Készülj az érettségire 1. tananyag: Halmazok, bevezetés

ELMÉLETI ÖSSZEFOGLALÓ

ALAPFOGALMAK HALMAZ HALMAZ ELEME Nem definiáljuk, csak körülírjuk vagy szemléltetjük. Példák: A 10.b osztály tanulói egy halmazt alkotnak. Ennek eleme bármely, az adott osztálybeli tanuló, de nem eleme a 12.a osztályos Nagy Brigitta. A világűrben levő csillagok halmazt alkotnak, melynek eleme a Nap is, de nem eleme a Hold, hiszen az nem csillag. A természetes számok halmazának eleme a 2, de nem eleme a 2,4.

Elemszám, véges halmaz, végtelen halmaz, üres halmaz Fogalmak Elemszám, véges halmaz, végtelen halmaz, üres halmaz Elemszám: megmutatja hogy egy halmazban hány elem van Például: Ha A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, akkor |A|=7 2. Véges halmaz: elemeinek számát egy természetes számmal adhatjuk meg Például: Ha A={a, b, c, d, e}, akkor |A|=5 3. Végtelen halmaz: elemeinek száma nem adható meg egy természetes számmal Például: A={egész számok halmaza} 4. Üres halmaz: nulla elemű halmaz Jelölése: Ø Megjegyzés: Ha A={0}, akkor A nem üres halmaz, hiszen van egy eleme és ez a 0. Tehát |A|=1

Egyenlő halmazok, részhalmaz, valódi részhalmaz Fogalmak Egyenlő halmazok, részhalmaz, valódi részhalmaz Egyenlő halmazok: Két halmaz egyenlő, ha a két halmaz elemei ugyanazok. Jelölés: A=B Például: A={2, 3, 1} B={1, 2, 3} Ekkor A=B, hiszen az elemeik megegyeznek.

B={természetes számok halmaz} 2. Részhalmaz: Egy A halmaz részhalmaza egy B halmaznak, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jelölés: A⊆B Például: A={2, 3, 4, 5, 6} B={természetes számok halmaz} Ekkor A minden eleme B halmaznak is eleme, hisz mindegyik természetes szám. Megjegyzések: 1. Ha két halmaz egyenlő, akkor egymásnak részhalmazai is. Ha A={1, 2, 3, 4} és B={2, 3, 1, 4}, akkor A⊆B, hisz A minden eleme B-nek is eleme, és fordítva B⊆A, hisz B minden eleme A-nak is eleme. 2. Az előbbi pontból látszik, hogy egy halmaz önmagának is részhalmaza. 3. Egy üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.

3. Valódi részhalmaz: Egy A halmaz valódi részhalmaza egy B halmaznak, ha A részhalmaza B-nek, valamint B-nek van olyan eleme , amely A-nak nem eleme. Jelölés: A ⊂B Például: A={1, 2, 3} B={1, 2, 3, 4, 5} Ekkor A valódi részhalmaza B-nek, hiszen A minden eleme B-nek is eleme, továbbá B-nek vannak még A elemein kívül is elemei, ezek a 4 és az 5. Megjegyzések: Látható, hogy ha A=B akkor egymásnak részhalmazai, de nem valódi részhalmazai. Ha A valódi részhalmaza B-nek, akkor A és B halmaz nem egyenlők.

Mintafeladatok: 1. Sorold fel a következő halmaz elemeit: A={ x | xє N, 5 < x ≤ 9 } Sorold fel a következő halmaz összes kételemű részhalmazát! A={1, 2, 3, 4}

Megoldások: A={ x | xє N, 5 < x ≤ 9 } Tehát A={6, 7, 8, 9} A halmazba olyan természetes számok tartoznak, amelyek 5-nél nagyobbak, és 9-nél kiesebbek vagy egyenlő vele. Ezek a számok pedig a következők: 6, 7, 8, 9 Tehát A={6, 7, 8, 9}

2. A={1, 2, 3, 4} halmaz kételemű részhalmazait kell felsorolni 2. A={1, 2, 3, 4} halmaz kételemű részhalmazait kell felsorolni. Vagyis olyan halmazokat keresünk, amelyeknek két eleme van és mindkét eleme A-nak is elem. Ezek a következőek: B={1, 2}, C={2, 3}, D={3, 4}, E={1, 3}, F={1, 4}, G={4, 2}

Feladatsor 1. Sorold fel a következő halmaz elemeit: A={ x | x є N, 10 < x ≤ 12 } 2. Sorold fel a következő halmaz elemeit: A={ A Föld Óceánjai} 3. Mennyi lesz A elemszáma? A={ x | x є N, x ≤ 9 } 4. Véges vagy végtelen a következő három halmaz? A={páros pozitív számok} B={ x | x є Z, x ≤ 5} C={ x | x є N, x ≤ 5} 5. Sorold fel a következő halmaz összes háromelemű részhalmazát! A={1, 2, 5, 6, 7} 6. Sorold fel a H halmaz összes kételemű részhalmazát! H={1, 10, 100} 7. Sorolja fel a H halmaz elemeit, ha H = {kétjegyű négyzetszámok}. 8. Sorold fel A halmaz összes kételemű részhalmazát! A={egyjegyű prímszámok} 9. Sorold fel A halmaz összes egyjegyű részhalmazát! A={2, 9, 12} 10. Írd fel elemeinek tulajdonságaival a következő halmazt! A={5, 6, 7, 8}