1 TARTALOM: 0. Kombinatorika elemei (segédeszközök) 1. Eseményalgebra 2. A valószínűség: a) axiómák és következményeik b) klasszikus (=kombinatorikus) valószínűségi mező c) geometriai valószínűségi mező 3. Feltételes valószínűség, események függetlensége 4. Valószínűségi változók a) általános definíciók b) várható érték, szórás

2 5. Nevezetes diszkrét eloszlások: a) Bernoulli (= binomiális = visszatevéses mintavétel) b) Hipergeometriai (=visszatevés nélküli mintavétel) c) Geometriai (=próbálkozás amíg nem sikerül) d) Poisson (= a) közelítése) 6. Nevezetes folytonos eloszlások: a) Egyenletes (= buszváró, ="hidastábla", … ) b) Exponenciális (= nem öregedő élettartam) c) Normális (= fizikai / biológiai rendszerek)

3 7. Nagy számok törvényei (Markov, Csebisev, Bernoulli, Csebisev, Centrális, Moivre-Laplace) 8. Két diszkrét val.vált. összefüggése (=kétdimenziós v.v.)

4 4. Valószínűségi változók / v.v. /  = " a kísérlet (mérés) számszerű végeredménye "  (A) = amit éppen mérünk, A eseménynél. Def: /mat./  : P(  )  R tetszőleges függvény.  : A |  z  R valós szám.  !!!  lehet : DISZKRÉT: Im(  ) = {x 1, x 2, …, x n, … } /felsorolható/ vagy FOLYTONOS: Im(  ) = R // Im(  ) = ÉK = a mérés összes lehetséges eredménye //

5 DISZKRÉT v.v. eloszlása : Im(  ) = { x 1, x 2, x 3, x 4, …, x n, … } eloszlása := { p 1, p 2, p 3, p 4, …, p n, … } ahol p i := P(  =x i ) /a méréseredmények val./   Axiómák: /alaptulajdonságok/ (i) 0  p i  1 (ii)  i=1 p i = 1.   DEF./mat./: Tetszőleges {p 1,p 2,…,p n,…} sorozat a fenti két tulajdonsággal. 

6 FOLYTONOS v.v. eloszlása : ábra: f(x)

7 DEF: Sűrűségfüggvény axiómái /  folytonos/ (i)0  f(x)  x  R (ii)  R f(x) dx = 1.  Alkalmazása: P( a    b) = a  b f(x) dx = F(b) - F(a) ahol F(x) =  f(x) dx = primitív függvény = eloszlásfüggvény !!!pontosabban: DEF: F(b) := P(   b) = -   b f(x) dx.  vagy f(x) = F'(x) = deriváltfüggvény = sűrűségfüggvény /Szótár!/ DEF: Eloszlásfüggvény axiómái (  x  R) /  tetszőleges/ (i) 0  F(x)  1, (ii) F(x) monoton nő, (iii) lim x   F(x) = 0, lim x  +  F(x) = 1, (iv) F(x) balról folytonos: lim x  c- F(x) = F(c) /"teli karika"/ 

8 "Tipikus" kérdések (és a válaszok) P(ξ<b) =   b f(x) dx = F(b) P(a  ξ) = a   f(x) dx = 1-F(a) = 1- P(ξ<a) P(a  ξ<b) = a  b f(x) dx = F(b)-F(a) /N.-L.-szabály/ P(ξ=b) = 0 (ha ξ folytonos v.v.) P(ξ  c) = P(|ξ-c|<ε) = P(c-ε<ξ<c+ε) = F(c+ε)-F(c-ε).

9 Vizsgaidőpontok (összevont): május 23, 30, június 6, 13, 20, 27 /péntek/ 10:00-12:00 (?) Neptunon jelentkezni, max. 100 fő

10