Mérési pontosság (hőmérő) Pontossága: -80…+20 °C → ±(0,176-0,0028 * hőmérséklet) °C +20…+60 °C → ±(0,064+0,0028 * hőmérséklet) °C

Analóg hőmérő

Elektromos analóg hőmérő

Amplitúdókvantálás A/D

Mérési hibák hiszterézis kvantálás kalibrációs függvény

A statisztika feladata Mennyire hihetők a kísérletek, megfigyelések megállapításai? Mennyiben játszik szerepet a véletlen? Minta alapján becslés, válasz valószínűségi állítás formájában Aktív statisztika (megfigyelések, mérések tervezése, kísérlettervezés)

Statisztikai módszerek Sztochasztika Valószínűségszámítás Megfigyelések értékelése Bizonytalanság okainak felderítése Döntéshozatal

Valószínűségek Véletlen esemény: előfordulása bizonytalan (se nem biztos, se nem lehetetlen) P(E) bekövetkezési valószínűség (0,00-1,00) Relatív gyakoriság (%)

Függetlenség Komplementer (kiegészítő) esemény Feltételes valószínűség Sztochasztikus függetlenség E2 esemény valószínűsége, ha E1 esemény bekövetkezik. Pl. E1 házasnak lenni, E2 egygyerekesnek lenni. A sztochasztikus függetlenség fordítva is igaz. A megfigyelések gyakran egy kísérlet n számú független megfigyeléséből származnak. A legtöbb statisztikai eljárás független megfigyeléseket feltételez.

Ismérv, alapsokaság, minta Kvantitatív és kvalitatív ismérvek Összes lehetséges előfordulás = alapsokaság Mintavétel: olcsó, gyors, egzakt

Véletlen mintavétel, szisztematikus hiba Minden elem egymástól függetlenül és azonos valószínűséggel kerül a mintába (véletlen számok) Előnye: a belőle származtatott statisztikai mutatók csak a véletlen eltérést mutatják az alapsokaság mutatójához képest Szelekció Reprezentativitás

Paraméter Minta adataiból az alapsokaság adatira következtetünk Az alapsokaság jellemző értékeit paraméternek nevezzük (görög betűvel jelöljük) A minta középértékből alapsokaság középértékére következtetünk Megbízhatósági intervallum Statisztikai próba Minél nagyobb a független minta, annál pontosabb a következtetés.

Véletlen minta előállítása Véletlen szám generátor Pszeudó véletlen szám generátor Rnd() függvény Excel Vél() függvénye VÉL()*(b-a)+a

Mintavételi eljárások N=1500 és 3000 között Egynemű (homogén) alapsokaság mintái Nem egynemű (heterogén) alapsokaság mintái Csoportba rendezett (csomók) Nem rendezett csoportba (rétegképzés) Blokk képzés (homogén csoportok kialakítása Csomók: egy terület növényei, állatai, a családok, az iskolai osztályok, az azonos házban lakók, városrészek, egyetemek, stb. Rétegek: rétegképzés nemek szerint, életkor, lakóhely, foglalkozás, stb. szerint. Folytonos változókból osztályközök képzése. Blokk: alom, nem, testalkat, parcellák, kor, stb.

Statisztikai becslés Valamely paraméter ismeretlen (feltételezett) tényleges értékének közelítő megadása egy statisztikai függvénnyel. Elvileg bármelyik statisztikai függvény tekinthető becslésnek, valójában csak azokat használjuk, amelyeknek megvannak a jó becslés legfontosabb tulajdonságai

A jó becslés kritériumai Torzítatlanság (várható érték) Pontosság (szórás) Konzisztencia

Torzítatlan és konzisztens becslés Olyan becslés, amelynek várható értéke az igazi paraméter (torzítatlan) Olyan becslés, amely a minta n elemszámának növekedésével (n  ) a paraméter igazi értékéhez konvergál sztochasztikusan (erős konzisztencia esetén 1 valószínűséggel)

Pontos és torzítatlan becslés

Pontos és torzított becslés

Pontatlan és torzítatlan becslés

Pontatlan és torzított becslés

Centrális mutatók Átlag (várható érték) Medián (középső adat, gyakran helyettesíti a számtani közepet) Módusz (leggyakrabban előforduló elem)

Szóródási mutatók Helyzeti: Számított: Maximum (standardizált értéke) Minimum (standardizált értéke) Terjedelem (max.-min.) Kvartilisek (negyedelők) Interkvartilis (Q3-Q1)/2 Számított: Szórás Variancia Az átlag standard hibája A medián standard hibája

Nem paraméteres eljárások Eloszlás egyezése egy adott eloszlással (egymintás próba)? Medián egyezése adott értékkel? CHI-NÉGYZET PRÓBA (RELATÍV GYAKORISÁGOK ÖSSZEHASONLÍTÁSA) ELŐJEL-PRÓBA Két eloszlás egyezése, homogenitás vizsgálat? Két várható érték egyezése? CHI-NÉGYZET PRÓBA ELŐJEL-PRÓBA, MANN-WHITNEY, WILCOXON-PRÓBA Két esemény függetlenségének tesztje? Két összetartozó minta egyezése? FÜGGETLENSÉG VIZSGÁLAT, CHI-NÉGYZET PRÓBÁVAL WILCOXON-TESZT, ELŐJEL-PRÓBA Több várható érték egyezése? A mintavétel egy szempont alapján történik? KRUSKAL-WALLIS-PRÓBA (paraméteres: egytényezős variancia-analízis) Több várható érték egyezése? A mintavétel egy szempont alapján történik? Minta elemszámok azonosak? FRIEDMAN-TESZT (paraméteres: kéttényezős variancia-analízis) Az eljárások vagy az eloszlások, vagy a mediánok tesztelésére alkalmasak.

Paraméteres eljárások 1. Várható érték? Várható érték egyezése adott értékkel? Szórás ismert? Igen Nem EGYMINTÁS U-PRÓBA EGYMINTÁS T-PRÓBA Két várható érték egyezése? Az elméleti szórások ismertek? KÉTMINTÁS U-PRÓBA KÉTMINTÁS T-PRÓBA Összetartozó adatpárok különbségének tesztelése? Az elméleti szórások ismertek? PÁRONKÉNTI T-TESZT Több várható érték egyezése? A mintavétel egy szempont szerint történik? Szórások egyenlők? EGYTÉNYEZŐS VARIANCIA-ANALÍZIS WELCH, BROWN-FORSYTHE-PRÓBA Legtöbb statisztikai eljárás a normál eloszlásra lett kidolgozva. Első lépés a normál eloszlás megvizsgálása, vagy logikai igazolása. Mire vonatkozik a becslés? Várható érték vagy szórás?

Paraméteres eljárások 2. Több várható érték egyezése? A mintavétel két szempont szerint történik? Szórások egyenlők? KÉTTÉNYEZŐS VARIANCIA-ANALÍZIS BROWN-FORSYTHE-PRÓBA Több várható érték egyezése? A mintavétel több szempont szerint történik? Szórások egyenlők? TÖBBTÉNYEZŐS VARIANCIA-ANALÍZIS SZÓRÁS Két szórás egyezése? Több szórás egyezése? Minták elemszáma egyenlő? F-PRÓBA LEVENE-TESZT LEVENE-TESZT, MAX. F-PRÓBA COCHRAN-PRÓBA BARTLETT-PRÓBA, LEVENE-TESZT