Kvantitatív módszerek 8. Hipotézisvizsgálatok I. Nemparaméteres próbák Dr. Kövesi János

Általános menet - 1  n szakmai megfontolások alapján felállítjuk az igazolandó hipotézist n statisztikai próba kiválasztása n felállítjuk a nullhipotézist n meghatározzuk a szignifikancia szintet, mintanagyságot, mintavétel n elfogadási és elutasítási tartomány meghatározása

 Általános menet-2 n számított érték meghatározása, a minta adataiból n számított érték és az elfogadási ill. kritikus tartomány összehasonlítása n döntés a nullhipotézisről n értelmezzük az előző pont eredményét a szakmai hipotézisre

Statisztikai próbák elve f(  2 ) 22 DF (szabadsági fok)   2 krit  2 szám   =1-  P(  2 szám <  2 krit (  )|H 0 igaz) = 1-  =  118

Feladat Hogyan döntsük el? Feladat: Egy dobókockáról szeretnénk megtudni, hogy szabályos-e, azaz minden szám előfordulásának valószínűsége egyforma. Hogyan döntsük el? 

Kockadobás összesen 600 dobás

 2 -számított érték DF = r-1-l f k = tapasztalati gyakoriság F k = elméleti gyakoriság r = kategóriák, osztályok száma Szabadsági fok  119

Feladat (megoldás) összesen 600 dobás 

Feladat (megoldás) DF = = 5  = 0,05  2 krit = 11,1  2 szám = 2,02  2 szám <<  2 krit H 0 -t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos. 

Feladat A Tiszán adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során, az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt, amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt, amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy annál több árhullám következett be. Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma Poisson-eloszlással modellezhető?  119

Feladat H 0 : Poisson-eloszlás = ? Emlékeztető: becslés elmélet  0,8  DF = r-1-l = = 2  = 0,05  2 krit = 5,99  2 krit = 5,99 119

 2 krit = 5,99 Feladat kf k F k pkpk  0,8 0,4493 0,3595 0,1438 0, ,55 24,45 9,78 3,22 0,273  H 0 -t elfogadjuk, az árhullámok száma  0,8 paraméterű Poisson- eloszlással leírható. ? ? 120

Feladat Halogénlámpa gyártásánál n=60 elemű minta alapján a betöltött gáztérfogat (cm 3 ) az alábbiak szerint alakult: Leírható-e a gáztérfogat normális eloszlással ?  122

Feladat H 0 : normális eloszlás,  =3,326;  =0,083 DF = 6-1-2= 3 FkFk P(x A   <x F ) 0,19 3,68 ? 26,20 10,10 1, ,0032 0,0613 ? 0,4366 0,1683 0,0180 1,0000 3,34 0,03 ? 0,02 0,00 3,40 7,55 Pl.: P 3 (3,20   <3,30) = F(3,30) - F(3,20) = F 3 = n·P 3 = 60·0,3126= 18,75  122

Feladat Pl.: P 1 (3,00   <3,10) = P 1 (  <3,10) = 0,0032 F 1 = n·P 1 = 60·0,0032 = 0,1941 2 szám= 7,55  = 5%  = 10%  2 krit = 7,81  2 krit = 6,25 H 0 -t elfogadjuk H 0 -t elutasítjuk  FkFk P(x A   <x F ) 0,19 3, ,20 10,10 1, ,0032 0,0613 0,3126 0,4366 0,1683 0,0180 1,0000 3,35 0,03 0,75 0,02 0,00 3,407,55 122

Feladat 98 vállalatnál a halálos balesetek száma ban a következőképpen alakult: Leírható-e a balesetek száma Poisson- eloszlással? 

,8 9 10,2  9898 Pl.: F 3 = n·p 3 = 98·0,224 = 21,95  22 Feladat H 0 : Poisson-eloszlás =3 DF = = 8 kf k F k  = 10%  = 30%  2 krit = 13,4  2 krit = 9,52  2 szám = 13,1 H 0 -t elfogadjuk H 0 -t elutasítjuk 3 ? ? 

Kvantitatív módszerek 9. Hipotézisvizsgálatok II. Szórások összehasonlítása Dr. Kövesi János

F-próba Két független normális F-próbával Két független, ismeretlen várható értékű és szórású normális eloszlást követő valószínűségi változó varianciáinak azonosságára vonatkozó hipotézisünket az ún. F-próbával ellenőrizhetjük. számláló: DF 1 = n 1 -1 nevező: DF 2 = n 2 -1  125

Példa H 0 :  1 =  2 H 1 :  1 >  2  = 0,05  DF 1 = 10DF 2 = 9 F 0,05 = 3,14  125

Több szórás összehasonlítása Kettőnél több, több, normális normális eloszlást követő valószí- nűségi változó szórásainak összehasonlítására a Cochran- v. a Bartlett - próbát alkalmazhatjuk. Ha a minták elemszáma minden mintában azonos, akkor Cochran-próbát alkalmazhatunk. n 1 = n 2 = n 3 =…..= n r = n  126

Feladat Műselyem szakítóerő vizsgálatánál …. n = 10r = 20  127

Feladat A 19. mintát kivéve, ismételjük meg a próbát! n = 10r = 19  DF(f) = n-1= 10-1= 9  = 5%  = 1% g 95 =0,140 g 99 =0,160 A H 0 nullhipotézist elfogadjuk, az i=8-as minta szórása (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan nem tér el a többi szórástól. 128

Feladat Kísérleti gyártásnál két …. n 1 = n 2 = 15 f 1 = f 2 = 15-1 = 14  = 10% F krit = 2,02 H 0 -t elutasítjuk, a két szórás nem származhat (  = 10%-os szinten) azonos varianciájú alapsokaságból. Az első minta szórása szignifikánsan nagyobb a másodikénál. 

Feladat - 5 Egy hazai termék élettartam szórása …. n = 5 f 1 =   = 5% f 2 = 5-1 = 4 F krit = 5,63 H 0 -t elfogadjuk, a minta szórása (  = 5%-os szinten) szignifikánsan nem tér el a hazai termék (alapsokaság) szórásától. 

Kvantitatív módszerek 10. Hipotézisvizsgálatok III. Középértékre vonatkozó próbák Dr. Kövesi János

Átlagok próbái  ismert  nem ismert H 0 :  = m egymintás egymintás u-próba t-próba u-próba t-próba H 0 :  1 =  2 kétmintás u-próba t-próba 

BUX F-próba: H 0 :  1 =  2  = 5% DF sz = n 2 -1= 12-1= 11 DF n = n 1 -1= 65-1= 64 Fkrit = 1,9 <  kétmintás t-próba Szórások megegyeznek? 134

BUX H 0 :  1 =  2 Középértékek összehasonlítása: kétmintás t-próba kétmintás t-próba H 1 :  1   2 kétoldali  = 5% DF = n 1 + n 2 -2= =75 tkrit = 1,99 H 0 -t elfogadjuk, a két minta középértéke (  = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik.  135

Feladat Egy szabályozott folyamatban  0 =100;  0 =0,5. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99 ) ebből a folyamatból?  = 5% Legyen a próba kétoldali (az alsó és a felső eltérés is veszélyes lehet)! -1,96 1,96 A H 0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése a  0 -tól (5%-os szinten) szignifikáns.  H 0 : H 0 :  0 = x

Feladat Egy szabályozott folyamatban  0 =100. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99; = 0,5) ebből a folyamatból?  = 5% Legyen a próba kétoldali! DF = n-1 = 14 t krit =  2,14 A H 0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése a  0 -tól (5%-os szinten) szignifikáns.  H 0 : H 0 :  0 = x

Feladat Szeretnénk eldönteni, hogy - a megkötött bizto- sítások számát tekintve - két ügyfélszolgálati iroda között van-e különbség. A két iroda adatai az alábbiak:  135

Feladat kétmintás t-próba Két minta középértékének összehasonlítása, az elméleti szórás nem ismert. Szórások megegyeznek? F-próba: H 0 :  I =  II  = 5% DF sz = n II -1= 13-1= 12 DF n = n I -1= 11-1= 10 Fkrit = 2,91 <  135

Feladat H 0 :  I =  II Középértékek összehasonlítása: kétmintás t-próba kétmintás t-próba  = 5% DF = n I + n II -2= =22 tkrit = 2,07 H 1 :  I   II kétoldali  H 0 -t elfogadjuk, a két minta középértéke (  = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik. 135