Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fuzzy alapfogalmak Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Takács Márta

A fuzzy szó jelentése Elmosódott határokkal rendelkező homályos, határozatlan, pontatlan, változékony, … véletlen, nehezen meghatározható, nem pontos, nem szabatos Bizonytalan Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

A bizonytalanság okai hiányzó információ túl sok információ egymásnak ellentmondó információ pontatlan információ kétértelműség, félreérthetőség Kvalitatív leírás Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

A fuzzy logika és a fuzzy halmazok elmélete Kezeli a a kétértelműségből (ambiguity), pontatlanságból (imprecision), illetve az információhiányból fakadó bizonytalanságot matematikai eszközökkel. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Történeti áttekintés £UKASIEWICZ többértékű logikája később megszámlálhatatlan végtelen értékre is általánosítottak Operációkutatási eredmények L. A. ZADEH berkeley-i professzor ötlete volt - felvetette rendszerelméleti munkáiban a fuzzy halmazelmélet szükségességét. Az 1965-ben megjelent Fuzzy Sets c. tanulmánya Az első időszak egyik lényeges alkalmazási sikét a MAMDANI-módszer jelentette. Az 1984-ben megalakult Fuzzy Rendszerek- Nemzetközi Szövetség (IFSA) a legkomolyabb fuzzy matematika eredmények döntő többsége Európában született Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Alkalmazási területek 1987-ben már: irányítási területeken, számítógépes látás témájában ipari és háztartási elektronikai berendezésekben való alkalmazás Orvos-biológia Kockázatkezelés fuzzy logikát követve más szubszimbolikus mesterséges intelligens módszerek is megjelentek:mesterséges neurális hálózatok, evolúciós programok, genetikus algoritmusok, kaotikus rendszerek, stb. Ezen területek gyakran kombinálódnak is és együttesen a lágy számítástudomány (Soft Computing) megnevezés alatt ismertek. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Fuzzy halmazok Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Halmazelméleti fogalmak X klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelműen el lehet (kell) dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem. Alapfogalmak: x  X, x  X, A X, A = B,  üres halmaz ; X hatványhalmaza P(X). Műveletek : A B, A \ B, A  B, A Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (A  B = B  A); asszociativitás (A (B  C) = (A  B)  C); disztributivitás (A  (B  C) = (A  B)  (A  C)); idempotencia (A  A = A); egységelem létezése (A   = A, A  X = A); az ellentmondás elve(A  A = ); De Morgan szabály … Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Fuzzy-Halmazelméleti fogalmak X klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelműen el lehet (kell) dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem. A halmaz élei nem élesek, … Alapfogalmak? x  X, x  X, A X, A = B,  üres halmaz ; X hatványhalmaza P(X). Műveletek ? : A B, A \ B, A  B, A Műveletek tulajdonságai ? : Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Karakterisztikus függvény Egy adott X halmaz bármely A részhalmazát egyértelműen azonosíthatjuk egy X 0,1 függvénnyel, az A karakterisztikus függvényével: Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

A halmazműveletek karakterisztikus függvényekkel leírt halmazokon Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Tagsági függvény, fuzzy halmaz Fuzzy halmazok: a halmazhoz tartozás és nemtartozás között fokozatos az átmenet. Ezt a tagsági függvény segítségével tudjuk leírni. A tagsági függvény a karakterisztikus függvény általánosítása Legyen X adott halmaz. Az X egy A fuzzy részhalmazát annak A(x): X[0,1] tagsági függvényével jellemezzük. Valamely xX esetén a A(x) szám azt fejezi ki, hogy x milyen mértékig tartozik hozzá az A fuzzy halmazhoz. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

További jelölések Egy X alaphalmaz fuzzy részhalmazainak összességét F(X) jelöli. Az egyszerűség kedvéért egy A fuzzy halmazt és annak tagsági függvényét is ugyanazzal az A szimbólummal jelöljük. Ha X = { x1 ,…, xn } véges halmaz és A egy fuzzy halmaz X-en, akkor az alábbi jelölés elterjedt az irodalomban: A= 1/x1+ 2/x2 +...+ n/xn ahol a i/xi ; i=1,…,n szimbólum azt fejezi ki, hogy i az xi tagsági értéke A-ban, a plusz jel pedig az uniót jelenti (lásd még: valószínűség-számítás, események összege). Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Tagsági függvények leírása Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Háromszög alakú fuzzy halmazok (trianguláris) Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Fuzzy halmaz jellemzői tartó Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I supp(A) = { x X A(x)>0}

Fuzzy halmaz jellemzői mag core(A) = { x X A(x)=1} Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Fuzzy halmaz jellemzői  szinthalmaz Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Fuzzy halmaz magassága, normális fuzzy halmaz Egy A fuzzy halmaz h(A)-val jelölt magasságán a tagsági függvénye szuprémumát értjük: h(A) = supxXA(x) Egy A fuzzy halmazt normálisnak nevezünk, ha h(A) = 1. Ellenkező esetben (vagyis amikor h(A)<1) pedig szubnormálisnak. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Részhalmaz Definíció Legyenek A és B fuzzy halmazok X-en. Azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek, jelölésben A B, ha A(t)B(t) minden tX esetén. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

Egyenlőség Legyenek A és B fuzzy halmazok X-en. Azt mondjuk, hogy A egyenlő B-vel, jelölésben A =B, ha A(t) = B(t) minden tX esetén. A klasszikus esethez hasonlóan érvényesek az alábbiak (A és B fuzzy halmazok X-en): A = B pontosan akkor, ha AB és B A.  A. A X. Itt (x) = 0 minden xX esetén. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

Gyakorlati feladat Rajzoljunk meg a fuzzy tagsági függvényeket a MATLAB-ban, majd a FUZZY toolbox-ban! Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

Források Dr Fodor János: Gépi intelligencia I., előadás diák http://www.tankonyvtar.hu/informatika/fuzzy-rendszerek-fuzzy-080904 Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I http://www.tankonyvtar.hu/informatika/fuzzy-rendszerek-fuzzy-080904