Pitagorasz -élete -munkássága -tétele és bizonyítása -tételének megfordítása és bizonyítása

Élt: i.e. 580-500 Szamosz szigetéről származott. A görög ókor egyik legnagyobb nevű matematikusa volt. Kroton városában iskolát alapított. Minden bizonnyal igen széles látókörű, a tudományokat művelő, a filozófia és a matematika iránt szenvedélyesen érdeklődő személyiség volt. Azt tudjuk, hogy a nevét viselő tétel nem tőle származik, hiszen már előtte nyomára akadhatunk Egyiptomban vagy Babilóniában. Kapcsolatban volt Thalésszel. Az irracionális számok felfedezésén kívül neki és az általa alapított iskolának, a pitagoreusoknak köszönhetők az első számelméleti felfedezések és a szabályos testekről szerzett A hagyomány szerint nagy matematikus volt, aki világképében a számokat önállóan létező szubsztanciákként, a valóság alapelemeiként tüntette fel.

T é t e l : B Derékszögű háromszögben a két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével. c a a2 + b2 = c2 C b A

Bizonyítás: Alapgondolata: Azonos területekből azonos területeket elvéve a maradék területek is egyenlő nagyságúak. b2 a2 a b a b a b a c c b C2 a c c b a b b a a2 + b2 = c2

? A tétel megfordítása k2+ l2 = m2 k2+ l2 = (m’)2 Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű. k ? M’ l m l k k2+ l2 = m2 k2+ l2 = (m’)2

A tétel megfordításának bizonyítása Tegyük fel, hogy a k, l, m oldalú háromszög olyan, amelyre teljesül, hogy k2 + l2 =m2 l m Felveszünk egy k, l befogójú derékszögű háromszöget, ennek az átfogóját jelöljük m’-vel. k Erre a háromszögre alkalmazzuk Pitagorasz-tételét: k2 + l2 = (m’)2 l m’ Két egyenlőséget összehasonlítva kapjuk, hogy m2 =(m’)2 m> 0 ; m’ > 0 m= m’ k A két háromszög mindhárom oldalának hossza páronként megegyezik, tehát a két háromszög egybevágó. Egybevágó háromszögekben pedig a szögek nagysága is megegyezik, ebből következik, hogy az eredeti háromszögben az „m” oldallal szemben derékszög van.

Felhasznált irodalom:: -Hajnal Imre -Számadó László -Békéssy Szilvia Matematika a gimnáziumok számára 9. Nemzeti Tankönyvkadó, Bp.( 3. kiadás 2003) -Magyar Larousse enciklopédia 3. Akadémiai Kiadó, Budapest, 1994 Készítette: Fazekas Bernadett 2004.április