Váradiné dr. Szarka Angéla MÉRÉSELMÉLET Váradiné dr. Szarka Angéla

Mérés Információszerzés, a megismerés eszköze; egy fizikai (kémiai, stb.) mennyiség összehasonlítása a mértékegység egységnyi mennyiségével.

Mérés Közvetlen (kétkarú mérleg, tolómérő) Közvetett (hőellenállás, piezoelektromos gyorsulásmérő) Analóg (mutatós műszerek, analóg kimenetű érzékelők) Digitális (számkijelzős műszerek, diszkrét kimenetű érzékelők)

Mértékegység rendszer: SI (Systeme International d’Unités) Alapegységek: m, kg, S, A, K, cd, mól Kiegészítő egységek: rad, sr Nem használható egységek: q, kp, kp/cm (at), mmHg, LE, cal Az SI mértékegység-rendszer mellett korlátozás nélkül, illetve néhány szakterületre korlátozottan további mértékegységek is használhatók. Ezek közül a leggyakrabban és legáltalánosabban használt mértékegységek az alábbiak: celsius-fok 0C liter l tonna t perc min óra h nap d hét - hónap - év - kilométer per óra km/h wattóra Wh ívmásodperc - ívperc  fok o voltamper VA (szakterületen) var var (szakterületen) elektronvolt eV (szakterületen) bar bar (szakterületen)

SI prefixumok: Név Jel Érték exa E 1018 peta P 1015 tera T 1012 giga G 109 mega M 106 kilo k 103 milli m 10-3 mikro µ 10-6 nano n 10-9 piko p 10-12 femto f 10-15 atto a 10-18

Jelek determinisztikus sztochasztikus periódikus nem stacionárius szinuszos összetett kváziperiódikus tranziens Detereminisztikus jelek: Matematikai kifejezésekkel leírhatóak és matematikai összzefüggésekkel kezelhetők. Sztochasztikus jelek: Matematikai módszerekkel csak részlegesen kezelhetőek. Statisztikai jellemzőkkel vázolhatóak: várható érték - idő függvény, négyzetes középérték - idő függvény, variancia, autokorreláció függvény, autokovariancia függvény, keresztkorreláció függvény, keresztkovariancia függvény

Periódikus jelek: T periódusidő, Fourier sorba fejthetők (szinusz és koszinuszok összegeként felírhatók) Szinuszos jelek: Összetett periódikus jelek: ahol egész szám Kváziperiódikus jelek: ahol egész szám

Periódikus jelek Fourier sora

Méréselméleti alapok Mérési hibák csoportosítása Rendszeres hiba Véletlen hiba Durva hiba

Rendszeres hiba Nagysága és előjele meghatározható, így ezzel a mérési eredményt pontosítani lehet Véletlen hiba Időben változó hatást mutatnak, nagyságát és előjelét nem ismerjük. Megadása egy olyan  szélességű intervallummal, amelyben a véletlen hibától mentes valódi érték 99,74%-os valószínűséggel benne van. Ezt az intervallumot megbízhatósági, vagy konfidencia intervallumnak nevezzük.

Mérési hibák megadása, számítása m – mért érték p – pontos érték Abszolút hiba Relatív hiba Méréshatárra vonatkoztatott relatív hiba (katalógus adat) vagy pv - méréshatár

Összefüggés az abszolút hiba és a relatív hiba között Mivel a méréshatárra vonatkoztatott relatív hiba állandó érték, így az abszolút hiba a méréstartomány teljes terjedelmén változatlan.

Összefüggés az abszolút hiba és a relatív hiba között Ebből következik, hogy a relatív hiba mely a méréshatárhoz közelítve egyre csökken.

Relatív hiba változása a mért érték függvényében

Példa: (valós érzékelő valós katalógus adataival) Hall elemes áramérzékelő adatai: Méréstartomány: 5 A Méréstartományra vonatkoztatott relatív mérési hiba: < ± 0,4% Mekkora a mérés relatív hibája, ha a. 4,5 A áramot mérünk b. 0,5 A áramot mérünk

Példa: (valós érzékelő valós katalógus adataival) A mérés abszolút hibája: A mérés relatív hibája: a.) b.)

Következtetés: A legpontosabb precíziós berendezéssel is lehet rossz - nagy mérési hibával- mérést végezni, ha a mérést nem megfelelően tervezzük meg, a mérési paramétereket nem megfelelően választjuk ki.

Analóg műszerek osztálypontossága (Op): A hibahatár felfelé, szabványos értékre kerekített értéke. Szabványos osztálypontosságok: 0.05, 0.1; 0.2; 0.5; 1; 1.5; 2.5; 5.

Analóg műszerek hitelesítése A hitelesítés minimum feltétele: Op  3 Opo ahol Opo a hitelesítő műszer osztálypontossága pv = pvo ahol pvo a hitelesítő műszer végkitérése A végkitérésrew vonatkoztatott relatív hibák különbségéből készítjük a hibagörbét: 1. A műszer megfelel az osztálypontosságának. 2. Nem lehet eldönteni az adott hitelesítő műszerrel, hogy megfelel-e a mért műszer az osztálypontosságának. Egy nagyobb osztályponosságú hitelesítő műszerrel meg kell ismételni a hitelesítést. 3. A műszer nem felel meg a gyárilag megadott osztálypontosságnak. A csak pozitív (vagy negatív) előjelű hibák rendszeres hibára is utalhatnak.

Mérési sorozatok kiértékelése Egy mérési sorozat álljon n darab olyan mérésből, amelyeket úgy végeztünk el, hogy minden általunk befolyásolható feltétel a mérések alatt változatlan maradt. A mért értékek halmaza ekkor rendre: x1, x2, x3,...xi,...xn Állítjuk, hogy a várhatóérték legjobb becslése a méréssorozat átlaga.

Véletlen hibák becslésének módszerei 1. Terjedelem. (Range) R=xmax-xmin A gyakorlatban gyakran nem a terjedelmet, hanem az L1= xmax- illetve L2= - xmin értékeket szokás megadni. L1 és L2 ismeretében az eredmény így írható:

2. Átlagos abszolút eltérés (Average of absoulte deviation) A hibák abszolút értékeinek összegéből a következő képlettel határozható meg: ahol Az abszolút érték igen lényeges, mert e nélkül az egyenlet 0-val volna egyenlő.

3. Szórás, vagy standard eltérés (standard deviation) A méréselméletben gyakran használt a szórásnégyzet (variancia), kifejezés ami értelemszerűen az Ha n  1, ami a méréssorozatok nagy számát tekintve legtöbbször fennáll, az összefüggés jó közelítéssel úgy írható fel, hogy ami nem más mint az átlagtól vett eltérések négyzetének középértéke.

4. Valószínű hiba. (P) Néha szokás a szóródást egy olyan P számmal jellemezni, amely által meghatározott P1 és P2 közötti intervallumba az összes mért érték fele esik. Ezt a P számot az irodalomban, - nem túl szerencsésen - valószínű hibának szokták nevezni. vagy mindig szűkebb intervallumot jellemez, mint a ± L

Egy rezgésmérő műszerrel mért érték 67  3 Hz. Számolási feladatok 1. Egy rezgésmérő műszerrel mért érték 67  3 Hz. Mekkora a műszer osztálypontossága, ha a végkitérése 150 Hz? Megoldás: Az osztálypontosság a végkitérésre vonatkoztatott hiba maximális értéke, felkerekítve a legközelebbi szabványos értékre. A mérés bizonytalansága = a mérés abszolút hibájával, azaz 3 Hz. A végkitérésre vonatkoztatott relatív hiba: A szabványos pontossági osztályok szerint ennek a műszernek az Op-a 2,5.

2. Az 1,5 osztálypontosságú feszültségmérő műszer 600 V-os méréshatárban 200 V-ot mutat. a.) Mekkora a mérés abszolút hibája? b.) Mekkora a mérés bizonytalansága (konfidencia intervalluma )? c.) Mekkora a mérés szórása? d.) Mekkora a mérés relatív hibája? Megoldás: a.) H= (Op*xv) / 100 = (1,5*600) / 100 = 9 V b.)  = H = 9 V c. ) 3s =  = H = 9 V d.) h  (Op * xv) / xi = (1,5*600) / 200 = 4,5%

3. Egy 1,5 osztálypontosságú, 30 A végkitérésű árammérőt ellenőrzünk egy 0,5 osztálypontosságú, 30 A végkitérésű műszerrel. A mérési eredményeket az alábbi táblázat tartalmazza (m az ellenőrizendő műszeren mért érték, m0 az ellenőrző műszeren mért érték). m (A) 20 22 24 26 m0 (A) 20,1 21,75 24,4 25,7 „Jó”-e a műszerünk? Megfelel-e a mérés alapján az osztálypontosságának?

Megoldás: hv - hv0 = (m-x0)/xv – (m0-x0)/xv = (m-m0)/xv ahol x0 a nem ismert pontos érték. Számítsuk ki a hv - hv0 értékeit: m (A) 20 22 24 26 m0 (A) 20,1 21,75 24,4 25,7 hv - hv0 (%) - 0,33 0,83 - 1,33 1,00 Rajzoljuk fel a hibagörbét. 2,0 1,5 1,0 0,5 -0,5 -1,0 -1,5 -2,0 20 22 24 26 m hv - hv0 (%) A hibahatár = 1,3 Mivel ez az érték a vonalazott sávba esik, ezért a műszerről nem tudjuk megállapítani, hogy jó-e, vagy sem, a mérést egy pontosabb referencia műszerrel meg kell ismételni.

Mekkora a mérés rendszeres hibája? Mekkora a mérés véletlen hibája? 4. Mérjük egy ellenálláson átfolyó áramot. Az ellenállás 10 , az ampermérő belső ellenállása 0,1 , az osztálypontossága 1,5, a végkitérése 1 A, a műszer 0.65 A-t mutat. Mekkora a mérés rendszeres hibája? Mekkora a mérés véletlen hibája? Határozza meg a hibákat abszolút és relatív értékben is! A U R= 10 RI=0,1 OP=1,5 IV=1A Im=0,65A

Megoldás: A rendszeres hibát a műszer belső ellenállása okozza. A mért érték: U/(R+RI) A pontos érték: U/R A relatív hiba: h = U/(R+RI) – U/R/U/R = 1/(10+0,1) – 1/10/1/10 = - 0,0099 = - 0,99% Relatív értékben kifejezve a rendszeres hiba nem függ a mért értéktől, és a feszültség értékétől. Abszolút hibaként kifejezve a rendszeres hiba: H = 0,65 - 0,65*(10+0,1)/10 = - 0,0065 A A véletlen hiba a műszer osztálypontosságából határozható meg: Abszolút hiba: H = (OP*IV)/100 = 1,5*1/100 =  0,015 A Relatív hiba: h  OP*IV / Im =1,5*1/0,65 = 2,3%

Egy mérési sorozat az alábbi táblázatba foglalt elemeket tartalmazza: 5. Egy mérési sorozat az alábbi táblázatba foglalt elemeket tartalmazza: No R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10   100,2 99,9 100,1 100,6 100,4 99,7 99,8 100,0 1001 Számítsa ki a terjedelmet átlagos abszolút eltérést szórást.

Megoldás: a sorozat átlaga: x0 = (99,7+99,8+99,9+100,0+2*100,1+2*100,2+100,4+100,6)/10 = 100,1 R = xmax – xmin =100,6 – 99,7 = 0,9 L1 = xmax – x0 = 100,6 – 100,1 = 0,5 L2 = x0 – xmin = 100,1 – 99,7 = 0,4 Az eredmény megadása: b.) No R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10   100,2 99,9 100,1 100,6 100,4 99,7 99,8 100,0 1001  0,1 0,2 0,5 0,3 0,4 2,0 2 0,01 0,04 0,25 0,09 0,16 0,66 E= 2,0/10 = 0,2 Az eredmény megadása: 100,1  0,2 c.) s=..0,27 Az eredmény megadása: 100,1  0,27