Sokszögek modul Pitagórasz Hippokratész Sztoikheia Thalész Euklidesz © Vidra Gábor, 2006.

I. Sokszögek és négyszögek Konvex sokszögek Konkáv sokszögek Szabályos sokszögek Speciális sokszögek © Vidra Gábor, 2006.

A sokszögek szögei Mintapélda1 Megoldás: Számítsuk ki a szabályos ötszög belső és külső szögeit, valamint ezek összegét! Megoldás: Egy középponti szög nagysága A belső szög A külső szög A belső szögek összege így 5∙108° = 540°, a külső szögek összege 5∙72° = 360°. © Vidra Gábor, 2006.

Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege: 360°. A sokszögek szögei Mintapélda2 Számítsuk ki az n oldalú konvex sokszög belső és külső szögeinek összegét! Megoldás: a) A sokszög egy csúcsából n – 3 átló húzható, ami a sokszöget n – 2 kis háromszögre bontja. A sokszög szögösszege épp ezen kis háromszögek belső szögeinek összege. Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: b) A belső és a külső szögek 180°-ra egészítik ki egymást. A külső szögek összegét úgy kapjuk, hogy -ból kivonjuk a belső szögek összegét: Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege: 360°. © Vidra Gábor, 2006.

További összefüggések a négyszögek szögeivel kapcsolatban Váltószögek Társszögek Egyállású szögek © Vidra Gábor, 2006.

II. A sokszögek nevezetes vonalai, szimmetriái Mintapélda3 Számítsuk ki egy n oldalú konvex sokszög átlóinak a számát! Megoldás: Egy csúcsból n – 3 átló húzható. Mivel n csúcs van, ezért átlót számoltunk. Minden átlót beszámítottunk mindkét végénél. Az n oldalú konvex sokszögben az átlók száma: © Vidra Gábor, 2006.

A sokszögek nevezetes vonalai, szimmetriái Mintapélda4 Válaszoljunk a következő kérdésekre! a) Melyik négyszögben felezik az átlók a szögeket? b) Melyik négyszögben merőlegesek egymásra az átlók? c) Melyik négyszögekben felezik egymást az átlók? Megoldás: a) Deltoidban a szimmetriaátló; rombuszban, négyzetben mindkét átló. b) Deltoidban, és mindenben, ami deltoid: rombuszban, négyzetben. c) Mindenben, ami paralelogramma: téglalapban, rombuszban, négyzetben. Azaz a középpontosan szimmetrikus négyszögekben. © Vidra Gábor, 2006.

A sokszögek nevezetes vonalai, szimmetriái Mintapélda5 Szerkesszünk trapézt, ha adottak az oldalai: az alapok 16 cm és 6 cm, a szárak 6 cm és 8 cm. Megoldás: A vázlatból észrevehetjük, hogy az AB’D háromszöget három oldalhosszának ismeretében (6 cm, 8 cm; 16 – 6 = 10 cm) meg tudjuk szerkeszteni. © Vidra Gábor, 2006.

Középvonalak Háromszögek és négyszögek esetén középvonalaknak nevezzük az oldalfelező pontokat összekötő szakaszokat. © Vidra Gábor, 2006.

Sokszögek szimmetriái © Vidra Gábor, 2006.

III. A konvex sokszögek területe Egy csúcsából induló átlókkal háromszögekre bontjuk a sokszöget. T = T1 + T2 + T3 + T4 + T5 Mintapélda6 Számítsuk ki az ábrán található négyszög területét rácsegységben! Megoldás: © Vidra Gábor, 2006. T = T1 + T2 = 17 területegység.

A speciális négyszögek területei f a T = a2 ma a b T = a · b ma a © Vidra Gábor, 2006.

A speciális négyszögek területei Mintapélda7 Fejezzük ki a háromszög, a trapéz és a paralelogramma területét a középvonal segítségével! Mi a közös a képletekben? Megoldás: Háromszög vagy © Vidra Gábor, 2006.