Két változó közötti összefüggés Hipotézisvizsgálat (Statisztikai szignifikanciapróbák): A khi-négyzet Babbie, E. A társadalomtudományi kutatás gyakorlata, Balassi Kiadó 1995. 511-523.old.

Összefüggés két változó között a mintában Összefüggés az alapsokaságban

A dohányzás és az alkoholfogyasztás összefüggése az egyes táblák adatai szerint tábla: Minden dohányos alkoholizál, és minden alkoholfogyasztó dohányzik. Az összefüggés determinisztikus. Tábla: A dohányosok között éppen annyi az absztinens, mint az alkoholfogyasztó. A dohányzás NEM befolyásolja az alkoholfogyasztást, és fordítva. A két változó független.

A dohányzás és az alkoholfogyasztás összefüggése az egyes táblák adatai szerint 3. tábla: a dohányosok 60%-a iszik, 40%-a nem, az antinikotinisták 40%-a fogyaszt alkoholt, 60%-uk absztinens. Érdemes a dohánybolt-hálózatunkban szeszesital árusítási engedélyt kérni? (az engedély drága) Elég erős a 3. táblában az összefüggés, hogy érvényesnek tekintsük az alapsokaságra?

Mérőszám, amely az adott tábla gyakoriságainak és a „függet-lenségi tábla” gyakoriságainak eltéréseit méri A 3. tábla gyakoriságait nevezzük fm-nek, a 2. (függetlenségi)tábla gyakoriságait fe-nek. A létrehozandó mérőszám neve: khi-négyzet.

A khi-négyzet képlete

Példa1. Khi négyzet= (60-50)2/50+(40-50)2/50+(40-50)2/50+ +(60-50)2/50=4*100/50=8

A khi-négyzet mint valószínűségi változó Válasszunk a „N” elemszámú alapsokaságból minden lehetséges módon egyszerű véletlen módszerrel „n” elemszámú mintákat! A többszázmillió darab minta mindegyikében vessük össze 2 változó (pl. a dohányzás és alkoholfogyasztás) együttállását jelző fm-ket a függetlenséget jelentő fe-kkel! Számoljunk rengeteg sok khi-négyzetet!

A khi-négyzet eloszlás ábrája (15-ös szabadságfok)

Mekkora konkrét (képlettel kiszámolt) khi-négyzetek adódnak a rengeteg sok „n”- elemű mintából? Tegyük fel, hogy az alapsokaságban (melyből az „n” elemű mintákat választottuk) a dohányzás és az alkoholfogyasztás függetlenek. A minták jelentős részében az fm-k nagyon közel lesznek az fe-khez. A khi-négyzetek „kicsik” lesznek.

Előadódhatnak olyan minták, amelyekhez „nagy” khi-négyzet-ek tartoznak? 5 % „kicsi” khi-négyzetek „nagy” khi-négyzetek

Ha egy olyan alapsokaságból, amelyben két változó független egymástól, minden lehetséges módon „n” elemű mintákat választunk véletlen módszerrel, a minták 5%-ában „nagy” khi-négyzetet kapunk. Tegyük fel, hogy az alapsokaságban a két változó független! (Null-hipotézis) Ha csak egyetlen mintát választunk, akkor mindössze 5 % annak a valószínűsége, hogy a mintában a 2 változó kapcsolatát egy „nagy” khi-négyzet jellemzi, hiszen az alapsokaságban a két változó független egymástól. Határozzuk el, hogy minden olyan esetben, ha(a 2 változó kapcsolatát jellemzendő) „nagy” khi-négyzetet számolunk ki egy mintában, akkor ebből azt a következtetést vonjuk le, hogy az alapsokaságban nem független egymástól a két változó. Elvetjük a null-hipotézist. Azt mondjuk, hogy a két változó az alapsokaságban (is) összefügg egymással. MIT KOCKÁZTATUNK? 5% annak a valószínűsége, hogy tévedünk. Ez az 5% annak a hibának (elsőfajú hiba) a valószínűsége, hogy egy igaz hipotézist (null-hipotézis) hamisnak ítélünk.

Null-hipotézis: az alapsokaságban a 2 változó független Mire következtetünk, ha egy adott mintában 2 változó kapcsolatát „kicsi” khi-négyzet jellemzi? Ebből arra következtetünk, hogy az alapsokaságban független egymástól a két változó. Megtartjuk a null-hipotézist (Miért nem nulla ilyenkor a khi-négyzet értéke?) Mit kockáztatunk? Egy hamis hipotézist tartottunk meg (másodfajú hiba). Mekkora lehet a másodfajú hiba elkövetésének valószínűsége?

Mikor „nagy” és mikor ”kicsi” a khi-négyzet értéke? Szabadságfok: (oszlopok száma -1)*(sorok száma – 1) Khi-négyzet-eloszlás táblázata Oszlopokban: szignifikanciák, Sorokban: szabadságfokok Táblázatban: khi-négyzet „küszöbérték”

A dohányzás----alkoholfogyasztás egy 2*2-es táblában Számított khi-négyzet értéke:8 A táblázat szabadságfoka: (2-1)*(2-1)=1 A khi-négyzet küszöbértéke (5 %-os szignifikanciánál):3,84

A számított khi-négyzet és a khi-négyzet küszöbértéke „kicsi” khi-négyzetek 3,84 „nagy” khi-négyzetek

Példa 2.

Khi-négyzet= (80-126)2/126+(54-87)2/87+ +(227-148)2/148+(78-89)2/89+(80-61)2/61+ +(96-104)2/104+(132-94)2/94+(78-65)2/65+ +(60-111)2/111+(60-40)2/40+(28-28)2/28+ +(27-47)2/47=138,47 Egy 4*3-as kereszttáblához tartozó khi-négyzet szabadságfoka: 3*2=6 A khi-négyzet küszöbértéke:12,59 Következtetés?

Mitől függ a (számított) khi-négyzet értéke?

Ha kétszer akkora mintát veszünk:

A 200 fős és a 400 fős minta számított khi-négyzete Következtetés? A 400 fős minta számított khi-négyzete A 200 fős minta számított khi-négyzete 3,84 4,00 2,00

A khi-négyzet elemszámérzékeny (2-szer akkora mintában 2-szeresére nő a számított khi-négyzet értéke, pedig a kereszttábla gyakoriságai azonos „szerkezetűek” Hipotézisvizsgálat 1. Null-hipotézis (az alapsokaságban a 2 változó függyetlen) 2. Szignifikancia „választás”, elsőfajú hiba elkövetésének valószínűsége (5%) 3. A kereszttábla szabadságfoka 4. A khi-négyzet küszöbértékének „kikeresése” 5. A függetlenségi tábla gyakoriságainak kiszámítása 6. A khi-négyzet kiszámítása 5. Következtetés: a számított khi-négyzet és a khi-négyzet küszöbértékének összevetése: ha a számított khi-négyzet nagyobb a küszöbértéknél, a nullhipotézist elvetjük, kisebb a küszöbértéknél, a nullhipotézist megtartjuk.