Számítás intervallumokkal 1 Számítás intervallumokkal Befoglaló függvények számítása -2 4 -5 5 x y f (x) = x2 - 2x - 3 f (x)=? ha x [0.25, 0.75] Intervallumokkal: F (X) = X2 - 2X - 3 = ? ha X = [0.25, 0.75]
Számítás intervallumokkal 2 Számítás intervallumokkal A probléma: számítsuk ki az f függvény X feletti értékkészletének egy befoglalását! f ebben a példában monoton X felett, így könnyű kiszámítani a pontos értékkészletét: Rangef (X) = [-3.9375, -3.4375]
Számítás intervallumokkal 3 Számítás intervallumokkal Általában igen nehéz probléma egy tetszőleges függvény értékészletének megadása. Ha kiszámítjuk az f függvény F1 befoglaló függvényét X felett: F1 (X) = [-4.4375, -2.9375] (Rangef (X) = [-3.9375, -3.4375]) Rangef (X) F1 (X)
Számítás intervallumokkal 4 Számítás intervallumokkal A szubdisztributivitás miatt pontosabb befoglalást kaphatunk a Horner elrendezés segítségével. Ha kiszámítjuk F2-t X felett, ahol F2 (X) = X(X - 2) - 3, akkor: F2 (X) = [-4.3125, -3.3125] (F1 (X) = [-4.4375, -2.9375] és Rangef (X) = [-3.9375, -3.4375]) Rangef (X) F2 (X) F1 (X)
Intervallumok felosztása 5 Intervallumok felosztása Ezek az úgynevezett naiv befoglaló függvények izoton tulajdonságúak, azaz ha X Y akkor F (X) F (Y).
Intervallumok felosztása 6 Intervallumok felosztása Pl. az előző feladatban a legjobb befoglalásunk is 100 százalékkal szélesebb, mint maga az értékkészlet. De ha felosztjuk X-et kisebb darabokra, az izotonitás jobb befoglaláshoz vezethet. Először osszuk fel X-et 4 egyenlő darabra, számítsuk ki F2 értékét mindegyik felett, és vegyük a legkisebb alsó és a legnagyobb felső határt!
Intervallumok felosztása 7 Intervallumok felosztása X XA XF X (1) X (2) X (4) X (3) F2 (X (1)) = [-3.65625, -3.40625] F2 (X (2)) = [-3.8125, -3.5625] F2 (X (3)) = [-3.9375, -3.6875] F2 (X (4)) = [-4.03125, -3.78125] -3.40625 -4.03125
Intervallumok felosztása 8 Intervallumok felosztása Ha a 4 egyenlő darabra osztással kapott függvényt F (4)-gyel jelölve kapjuk: Függvényértékek Szélesség Rangef (X) = [-3.9375, -3.4375] 0.5 F1 (X) = [-4.4375, -2.9375] 1.5 F2 (X) = [-4.3125, -3.3125] 1.0 F (4) (X ) = [-4.03125, -3.40625] 0.625
Intervallumok felosztása 9 Intervallumok felosztása Ugyanezt 8 darabra osztással is elvégezve (jelölés: F (8)) Függvényértékek Szélesség Rangef (X) = [-3.9375, -3.4375] 0.5 F1 (X) = [-4.4375, -2.9375] 1.5 F2 (X) = [-4.3125, -3.3125] 1.0 F (4) (X ) = [-4.03125, -3.40625] 0.625 F (8) (X ) = [-3.984375, -3.421875] 0.5625
Egy egyszerű felosztási módszer 10 Egy egyszerű felosztási módszer Alkalmazzuk a felosztás módszerét a következő érték egy alsó és felső korlátjának meghatározására: min Rangef (X) = min x X f (x), ami f globális minimuma X felett.