HIPERBOLIKUS PROGRAMOZÁS 2017.04.04. Varró Zoltán

A hiperbolikus feladat Hatékonysági problémák megoldására alkalmas. Két lineáris függvény hányadosának maximumát (minimumát) keressük lineáris feltételrendszer mellett. Visszavezethető LP feladatra. 2017.04.04. Varró Zoltán

A hiperbolikus feladat A feladat általános alakja: max z(x) = cx + c0 dx + d0 Ax ≤ b x ≥ o cj fajlagos nyereség c0 fix nyereség dj fajlagos munkaidőigény d0 fix munkaidőigény 2017.04.04. Varró Zoltán

Visszavezetés LP feladatra A célfüggvényt egy t változóval bővítjük: z(x) = t(cx + c0) = c(tx) + c0t t(dx + d0) d(tx) + d0t A nevező legyen 1: d(tx) + d0t = 1 A feltételrendszert szorozzuk meg t-vel. Végezzük el a tx = y helyettesítést. 2017.04.04. Varró Zoltán

Visszavezetés LP feladatra max z = cy + c0t Ay − tb ≤ o dy + d0t = 1 y ≥ o, t ≥ 0 2017.04.04. Varró Zoltán

Visszavezetés LP feladatra Az LP feladat minden  y, t  lehetséges megoldásában t értéke pozitív. Az LP feladat minden lehetséges megoldásához kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető a hiperbolikus feladat egy lehetséges megoldása. Az optimális célfüggvényértékek azonosak. 2017.04.04. Varró Zoltán

Visszavezetés LP feladatra Ha  y, t  optimális megoldása az LP feladatnak, akkor x = 1 y t optimális megoldása a hiperbolikus feladatnak és viszont. 2017.04.04. Varró Zoltán

Példa max z = x1 + 2x2 − 1 2x1 + x2 + 1 2x1 + x2 ≤ 12 x1 − x2 ≤ 3 2017.04.04. Varró Zoltán

Példa z = x1 + 2x2 − 1 2x1 + x2 + 1 A szintvonalak egyenesek: A szintvonalak elfordulnak egy pont körül. x1 + 2x2 − 1 = 0 2x1 + x2 + 1 = 0 Forgáspont: x1 = − 1, x2 = 1. 2017.04.04. Varró Zoltán

Grafikus megoldás z = 1,5 z = 1 Optimális megoldás  − 1, 1 z = 0 2017.04.04. Varró Zoltán

Példa max z = x1 + 2x2 − 1 2x1 + x2 + 1 max z = y1 + 2y2 − t 2017.04.04. Varró Zoltán

Az LP feladat megoldása y1 y2 t z − 1 − 2 1 u1 2 − 12 u2 − 3 u3 3 − 15 u4 2017.04.04. Varró Zoltán

Az LP feladat megoldása y1 y2 z − 3 − 1 u1 26 13 12 u2 7 2 3 u3 29 18 15 t 1 2017.04.04. Varró Zoltán

Az LP feladat megoldása y1 u3 z 11/6 3/2 u1 7/6 u2 4/5 y2 5/6 t 1/6 Az LP feladat optimális megoldása: y1 = 0, y2 = 5/6, t = 1/6 2017.04.04. Varró Zoltán

Optimális megoldás A hiperbolikus feladat optimális megoldása: x = 1  0, 5/6  =  0, 5  1/6 Optimális célfüggvényérték: z = 1,5. 2017.04.04. Varró Zoltán