Modellezés és tervezés c. tantárgy Óbudai Egyetem Neumann János Informatikai Kar Alkalmazott Matematikai Intézet Mérnöki Informatikus MSc 4. Előadás A geometria leírása modelltérben 2/1. rész Dr. Horváth László egyetemi tanár

A prezentációban megjelent képernyő-felvételek a CATIA V5 és V6 PLM rendszer ek nek, az Óbudai Egyetem Intelligens Mérnöki Rendszerek Laboratóriumában telepített installációján készültek, valóságos működő modellekről, a rendszer saját eszközeivel. Ez a prezentáció szellemi tulajdon. Hallgatóim számára rendelkezésre áll. Minden más felhasználása és másolása nem megengedett! CATIA V5 és V6 PLM rendszer ek a Dassult Systémes Inc. é s a CAD-Terv Kft támogatásáva l üzemel laboratóriumunkban Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Tartalom Egy kis történet Közelítő és interpolációs görbék alakjának irányítása Szegmentált B-szplájn görbék jellemzői. Görbe paraméteres egyenlete Felület paraméteres egyenlete Dr. Horváth László OE-NIK-AMI Laboratóriumi feladat MT 4.1: Pontok interpolációja síkban, tabulált felületek, görbék felületen, Felületek összekapcsolása a rajtuk definiált görbékből kiindulva, keresztmetszeteken átmenő felületek és kontextusaik Laboratóriumi feladat MT 4.2: Görbék és felületek generálása és kontextusai tömör test ábrázolásához

Közelítő és interpolációs görbék alakjának irányítása Interpoláció Approximáció P 0 P 1 P 2 P 3 konvex burok P 0 P 1 P 2 P 3 P 0 P 1 P 2 P 3 P 1,, P 2 Lineáris Harmadfokú Kör A Hermite (Alkalmazta: Ferguson és Coons) t1 t2 t2’ Vezérlő sokszög Vezérlőpont Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Egy kis történet Paul Bezier francia matematikus (Renault gyár): autókarosszériák tervezésénél alkalmazható közelítési módszer. Egyidőben ugyanilyen módszeren dolgozott de Casteljau a Citroen gyárban. A módszer Bezier neve alatt vált ismertté. Paul Bezier Bevezette a vezérlő sokszöget. A módszer Bezier neve alatt vált ismertté. Bezier görbéjének tulajdonságai: Globális vezérlés. Fokszáma mindig a vezérlőpontok száma -1. Bernstein polinom alapfüggvények: A görbe az első és utolsó vezérlőponton áthalad. A vezérlő sokszög első és utolsó szegmensére érintőleges.. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Görbe paraméteres egyenlete t n b u max P (x,y,z) ( u ) u min Z X Y P A görbe lokális paraméterei Kisérő triéder: t – érintő, n- főnormális b –binormális Egységvektoraiból. Simulósík: t és b vektorok Normálsík: b és n vektorok Görbület A görbe paraméteres egyenlete az u paraméter értékéhez adja meg a pont modelltérbeli x, y és z koordinátáit. Általános alakja: P(u)=[x(u) y(u) z(u)], ahol u min <= u <= u max A P pont modelltérbeli x, y és z koordinátái az u paraméter függvényében: x=x(u), y=y(u) és z=z(u) Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Felület paraméteres egyenlete, paramétertér u=0,4 u=0 v=1 u=1 v=1 u=1 v=0 v=0,8 v=1 v=0 u=1 u=0 izoparaméter-görbék P v P u (x,y,z) Y X Z P ( u, v ) P modell koordináta-rendszer,, A felület paraméteres egyenletének általános alakja: P(u,v)=[x(u,v) y(u,v) z(u,v)] ahol u min <= u <= u max és v min <= v <= vmax A P pont modelltérbeli x, y és z koordinátái az u és v paraméterek függvényében: x=x(u,v), y=y(u,v) és z=z(u,v) Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Paraméter egyenes és tér u max u min u max v min v max u min u i u i v j u i v j u i Paraméter egyenes Paramétertér Görbe Felület Modelltér Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Görbe leírása szplájn alapfüggvény alkalmazásával 1. A szplájn matematikai modellje 2. Szegmentált görbe t=0 t=1 u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 intervallumok sorozata Csomók (knot) Pontokon átfektetett fémszalag u i u i+2 i+1 uu i+3 u i+4 u i u i+2 i+1 uu i+3 u i+4 A görbe paraméter-tartományának felosztása intervallumokra Egyenközű (uniform) Nem egyenközű (non-uniform) A görbe fokszáma: az alapfüggvény folszáma Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Görbe leírása szplájn alapfüggvény alkalmazásával 3. A csomóvektor tulajdonságai Az u i -k sorozata a csomó szekvencia vagy csomó vektor (knot sequence, knot vector) Az n + 1 vezérlőpont, k -ad rendű, k-1 fokszámú, m számú csomó esetében (m+1) = (n+1) + k Ebből a csomók száma m = n + k B-szplájn görbét leíró polinom fokszáma az egyes paraméter-intervallumokon belül nem haladja meg a k-1 értéket  u:i= 0,1,..., i nk  uu ii  1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Görbe leírása szplájn alapfüggvény alkalmazásával 3. A csomóvektor tulajdonságai (folytatás) b a c "a" görbe: k=2, fokszám=1 "b" görbe: k=3, fokszám=2 "c" görbe: k=4, fokszám=3 A csomóvektorok: "a" görbe:   "b" görbe:   "c" görbe:   A paraméter-intervallumok ismétlődnek: Periódikus (periodic) B-szplájn. Az egyenközű B-szplájn egyben periódikus is. A nem-periódikus (non- periodic) B-szplájn: A vektor belső csomói egyenlő elosztásúak A vektor elején és végén legfeljebb a görbe rendűségével azonos számú intervallum ismétlődik. Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

A B szplájn görbe vezérlése V 0 V 1 V 2 V 3 V 4 V 5 Szegmens Vezérlőpontok, amelyek hatnak a szegmensre 1 V 0 -V 2 2 V 1 -V 3 6 V 5 -V 1 Egyenközű periodikus A szegmenshatáron a másodrendű folytonosság (érintőben és görbületben) automatikusan megmarad a görbe módosítása után: Az alapfüggvény csak a B-szplájn görbe szegmensre eső paramétertartományában vezéreli a görbét. DE: Ezért a valóságban a vezérlés: Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI Laboratóriumi feladat MT 4.1: Pontok interpolációja síkban, tabulált felületek, görbék felületen, Felületek összekapcsolása a rajtuk definiált görbékből kiindulva, keresztmetszeteken átmenő felületek és kontextusaik

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.1 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.2 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI Laboratóriumi feladat MT 4.2: Görbék és felületek generálása és kontextusai tömör test ábrázolásához

Laboratóriumi gyakorlat MT 4.2 Dr. Horváth László OE-NIK-AMI