Halmazok, relációk, függvények Készítette: Kovács Zita

Tartalom Teszt 1. Alapfogalmak (ismétlés) az alábbi témakörökből: Halmazok Relációk Függvények

Teszt 1. - Halmazok Írd le matematikai jelekkel a következő halmazt! Legyen A a 6-nál nagyobb és a 14-nél nem nagyobb természetes számok halmaza! Igaz vagy hamis? 4∈𝐴5 ∉𝐴 6⊂𝐴𝐴∋14 10⊆𝐴

Teszt 1. - Halmazok Legyen A={1;2;3} és B={2;4;6}. AUB=? A∩B=? A\B=? Mennyi a számossága az alábbi halmaznak? C = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19} Legyen H= {k; e; n; y; é; r} és A = {k; é; r}. Mi az A halmaznak a H halmazra vonatkozó komplementere? Legyen A = {3; 5} és B={1;2}. AxB=?

Teszt 1. - Függvények Add meg azt a függvényt, amely a számokhoz hozzárendeli a reciprokuk kétszeresét!

1. Halmazok halmaz jelölése: nagybetűkkel, pl.: A, B, C, … halmaz eleme jelölése: kisbetűkkel, pl.: a, b, c,… eleme, hozzátartozik: az eleme reláció jele: ∈; ha a egy objektum, H pedig egy halmaz, akkor a∈H azt fejezi ki, hogy az a objektum eleme a H halmaznak számosság: elemeinek darabszáma; jele: |A| üreshalmaz: egyetlen eleme sincs, jele: ∅ vagy {} megj.: |∅|=0; ∅ ≠ {0}

1. Halmazok Megadási módok Felsorolással Matematikai kifejezéssel Szöveggel Adott: ha egyértelműen eldönthető minden elemről, hogy a halmazhoz tartozik-e vagy sem. Szemléltetése pl. Venn-diagrammal

1. Halmazok Részhalmaz: A részhalmaza B-nek, ha A minden eleme B-nek is eleme. Jele: A ⊆ B Példa: B = {1;2;5;7;9} A = {1;7} C = {2;5;9} Részhalmazok felsorolása az A halmaz összes részhalmazának darabszáma: 2|A| Megj: ∅ ⊆ B, B ⊆ B (nem valódi részhalmazok)

Feladat 1. feladat: Sorold fel a következő halmazok összes részhalmazait! Mennyi van belőlük az egyes esetekben? Mik a nem valódi részhalmazok? A = {1; 2; 3} B = {x; y; z}

Műveletek halmazokkal Egyesítés (unió) Közös rész (metszet) Különbség Szimmetrikus különbség Részhalmaz kiegészítő (komplementer) halmaza Két halmaz Descartes-féle (direkt) szorzata

1. Egyesítés (unió) Az A és B halmazok uniója azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartoznak. Jele: A ∪ B A ∪ B = { x | x ∈ A vagy x ∈ B}

Unió A = {1; 3; 5} B = {2; 4; 6} A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Példa: 2. feladat: A = {1; 2; 3; 4} B = {3; 4; 5; 6} A ∪ B = ? 3. feladat: A = {1; 2; 9} A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 9} B = ?

2. Közös rész (metszet) Az A és B halmazok metszete azoknak az elemeknek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartoznak. Jele: A ∩ B A ∩ B = { x | x ∈ A és x ∈ B} Ha A ∩ B = ∅, akkor az A és a B halmazt diszjunkt halmaznak nevezzük.

Metszet A = {a; b; c; d; e} B = {b; e; f; g} A ∩ B = {b; e} Példa: 4. feladat: A = {a; b; k; s; t} B = {b; k; l; m; n; t} A ∩ B = ? 5. feladat: A = {c; e; d; s; m} A ∩ B = {e; d; s} B = ? 6. feladat: A ∩ B = {k; o} A = {a; b; d; k; o; t} A ∪ B = {a; b; d; e; t; f; h; k; o; s}

3. Különbség Az A és B halmazok különbséghalmazán azoknak az elemeknek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartoznak, de B-hez nem. Jele: A \ B A \ B = { x | x ∈ A és x ∉ B} B \ A = { x | x ∈ B és x ∉ A}

Különbség A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 4; 6; 8; 10} Példa: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {2; 4; 6; 8; 10} A \ B = {1; 3; 5} B \ A = {8; 10} 7. feladat: A = {2; 4; 8; 16; 32} B = {1; 2; 8; 16; 64} A \ B = ? B \ A = ? 8. feladat: A \ B = {1; 3; 8} B \ A = {4; 7; 9; 10} A U B = {1; 2; 3 ; 4; 6; 7; 8; 9; 10} A ∩ B = ?

4. Szimmetrikus különbség Az A és a B halmazok szimmetrikus különbségén az (𝐴\B)∪(𝐵\A) halmazt értjük. Jele: 𝐴∆𝐵 Ezt csak említem, nem fog kelleni.

Szimmetrikus különbség A={1;2;3;4;5} B ={2;4;6;8} A∆B=A\B U B\A={1;3;5}U{6;8}={1;3;5;6;8}

5. Kiegészítő (komplementer) halmaz Legyen 𝐴⊂𝐻. H azon elemeinek halmazát, amelyek nem elemei A-nak, az A halmaz H halmazra vonatkozó kiegészítő halmazának nevezzük. Jele: 𝐴 = 𝐶 𝐻 𝐴

Komplementer 9. feladat: H = {10;11; 12; 13; 14;15} A = {10; 12; 13}   9. feladat: H = {10;11; 12; 13; 14;15} A = {10; 12; 13} CHA = ? 10. feladat: A = {1; 7; 8; 9} CHA = {2; 3; 5} H = ?

6. Két halmaz Descartes (direkt) - szorzata Azoknak a rendezett pároknak a halmazát, amelyeknek az első komponense az A-nak, a második komponense a B-nek eleme, az A és a B halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Jele: A x B A x B = { (x;y) | x ∈ A és y ∈ B } Ha |A|=n és |B|=m, akkor |A x B|=n*m Fontos művelet!

Descartes-szorzat Példa: A = {1; 2} B = {1; 3} A x B = {(1;1); (1;3); (2;1); (2;3)} 11. feladat: A = {1; 4} B = {2; 3; 4} A x B = ? 12. feladat: A = {1; 4; 7} Melyek elemei AxB-nek? (1;3) (7;2) (3;4) (4;4) (3;7) (4;1) (4;7) (2;7) (2;1) (7;4) (2;3) (1;4) Add meg a hiányzó elemeket! B x A = ?

6+1. n db halmaz Descartes (direkt) - szorzata Azoknak a rendezett elem-n-eseknek a halmazát, amelyeknek az első komponense az A1-nek, a második komponense a A2-nek, …, és az n-dik komponense az An-nek eleme, az A1, A2, …An halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Jele: A1 x A2 x … x An A1 x A2 x … x An = { (a1,a2,…,an) | a1 ∈ A1, a2 ∈ A2, …, an ∈ An }

Halmazműveletek főbb azonosságai Két halmaz egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Kommutatív Asszociatív Disztributív Idempotens De-Morgan Stb… Ezt csak említem, nem fog kelleni.

2. Relációk Definíció: Az A és B halmazok Descartes- szorzatának egy R ⊆ AxB részhalmazát az A és B halmazok közötti (binér) relációnak nevezzük. Ha (a,b) ∈ R, akkor azt mondjuk, hogy „az a elem R relációban van b-vel”; aRb A=B esetén A-n értelmezett relációnak mondjuk.

2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt Ekvivalenciarelációnak nevezzük, ha R Reflexív (∀a ∈ A: aRa) Szimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb, akkor bRa) Tranzitív (∀a, b, c ∈ A: ha aRb és bRc, akkor aRc) Példa: = (feladat ellenőrizni)

2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt Féligrendezési relációnak nevezzük, ha R Reflexív Antiszimmetrikus (∀a, b ∈ A: ha aRb és bRa, akkor a=b) Tranzitív Példa: részhalmaz (feladat ellenőrizni)

2. Relációk Definíció: Az A halmazon értelmezett R ⊆ AxA relációt Rendezésnek nevezzük, ha R Féligrendezés és Minden a, b eleme A esetén: aRb vagy bRa Példa: A=R, ≤ (feladat ellenőrizni)

Példák, feladatok Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a párhuzamosság? Melyek az ekvivalenciaosztályok? 13. Legyen A a sík összes egyeneseinek halmaza! Ekvivalenciareláció-e az A halmazon a merőlegesség? 14. Legyen R={(a;a); (a;b); (a;c)} az {a;b;c} halmazon értelmezett reláció! Minimum hány elemmel kell kiegészíteni az R halmazt, hogy az reflexív legyen? szimmetrikus legyen?

3. Függvények Definíció: Egy R ⊆ AxB relációt függvénynek nevezzük, ha abból, hogy (a,b)∈R és (a,c)∈R következik, hogy b=c. Bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

3. Függvények, mint egyértelmű hozzárendelések A hozzárendelések között vannak olyanok, amelyek az egyik halmaz minden eleméhez a másik halmaznak pontosan egy elemét rendelik hozzá. Ezek az egyértelmű hozzárendelések. Az egyértelmű hozzárendeléseket függvényeknek nevezzük. A függvényeket kisbetűkkel jelöljük: f,g,h, … stb. Azokat a függvényeket, amelyek mindkét irányban egyértelműek („megfordíthatóak”), kölcsönösen egyértelmű függvényeknek nevezzük.

3. Függvények A függvényt megadhatjuk táblázattal grafikonnal nyíl-diagrammal képlettel vagy egyéb utasítással Azt a halmazt, amelynek az elemeihez hozzárendeljük a másik halmaz elemeit, alaphalmaznak, a másik halmazt, amelybe a hozzárendelt elemek tartoznak, képhalmaznak nevezzük. A hozzárendelési szabály (utasítás) adja meg a függvényt, amely szerint az alaphalmaz elemeihez egyértelműen hozzárendeljük a képhalmaz elemeit.

Értelmezési tartomány - ÉT Az alaphalmaz azon elemeinek a halmaza, amelyekre a hozzárendelési szabály érvényes. Ez lehet maga az alaphalmaz is. Az értelmezési tartomány elemeit szokás változóknak is nevezni.

Értékkészlet - ÉK A képhalmaz azon elemeinek a halmaza, amely értékeket a függvény felvesz. Ez lehet a teljes képhalmaz is. Elemei a függvényértékek.

Példák, feladatok f: R → R, x → 2x g: R → R , x → x2 stb…

Induktív definíció Egy sajátos és nagyon megbízható definíciós módszer. Elsősorban halmazok és függvények definiálására használható. A definíció két fő részből áll: A bázis megadása A szabály, vagy szabályok megadása

Segédletek http://www.math.klte.hu/~kovacsa/Halmaz.pdf http://tudasbazis.sulinet.hu/hu/matematika/matematika/matematika-9- osztaly/halmazok-halmazmuveletek/halmazmuveletek http://www.tankonyvtar.hu/en/tartalom/tamop425/0033_SCORM_GEMA N6206B/sco_01_03.htm