Megérthetjük-e a megjósolhatatlant? A káosz matematikája Krisztin Tibor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet Szeged

Megjósolható-e, jelezhető-e előre a jövő? Meg tudjuk-e mondani, hogy mi történik a a következő másodpercben? a következő órában? a következő évben? Van-e a természetnek egy rejtett rendje?

A tudomány a bennünket körülvevő világ rendjét, szerkezetét kutatja. Első válasz …. IGEN! A tudomány a bennünket körülvevő világ rendjét, szerkezetét kutatja. Törvényszerűségek, rendezettség, szimmetria fedezhetők fel …

Hókristályok Az állatvilág

A bolygók mozgása

Az elsők között ismerte fel mindezt Galileo Galilei (1564 — 1642) Pisa „A természet nagy könyve a matematika nyelvén íródott.”

1600 Galilei az inga mozgását figyelve állapította meg az alábbiakat Az inga lengésideje állandó volt függetlenül attól, hogyan lökte meg hol lökte meg mikor lökte meg Matematikailag: kis kitérések esetén az inga mozgása közelítőleg egy harmonikus oszcillátor mozgása. Megjegyzés: Hatvani László [Bolyai Intézet] és Bánhelyi Balázs, Csendes Tibor, Garay Barna bizonyították előszőr az ingamozgás kaotikusságát periodikus külső erő hatására.

Isaac Newton (1643 – 1727)

1686 Newton a Principia (A természetfilozófia matematikai alapelvei) című művében megmutatta, hogy az inga mozgása (és a klasszikus mechanika jelenségei) matematikai egyenletekkel, differenciálegyenletekkel írhatók le Az inga egyenlete

Az alapötlet …. Működik ez? Írjuk fel az adott fizikai jelenség egyenleteit Oldjuk meg az egyenleteket A megoldás alapján jósoljuk meg a fizikai jelenség jövőjét Működik ez?

Newton gravitációs törvénye Neptunusz: matematikai eszközökkel fedezték fel 1846-ban A tény, hogy egy bolygót pusztán papírral és ceruzával, számítások révén fel lehet fedezni, a newtoni teória (és a matematika) látványos bizonysága volt.

Navier-Stokes egyenletek Időjárás előrejelzés

Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827) „Ha ismernénk az univerzum minden atomjának a pontos helyzetét egy adott pillanatban, akkor az univerzum jövőjét előre tudnánk jelezni.” A véletlennek, a szabad akaratnak nincs szerepe ! „Isten nem kockajátékos” (Einstein)

Sok természeti és emberi jelenség véletlenszerűnek, előre jelezhetetlennek tűnik!! Milyen lesz a felhők alakja egy hét elteltével?

Az óceán hőmérsékletének változása Year El Nino jelenség Klímaváltozás

Tőzsdeindex

A komplex, bonyolult viselkedések oka az, hogy a természet legtöbb jelensége ténylegesen bonyolult és nem megmagyarázható vagy ……. a bonyolultság természetesen következik Newton törvényeiből ?

Káosz elmélete Egyszerű szabályok, természeti törvények vezethetnek bonyolult és előre nem jelezhető viselkedéshez

Henri Poincaré (1854 – 1912) : a káosz felfedezője

Előrejelezhető-e egy város népessége? A város lakóinak száma az n. évben Van-e kapcsolat az idei lakosságszám és a következő évi lakosságszám között?

Thomas Malthus (1766 – 1834) Születési/halálozási ráta a = 1 … lakók száma állandó marad a > 1 … népesség nő a < 1 … népesség csökken

Probléma a>1 esetén: a szükséges források végessége Módosított modell Robert May (1938 -) Maximális népességszám Mit jelez előre ez az egyenlet?

a = 2, M = 1 egyetlen határérték

a = 3 két érték között oszcillál

a = 3.55 8 érték között oszcillál

a = 4 káosz

Modell megalkotása: a probléma a matematika nyelvén lehetséges állapotok halmaza a jelenség törvényszerűségeit magában foglaló függvény kezdeti állapot (t=0 időpontban) - adott állapot 1 egységnyi idővel később (t=1-ben) állapot 2 egységnyi idővel később (t=2-ben) állapot a t=k időpontban Jövőbeli állapot előrejelzése: milyen xk nagy k esetén?

Példák: 1. jelentése: az M=1 maximális népesség x-ed része a lakosság száma 2. elemei lehetnek az időjárást jellemző adatok: hőmérséklet, páratartalom, légnyomás, szél sebessége, szél iránya, stb. Az f függvény azt mondja meg, hogy egy x időjárási állapotból, hogyan számolhatók ki az időjárást jellemző adatok értékei a következő 1 percre. (Navier-Stokes egyenletek)

3. T = [0,1] úgy, hogy a 0 és 1 azonosítva van, azaz T az 1 kerületű körvonal T x y g:T―›T definíciója: g(x) = {2x} = 2x (mod 1) ½ 1 x és y távolsága: az őket összekötő körívek közül a rövidebb T-beli x bináris (2-es számrendszerbeli) alakja: Ekkor Tehát g hatása a bináris alakra: a vessző utáni első jegyet töröljük, a többi egyet balra lép

Hol fordul elő ilyen leképezés? Tésztagyúrás. Cél: a benne lévő anyagok minél teljesebb összekeveredése Tészta, benne egy szem mazsolával nyújtás kétszeresére félbe vágjuk a két felet egymásra helyezzük nyújtás kétszeresére félbe vágjuk a két felet egymásra helyezzük A fenti lépéseket sokszor ismételjük. Jól elkeverednek-e az összetevők? 1 2

Ha , akkor Tehát x egy n-periodikus pont. Végtelen sok n-periodikus pont van. Bármely y-hoz akármilyen közel van periodikus pont. A periodikus pontok sűrűn vannak. SZABÁLYOSSÁG!

Egy érdekes tulajdonságú pont: Ekkor az sorozat minden T-beli pontot meglátogat (végtelen sokszor). Van sűrű pálya T-ben.

Érzékeny függés a kezdeti adatoktól Ha akkor Nagy n esetén x és y közel vannak, de távolsága nagy (= ½). és Ha x és y egy jelenség 2 közeli kezdeti adata, akkor a 2 közeli adatból bizonyos idő elteltével 2 nagyon eltérő állapotba juthatunk. PILLANGÓ EFFEKTUS!

Egy f: X―›X leképezés kaotikus, ha a periodikus pontok sűrűn vannak X-ben, f érzékenyen függ a kezdeti adatoktól, van egy sűrű pálya. A g: X―›X leképezés kaotikus.

Ezen alapszik a következő tétel. Rend a káoszban Ezen alapszik a következő tétel.

Kapcsolat g(x) = {2x} és f(x) = 4x(1-x) között Legyen Ekkor Azaz Következik, hogy f is kaotikus

Arnold macskája V.I. Arnold (1937-2010)

Megjegyzések: R. May egy 1976-os problémáját oldottuk meg (Bartha Ferenc és Garab Ábel tanítványimmal – a Radnóti volt diákjai) Röst Gergely (volt tanítványom, most kollégám) populációdinamikai, járványterjedési témával nyert ERC (European Reseach Coucil) Starting Grant támogatást (az első matematikus nyertes a Közép-Európai régióban)