyben  az a, b elemek legkisebb felső korlátja a ∪ b,  legnagyobb alsó korlátja a ∩ b.  Az R reláció: R(a,b) pontosan akkor, ha a ∩ b = a.

 Az 1-4 tulajdonságokat gyakran háló axiómáknak is nevezzük.

Ha a P háló véges halmaz, akkor van egységeleme és zéruseleme.  Legyen P = {a1, a2,..., an}.  Akkor e = a1 ∪ a2 ∪... ∪ an  és O = a1 ∩ a2 ∩... ∩ an.  Ha az egységelem és a zéruselem léteznek, akkor egyértelműen meghatározottak.

az S tetszőleges a elemére 1. e ∪ a = ee ∩ a = a 2. O ∪ a = aO ∩ a = O

Legyen S rendezett halmaz.  Akkor S háló, amelyben  a ∪ b = max(a,b) és  a ∩ b = min(a,b).

Tétel: Tetszőleges hálóban R(x,z) ⇒ R(x ∪ (y ∩ z),(x ∪ y) ∩ z) Bizonyítás: Mivel R(x, x ∪ y) és R(y ∩ z, y) és R(y, x ∪ y) és a tranzitivitás miatt R(y ∩ z, x ∪ y) ezért R(x ∪ (y ∩ z), x ∪ y) valamint R(x,z) és R(y ∩ z, z) -ből következik, hogy R(x ∪ (y ∩ z), z) és így R(x ∪ (y ∩ z), (x ∪ y) ∩ z)

Definíció: Az olyan hálót, amelyben R(x,z) ⇒ x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ z moduláris hálónak nevezzük.

 moduláris:

 nem moduláris: {a,b,c} {b,c} {a} ∅ {c} {c} ⊆ {b,c} {c} ∪ ({a} ∩ {b,c}) = {c} ∪ { ∅ } = {c}, ({c} ∪ {a}) ∩ {b,c} = {a,b,c} ∩ {b,c} = {b,c}

Tétel: Tetszőleges hálóban R(x ∪ (y ∩ z), (x ∪ y) ∩ (x ∪ z)) R((x ∩ y) ∪ (x ∩ z), (x ∩ (y ∪ z)). Tétel: Egy hálóban az 1. azonosság pontosan akkor teljesül, ha a 2. azonosság is teljesül. 1. x ∪ (y ∩ z) = (x ∪ y) ∩ (x ∪ z) 2. x ∩ (y ∪ z) = (x ∩ y) ∪ (x ∩ z)

Definíció: Egy hálót amelyben az 1. azonosság (következésképpen a 2. azonosság) teljesül, disztributív hálónak nevezünk.

 Egy halmaz összes részhalmazainak halmaza disztributív háló ( ∩ és ∪ a szokásos halmazelméletei műveletek).  Egy teljesen rendezett halmaz disztributív háló  ( ∩, a legnagyobb alsó korlát az elemek minimuma,  ∪, a legkisebb felső korlát az elemek maxi- muma).

 4 ∪ (6 ∩ 10) = (4 ∪ 6) ∩ (4 ∪ 10)  6 és 10 legnagyobb alsó korlátja (közös osztója): 2  2 és 4 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse): 4  ugyanakkor 4 és 6 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse): 60  4 és 10 legkisebb felső korlátja (közös többszöröse) is 60, azaz a jobboldalon a legnagyobb alsó korlát (közös osztója) is

 Legyen L háló, amelynek egységeleme e és nulleleme 0.  Az a ∈ L elem komplemensének nevezzük azt az a L-beli elemet, amelyre  a ∪ a =e és  a ∩ a = O.  Nyilvánvaló, hogy a komplemense éppen a.  O és e egymás komplemensei.

 Az alábbi ábrán nem disztributív hálót láthatunk.  a d elemnek nincs komplemense  az f elemnek a és b egyaránt komplemensei e d o f abc

Tétel: Egy L disztributív háló minden elemének legfeljebb egy komplemense lehet. Az előbbi ábrából a b elemet és a o-d élet törölve disztributív hálót kapunk, amelyben a d-nek továbbra sincs komplemense.

Definíció: Egy olyan disztributív hálót, amelyben minden elemnek van komplemense Boole-féle algebrának nevezünk.

Tétel: Ha a, b B boole-algebrai elemek, akkor  (a ∪ b) = a ∩ b és  (a ∩ b) = a ∪ b

 a valós világ egy fogalmát reprezentáló osztály egy generikus egység, amely csoportosít egy elemhalmazt és amely egy saját leíróval rendelkezik.  tehát egy C osztályhoz tartozik egy rá jellemző, a reprezentált fogalom állapotát és viselkedését leíró tulajdonsághalmaz

A C osztály konjunkciókkal is kifejezhető, C = (a 1, s 1 ) ⊓ (a 2, s 2 )..., ⊓ (a n, s n ) ahol  az a k attribútum és  s k az attribútumhoz kapcsolódó specifikáció,  pontosítva az értékek típusát, a tartományát és számosságát (a k -k páronként különbözőek).

 az osztályok klasszifikációja során: az osztályhoz tartozó egyedek közös tulajdonságait csoportosítjuk

 az alárendelés  egy általános reláció, amely  az osztályok hierarchiába szervezését biztosítja  (pontos definíció: lásd leíró logikáknál)  egy C osztály alárendeli egy D osztály (C ⊑ D), ha  D minden attribútuma C-ben is megtalálható  a C attribútumai mutatják a D attribútumainak állapot specifikációját

Definíció: Egy H fogalmi hierarchia egy (χ, ⊤, ⊑ ) háló, ahol  χ osztályok véges halmaza,  ⊑ az osztályokon definiált részben rendezési reláció, amit alárendelésnek nevezünk, és  ⊤ a χ egységeleme a ⊑ relációra nézve. ⊤ -t a hierarchia gyökerének nevezzük.

 A χ háló diagramjában a D → C él jelöli azt a tényt, hogy a C osztály alárendeli a D osztályt.

 a H-beli objektumok között megtalálható implicit függőségekre világít rá  osztály-osztály  osztály-egyed  lehetővé teszi, hogy felismerjünk egy objektumot a hierarchiára vonatkozó tulajdonságait azonosítva

A klasszifikáció egy hozzátartozási döntési eljárás. Egy x objektum elhelyezése a H hierarchiába a következőképpen sematizálható: (χ, ⊤, ⊑ ) × {x} → (χ ∪ {x}, ⊤, ⊑ ) A klasszifikáció az osztály állapotát jellemző tulajdonságok szükséges és elegendő jellegén alapul.

 Szükséges feltétel: Legyen C egy osztály és i a C osztály egyede. Ekkor i a C osztály minden attribútumával rendelkezik.  Elegendő feltétel: Legyen x olyan objektum, amely C minden tulajdonságával rendelkezik. Ebben az esetben x osztályozható úgy, mint a C osztály egy egyede.

Az a klasszifikációs művelet, amely lehetővé teszi, hogy az x objektumot elhelyezzük a H hierarchiába három lépésre bontható: 1. az x legspecifikusabb alárendelőinek (SA) keresése 2. az x legáltalánosabb alárendeltjeinek (AA) keresése 3. az x objektum és az alárendeltjei, valamint az alárendelői közötti új relációk kialakítása

Az alapötletet az adja, hogy járjuk be mélységi bejárással az osztályok gráfját mindaddig, amíg olyan osztályt nem találunk, amely nem felel meg az osztályozandó objektum tulajdonságainak.

 Elegendő csak azon SA-k utódait vizsgálni, amelyek ugyanazon tulajdonságokkal rendelkeznek, mint az osztályozandó objektum.  Ha ez az objektum alárendel egy utódot, akkor ez egy SA és az ő utódait figyelmen kívül hagyjuk, különben az utódokat sorra teszteljük, amikor a bejáráskor hozzájuk érünk.

 a legáltalánosabb alárendelt nem feltétlenül közvetlen alárendeltje a legspecifikusabb alárendelőnek

 amikor az x objektumnak megfelelő SA-it és AA-it megtaláltuk, akkor kialakítjuk az új kapcsolatokat az x objektumnak megfelelő osztály, valamint az SA-k és AA-k között  ellenőrizzük, hogy ez az új osztály már jelen van-e a hierarchiában

Legyen  X a hierarchiában elhelyezendő objektum és  Objektum a hierarchia gráf gyökere. Ekkor mélységi kereséssel a HASONLIT eljárás szolgáltatja az X legspecifikusabb alárendelőit.

HASONLIT(Objektum, X) HA X nem alárendeltje Objektumnak AKKOR (a hierarchiában Objektum egyetlen utódja sem rendeli alá X-et) RETURN nil EGYÉBKÉNT (Objektum ideiglenesen a legspecifikusabb alárendelő) HA Objektum levélelem AKKOR RETURN Objektum EGYÉBKÉNT SA lokális változó SA=nil Objektum minden UTOD utódjára DO SA=SA ∪ HASONLIT(UTOD, X) (Ha SA nem nil, akkor az Objektum egyik utódja a legspecifikusabb alárendelő) HA SA=nil AKKOR RETURN Objektum EGYÉBKÉNT RETURN SA

 Legyen adott a következő alárendelési reláció: x alárendeli y-t, ha x osztója y-nak N- ben.  Tekintsük a következő számokat: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 14, 21, 28, 126, 210, 252, 280.

 Ebbe a hierarchiába szúrjuk be a 42-es számot.  a 42 SA-i: 6, 14, és 21  a 42 AA-i: 126 és 210  a 210-ből a 6 felé, 126-ból a 6,14, 21 felé mutató éleket töröltük

{Λ, a, ab, abc, b, bab, bcd, c, d, dd, ddd}, ahol  Λ, amely az üres szót jelenti, a hierarchia gyökere. A szavak egy halmaza egy osztályba sorolható, ha a szavak mindegyike tartalmaz az {a, b, c, d} abécén definiált motívumot. Az osztály nevét az őt jellemző motívum adja.

Például: ab = (motif, *ab*) ahol motif az attribútum neve és * jelöl egy tetszőleges karakterláncot. Definiáljuk az alárendelési relációt két osztály között úgy hogy x ⊑ y, ha az y motif része részszó az x motif részében, azaz, ha x előállítható mym ′ alakban, ahol m és m ′ két szó.

Λ abcd abdd bababcbcdddd

 A következő ábrán a bc szó beszúrása utáni állapot látható.  A bc legspecifikusabb alárendelői b és c, míg a legáltalánosabb alárendeltjei abc és bcd. Az abc-c és bcd-b éleket töröltük.

Λ abcd abdd bababcbcdddd bc

Az ismeretreprezentációs rendszerekben a következtetés kihasználja a szakterületi ismereteket reprezentáló hierarchia tulajdonságait.

A következtetések alapját az alábbi műveletek képezik:  az alárendelés ellenőrzése lehetővé teszi, hogy eldöntsük, vajon egy C osztály alárendeli-e a D osztályt  az osztályok klasszifikációja során egy új X osztályt a neki megfelelő sorrend szerint elhelyezünk a H hierarchiába

A következtetések alapját az alábbi műveletek képezik:  az egyedek osztályozása során meghatározzuk azt az osztályt, amelynek az adott x objektum egy egyede lehet  a tulajdonságok keresésének a célja, hogy megtaláljuk egy osztály vagy egy egyed tulajdonságait, illetve a tulajdonságokhoz és azok értékeihez tartozó korlátozásokat