Kvantitatív módszerek 6. Statisztikai döntések alapelvei Dr. Kövesi János
Döntéselméleti alapok 89 Döntéselméleti alapok
Döntéselméleti alapok 89-90 Döntéselméleti alapok Döntés fogalma Döntéshozó Cselekvési változatok (si) Tényállapotok (tj) tényállapotok valószínűségeloszlása P(tj) Eredmények (oij)
Döntéselméleti alapok 91 Döntéselméleti alapok
Döntéselméleti alapok 91 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Döntési mátrix s1 = 15 000 db „A” termék legyártása} s2 = 25 000 db „B” termék legyártása} t1 = a piacon az „A” terméket keresik} t2 = a piacon a „B” terméket keresik} Eredmények: o11 = 15 000·200-15 000·100-106 = 500 eFt o12 = ….
Döntéselméleti alapok 91 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Döntési mátrix [eFt]
Döntéselméleti alapok 92 Döntéselméleti alapok Döntési osztályok A tényállapotok valószínűségeloszlásának ismerete szerint Bizonytalan körülmények közötti döntés P(tj)-k nem ismertek Kockázatos körülmények közötti döntés P(tj)-k ismertek Döntés bizonyosság esetén
Döntéselméleti alapok 92-93 Döntéselméleti alapok Döntési kritériumok Kockázatos döntések oszt.: opt. várható érték Bizonytalan döntések oszt.: NINCS EGYSÉGES döntési kritérium Wald, Savage, Laplace Biztos döntések oszt.: optimális cselekvési változat kiválasztása
Döntéselméleti alapok 92 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Bizonytalan döntés Wald kritérium óvatos pesszimista 500 -100 -250 750 Döntés: s1
Döntéselméleti alapok 93 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Bizonytalan döntés Laplace kritérium P(t1) = P(t2) = 0,5 500 -100 -250 750 M(s1) = 500·0,5 - 100·0,5 = 200 M(s2) = -250·0,5 + 750·0,5 = 250 Döntés: s2
Döntéselméleti alapok 93 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Bizonytalan döntés Savage kritérium Elmaradó haszon mátrix 500 -100 -250 750 850 750 Döntés: s2
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés P(t1) = 0,7 P(t2) = 0,3 500 -100 -250 750 M(s1) = 500·0,7 - 100·0,3 = 320 eFt M(s2) = -250·0,7 + 750·0,3 = 50 eFt Döntés: s1
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val X1: a piackutatók az „A” terméket jelzik X2: a piackutatók a „B” terméket jelzik t1: a piacon az „A” terméket keresik t2: a piacon a „B” terméket keresik Valószínűségek: P(t1) = 0,7 P(t2) = 0,3 P(x1|t1) = 0,9 P(x2|t2) = 0,8 P(x2|t1) = 0,1 P(x1|t2) =0,2
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val Mit jelent a P(x1|t1) ill. P(x2|t2) feltételes valószínűség? A vállalatot viszont az érdekli, hogy ha a piackutatók az egyik terméket jelzik, akkor mi a valószínűsége, hogy a piacon valóban ezt a terméket fogják keresni? Azaz a P(t1|x1) = ? P(t2|x2) = ? valószínűségeket kell meghatároznunk. Bayes-tétel
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val 500 -100 -250 750 Ha a piackutatók az „A”-t jelzik: M(S1)= 500·0,91-100·0,09 = 446 eFt Ha a piackutatók a „B”-t jelzik: M(S2)= -250·0,23+750·0,77= 520 eFt Mennyi a várható nyereség?
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val P(X1) = ? és P(X2) = ? Teljes valószínűség tétele v. P(X2) = 1-0,69 = 0,31
Döntéselméleti alapok 94 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val S végül a várható nyereség: M(S1)= 446 eFt P(X1) = 0,69 M(S2)= 520 eFt P(X2) = 0,31 M(NY) = 446·0,69 + 520·0,31 = 468,94 eFt
Döntéselméleti alapok 96 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Biztos döntés Pontosan tudjuk, hogy melyik terméket fogják keresni a piacon a következő hónapban. (!?) 500 -100 -250 750 M(NY) = 500·0,7 + + 750·0,3 = 575 eFt
Döntéselméleti alapok 96 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Az információ értéke Elsődleges inf.: 320 eFt/hó Pótlólagos inf.: 470 eFt/hó Biztos inf.: 575 eFt/hó 150 eFt 105 eFt
Döntéselméleti alapok A mintavétel és következtetés hibái
Mintavételi alapelvek 97 Mintavételi alapelvek Következtetés Sokaság Minta Mintavétel
A minta minősítése a sokaságról 97 Következtetés hibái Sokaság A minta minősítése a sokaságról „jó” „rossz” Nincs hiba Másodfajú hiba Elsőfajú hiba Nincs hiba e
97-98 Következtetés hibái /2 ABH FBH /2
99 Feladat Egy szabályozott gyártási folyamatban a kritikus minőségi jellemző 0=3,1 cm3, 0=0,08 cm3 normális eloszlást követ. a.) Számolja ki a 020 beavatkozási határok esetén n=1 elemű mintavétel mellett az elsőfajú hiba valószínűségét! b.) Mekkora a másodfajú hiba valószínűsége, ha a várható érték 1=3,3 cm3 -re változott?
Feladat n = 1 = 2·2,28 = 4,56% = 30,85% /2 =P(ABH<1<FBH) 99 n = 1 /2 ABH=2,94 cm3 =P(ABH<1<FBH) 0=3,1 1=3,3 FBH=3,26 cm3 /2 P(0<ABH) = =(-2) = 2,28% = 2·2,28 = 4,56% = 30,85%
99 Feladat c.) Mekkora az első és másodfajú hiba valószínűsége, 030 beavatkozási határok valamint n=1 és n=4 elemű mintavétel mellett?
Feladat 2,28% n = 1 n = 4 = 0,26% = 69,15% (-3) = 0,13% 99 /2 ABH=2,86 cm3 ABH=2,98 cm3 FBH=3,22 cm3 0=3,1 1=3,3 FBH=3,34 cm3 /2 (-3) = 0,13% 2,28% = 0,26% = 69,15%
100 Feladat Egy statisztikai folyamatszabályozás során a szimmetrikus beavatkozási határokat 10%-os kockázati szint mellett alakították ki. A folyamat normális eloszlást követ, szabályozott állapotban N(190;5) paraméterekkel. a.) Mekkora a másodfajú hiba n=1 elemű mintavétel mellett, ha a folyamat elállítódik? Az elállítódott folyamat eloszlása N(194;9) b.) Végezze el az előző számítást n=9 elemű mintára is!
Feladat 100 /2 ABH =190 FBH /2
Feladat 100 /2 ABH=181,8 0=190 1=194 FBH=198,2 /2
Feladat n = 9 n = 1 /2 0=190 1=194 /2 100 ABH=181,8 ABH=187,26 FBH=192,73 0=190 1=194 FBH=198,2 /2