Gazdaságinformatikus szak Operációkutatás I. 2017.04.04. Varró Zoltán

OPERÁCIÓKUTATÁS 2017.04.04. Varró Zoltán

Az operációkutatás tárgya Angol elnevezések: Operations Research (amerikai) Operational Research (brit) Management Science Az operációkutatás optimumszámítási modellek megalkotásával és megoldási módszerek kidolgozásával foglalkozik. 2017.04.04. Varró Zoltán

Operációkutatási modellezés A probléma verbális megfogalmazása: mi a cél és melyek a korlátozó tényezők. Adatgyűjtés, rendszerezés és feldolgozás: számvitel, statisztika, stb. A matematikai modell felállítása: változók, feltételek és célfüggvény. A modell megoldása, az eredmények értelmezése és érzékenységvizsgálat. Visszacsatolás: ha az eredmények nem ésszerűek, akkor a modellt módosítani kell. 2017.04.04. Varró Zoltán

OK modellek osztályozása Determinisztikus modellek Lineáris programozás Hálózati modellek Többcélú optimalizálás és célprogramozás Egészértékű programozás Nemlineáris programozás 2017.04.04. Varró Zoltán

OK modellek osztályozása Sztochasztikus modellek Döntés bizonytalanság esetén (Decision Analysis) Játékelmélet Markov láncok elmélete Sorbanállások elmélete Szimuláció 2017.04.04. Varró Zoltán

OK modellek osztályozása Hibrid modellek Dinamikus programozás Készletgazdálkodási modellek 2017.04.04. Varró Zoltán

Történeti áttekintés 1736 Kőnigsbergi hidak problémája (Euler) 1788 Lagrange multiplikátorok 1826 Egyenletrendszerek megoldása (Gauss) 1902 Lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldása (Farkas Gy.) 1906 Pareto optimális (efficiens) megoldások 1907 Markov láncok 2017.04.04. Varró Zoltán

Történeti áttekintés 1936 A brit hadseregben először használják az „operational research" kifejezést. 1939 "Mathematical Methods of Organization and Planning Production" (Kantorovics)1941 Szállítási feladat (Hitchcock) 1944 "Theory of Games and Economic Behavior" ( Neumann és Morgenstern) 1947 Szimplex módszer (G. B. Dantzig) 2017.04.04. Varró Zoltán

a szimplex módszer megalkotója Történeti áttekintés George Dantzig (1914 - 2005) a szimplex módszer megalkotója 2017.04.04. Varró Zoltán

Történeti áttekintés 1948 Első OK kurzus az MIT-n 1949 Monte Carlo szimuláció (Ulam, Neumann) 1950 Első OK folyóirat: Operational Research Quarterly 1950 Nash egyensúly (John Nash) 1950 Döntéselemzés (Edwards, Luce, Raiffa, Howard, Keeney) 2017.04.04. Varró Zoltán

Történeti áttekintés 1951 Első számítógépes szimplex algoritmus 1951 Nemlineáris programozás optimalitási feltételei (Kuhn és Tucker) 1957 Dinamikus programozás (Bellman) 1958 Egészértékű programozás (Gomory) 1959 Legrövidebb út probléma (Dijkstra) 2017.04.04. Varró Zoltán

Történeti áttekintés 1965 Célprogramozás (Charnes és Cooper) 1965 Hátizsák feladat (Dantzig) 1978 Data Envelopment Analysis (DEA), (Charnes, Cooper, Rhodes) 1979 Ellipszoid módszer LP feladat megoldására (Hacsijan) 1984 Belső pontos módszer LP feladat megoldására (Karmarkar) 2017.04.04. Varró Zoltán

Lineáris programozás Termelésprogramozási probléma Elméleti alapok Szimplex algoritmus LP modellek készítése Dualitás (árnyékárak) Érzékenységvizsgálat Parametrikus programozás 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Potenciális termékek: szék , asztal , ágy Erőforrások: fűrészáru , gépek , élőmunka Tökéletes verseny (konstans árak) a termékek és az erőforrások piacán. Mennyit termeljenek az egyes termékekből, hogy a nyereség maximális legyen? 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Fajlagos erőforrásigény: szék asztal ágy fűrészáru 3 m 6 m gépóra 5 óra 8 óra 25 óra élőmunka 10 óra 40 óra 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Kapacitások: fűrészáru 1 500 m gépóra 2 150 óra élőmunka 3 000 óra Erőforrások ára: fűrészáru 2 000 Ft/m gépóra 3 000 Ft/óra élőmunka 1 000 Ft/óra Fix költség: 1 millió 500 ezer Ft 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. A termékek ára: szék 35 000 Ft/db asztal 53 300 Ft/db ágy 162 500 Ft/db 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Változó költségek: szék: 3x2000 + 5x3000 + 10x1000 = 31 000 Ft asztal: 6x2000 + 8x3000 + 10x1000 = 46 000 Ft ágy: 15x2000 + 25x3000 + 40x1000 = 145 000 Ft 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Fedezeti nyereség: szék: 35 000 − 31 000 = 4 000 Ft/db asztal: 53 300 − 46 000 = 7 300 Ft/db ágy: 162 500 − 145 000 = 17 500 Ft/db Vizsgáljuk meg egyenként a termékeket! 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. x1 = a legyártott székek száma Összbevétel = 35 000x1 Összköltség = 31 000x1 + 1 500 000 Határbevétel = 35 000 Határköltség = 31 000 Mindaddig növelni kell a termelést, amíg a határbevétel meghaladja a határköltséget. Maximális kibocsátás: 300 db (szűk keresztmetszet: élőmunka) Veszteség: 300 000 Ft. 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Asztal: Maximimális kibocsátás: 250 db (szűk keresztmetszet: fűrészáru) Nyereség: 325 000 Ft Ágy: Maximális kibocsátás: 75 db (szűk keresztmetszet: élőmunka) Veszteség: 187 500 Ft Gyártsanak 250 db asztalt? 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Az eddigi legjobb megoldás tovább javítható! Ha 1 asztal helyett 2 széket gyártanak, akkor - ugyanannyi fűrészáru kell, - 2-vel több gépóra kell, de még van 150 óra, - 10 órával több élőmunka kell, de még van 500 óra. 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Minden csere 2x4000 – 7300 = 700 forinttal növeli a nyereséget. Nyereséges termék helyett veszteséges terméket gyártva is növelhető a nyereség. 50 csere után az élőmunkaórák elfogynak. Optimális 100 db széket és 200 db asztalt gyártani? Hogyan határozzuk meg az optimális termékmixet? 2017.04.04. Varró Zoltán

Komód Kft. Lineáris programozási modell: max z = 4000x1 + 7300x2 + 17500x3 3x1 + 6x2 + 15x3  1500 5x1 + 8x2 + 25x3  2150 10x1 + 10x2 + 40x3  3000 x1, x2, x3  0 Lineáris célfüggvény Lineáris feltételi függvények 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás Termelésprogramozási probléma: Egy vállalat két termék gyártásához két erőforrást használ fel. Célja a maximális árbevétel elérése. Mennyit állítson elő az egyes termékekből? 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás 1. termék 2. termék kapacitás 1. erőforrás 1 2 14 10 eladási ár 6 7 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás Változók: x1 = az 1. termékből gyártandó mennyiség x2 = a 2. termékből gyártandó mennyiség Modell: max z = 6x1 + 7x2 x1 + 2x2  14 x1 + x2  10 x1, x2  0 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás x2 2. feltétel: x1 + x2  10 10 7 x1 10 14 2017.04.04. Varró Zoltán

A lehetséges megoldások halmaza konvex négyszög. Grafikus megoldás A lehetséges megoldások halmaza konvex négyszög. 0, 7 6, 4 [0, 0 10, 0 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás A lehetséges megoldások halmaza konvex, mivel véges sok konvex halmaz metszete. A lehetséges megoldások halmazának véges sok csúcspontja van. 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás 6 7 A célfüggvény egy szintvonala: 6x1+ 7x2 = 42 A célfüggvény leggyorsabb növekedési iránya. 6 7 2017.04.04. Varró Zoltán

Ha van optimális megoldás, akkor csúcspontban is van. Grafikus megoldás Ha van optimális megoldás, akkor csúcspontban is van. Az optimális megoldás x1 = 6, x2 = 4. 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás A lehetséges megoldások halmazának egyetlen belső pontja sem lehet optimális. Ha egy LP feladatnak van optimális megoldása, akkor a lehetséges megoldások halmazának legalább egy csúcspontja is optimális.  Elegendő a lehetséges megoldások halmazának csúcspontjait vizsgálni! 2017.04.04. Varró Zoltán

Szimplex módszer Ha feltételrendszert egyenletrendszerré alakítjuk, akkor a csúcspontokat algebrai úton elő tudjuk állítani. A csúcspontok száma igen nagy is lehet, ezért lehetetlen minden csúcspontot előállítani és kiszámítani a célfüggvény értékét. 2017.04.04. Varró Zoltán

Szimplex módszer A szimplex módszer alapgondolata: A lehetséges megoldások halmazának valamely pontjából kiindulva mindig nagyobb célfüggvényértékű szomszédos csúcspontra lépünk át, mindaddig, amíg az optimális csúcspontba nem jutunk, vagy ki nem derül, hogy a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán. 2017.04.04. Varró Zoltán