A SZABÁLYOS TESTEK GÖMBI VETÜLETEI Kuczmann Erika

A vetítés során az egyenesekből gömbi főkörök lesznek az egyenes szakaszokból --> főkörívek a tükrözés közzéppontjául célszerű a tükörközéppontot választani

Hogyan szerkeszthetjük meg a szabályos testek gömbi vetületeit? 1. Tetraéder 4 csúcsa és 6 éle van a vetület a gömbfelszínt 4 egybevágó szabályos háromszögre bontja Minden csúcsban 3 egybevágó szög találkozik--> egy szög nagysága 120°

A szerkesztés menete (tetraéder) 1. Rajzolunk egy szabályos háromszöget, melynek minden oldala 60 fok, 2. polárháromszög –> megadja a tetraéder vetületének egyik oldalát 3. ezt a háromszöget tengelyesen tükrözzük az oldalára –> megkapjuk a többi 3 oldallapot.

2. Oktaéder 6 csúcsa és 12 éle van, a hálót 8 szabályos háromszög alkotja–>befedik a gömbfelszínt. Minden csúcsban 4 egybevágó szög találkozik –> egy nagysága : 360:4 =90° a kiegészítő szög oktáns a gömbvetület 3 főkörből áll.

3. Ikozaéder 12 csúcsa és 30 éle van, 20 szabályos háromszög alkotja minden csúcsban 5 egybevágó háromszög találkozik egy szög 72°

A szerkesztés menete (ikozaéder) 1.Rajzolunk egy szabályos háromszöget, melynek minden oldala 108°, 2. A polárháromszög –> megadja az ikozaéder egy lapjának gömbi vetületét 20 ilyen háromszög lefedi a gömböt

4. Kocka (hexaéder) 8 csúcsa, 12 éle van, oldallapjai négyzetek, A gömbfelszínt 6 egybevágó szabályos négyszög fedi le minden csúcsban 3 szög találkozik –> egy-egy szög nagysága 360° :3 =120°

Hogyan szerkeszthetjük meg ezeket a négyszögeket ? Ötlet: osszuk ketté a négyszögeket egy átlójuk segítségével két egyenlőszárú háromszögre –> szögei: 60°, 60° és 120° A polárháromszög oldalainak negysága: 180° - 60° =120°, 180° - 60° = 120 ° , 180 ° -120 ° = 60 °.

A kocka gömbi vetülete 1. megrajzoljuk a háromszöget –>polárháromszöget 2. a polárháromszög képét tengelyesen tükrözzük. a szimmetriatengely –a polárháromszög alapja. Megkapjuk a keresett négyszöget.

5. Dodekaéder 20 csúcsa, 30 éle van, hálóját 12 szabályos ötszög határolja -->lefedik a teljes gömböt mindenc csúcsban 3egybevágó szög keletkezik, nagyságuk 360° :3 =120°

Hogyan lehet ötszöget rajzolni? Hasonlóan, mint a kocka esetében, háromszögek segítségével: összekötjük az ötszög középontját a két szomszédos csúcsával -- > a kapott háromszög szögei :60°, 60° a 360 : 5 = 72 fok. A polárháromszögben az oldalak hossza 120, 120 a 108 fok.

Megrajzoljuk a polárháromszöget az eredeti háromszög --> az eredeti háromszög leghosszabb oldala az ikozaéder egyik éle. Szabályos gömbi mozaikok