4. VÉGES HALMAZOK 4.1 Alaptulajdonságok Def. X és Y halmaz ekvivalens, ha létezik f bijekció X-ből Y-ra. Jelben: X ~ Y . 1

X Y h y x f −1 g f X’ Y’ h’ x’ y’ XY X’Y’ (x’, y’) (x, y) 2 X Y h y x f −1 g f X’ Y’ h’ x’ y’ XY X’Y’ (x’, y’) (x, y) h’ = g o h o f −1

Biz. teljes indukció n-re …  4.1.8. Biz. teljes indukció n-re …   0 < k < n + 1 : k  A Legyen ekkor bijekció A-ból {1, 2, …, n} valamely részhalmazára  ha rng(f) = {1, 2, …, n}  m = n választás különben indukciós feltevés 3

Biz. teljes indukció n-re … 4 4.1.9. Biz. teljes indukció n-re … tfh n-ig igaz, de n + 1 esetén létezik f bijekció {1, 2, …, n + 1}-ből saját valódi részhalmazára. Ekkor  f megszorítása {1, 2, …, n}-re bijekció saját valódi részhalmazára . a leképezésnél a (k, n + 1) és (n + 1, l) párokat helyettesítjük (k, l)-lel, k = l = n + 1 esetén kihagyjuk ~ ind. felt.

Def. Def. 5

4.1.11. 6

Y ~ {1, 2, …, n} egy valódi részhalmazával Biz. Legyen |X| = n, |Y| = m . Y ~ {1, 2, …, n} egy valódi részhalmazával 4.1.4 tétel  Y ~ {1, 2, …, m}, ahol m < n (1), (2) kész (3) kész (4) kész 7

(5), (6) m szerinti teljes indukcióval látható ~ {karakterisztikus függvények}  (7) kész n (8): tfh és legyen g bijektív is  ha f bijektív, akkor m = n, különben m < n 8

Biz. indirekt, tfh f bijektív 4.1.12. Biz. indirekt, tfh f bijektív Y ~ {1, 2, …, m} és X ~ {1, 2, …, n}, ahol m < n  {1, 2, …, m} bármely részhalmaza {1, 2, …, n}-nek is részhalmaza, f bijektív  {1, 2, …, n} ~ saját részhalmazával . Más megfogalmazás: ha n db tárgyat m db skatulyába teszünk, akkor van olyan skatulya, amelyik legalább (n-1) / m + 1 tárgyat tartalmaz. 9

tfh 1 < n-ig kész és ha |A| = n + 1, legyen 4.1.13. Biz. teljes indukció |A| = 1 kész tfh 1 < n-ig kész és ha |A| = n + 1, legyen ind. felt.  A´ -nek van max. eleme: a´ a  a´  a´ max. eleme A-nak a´  a  a max. eleme A-nak min. elemre hasonlóan 10

4.2 Kombinatorika Def. Tetszőleges halmaz permutációján a halmaz önmagára való bijektív leképezését értjük. Pn a halmaz különböző permutációinak száma. Tétel( permutációk száma) Pn = n! , ahol n! = 1  2  ...  (n – 1)  n . Biz. (teljes indukció n szerint) 1. lépés: P0 = P1 = 1 igaz 2. lépés: Tfh n > 1 és n – 1 -ig már beláttuk. 11

ekvivalencia reláció: 12 ekvivalencia reláció: amely sorozatok 1. eleme megegyezik  n db osztály Ind. feltétel   osztályban Pn1 elem Pn = nPn1 = n(n 1)! = n! Def.( ciklikus permutáció) Minden elem egy hellyel jobbra/balra kerül, az utolsó/első az első/utosó helyre .

Tétel( variációk száma) Def. Egy A halmaz elemeiből képezhető k tagú, csupa különböző elemet tartalmazó sorozatokat, azaz {1, 2, ..., k}-t A-ba képező injektív leképezéseket az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációjának nevezzük. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak száma . Tétel( variációk száma) ha k  n, különben 0. Biz. legyen két sorozat egy ekv. osztályban, ha első k elemük megegyezik Pn = (osztályok száma)(ahány elem egy osztályban) Pn-k 13

Tétel( ismétléses variációk száma) Def. Egy A halmaz elemeiből képezhető k tagú, nem feltétlenül különböző elemeket tartalmazó sorozatokat, azaz {1, 2, ..., k}-t A-ba képező leképezéseket az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétléses variációinak száma . Tétel( ismétléses variációk száma) Biz.( teljes indukció k szerint, n rögzített) 1. lépés: k = 1 -re igaz: 2. lépés: Tfh k > 1 és k – 1 -ig már beláttuk, ekkor (k – 1) -ed osztályú variációból k -ad osztályú: n db választás  14

Tétel( kombinációk száma) Def. Egy A halmaz k (N) elemű részhalmaza az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációja . Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétlés nélküli kombinációinak száma . Tétel( kombinációk száma) ha k  n, különben 0. Biz. db különböző k -tagú sorozat sorrend nem számít  minden Pk db sorozat ugyanaz  számoljuk egyszer Észrevétel: megegyezik a {1, 2, …, k}-ból {1, 2, …, n}-ba képező szigorúan monoton növő függvények számával. 15

Másképp: az A halmaz k-ad osztályú ismétléses kombinációi azon Def. Egy A halmaz elemei közül k (N) nem feltétlenül különböző elem kiválasztása sorrendre való tekintet nélkül, az A halmaz k-ad osztályú ismétléses kombinációja. Ha |A| = n, akkor A összes k-ad osztályú ismétléses kombinációinak száma . Másképp: az A halmaz k-ad osztályú ismétléses kombinációi azon függvényeket, amelyek csak véges sok helyen vesznek fel nem 0 értéket, és ezen értékek összege k. Észrevétel: ha A véges, ekkor feltehetjük, hogy bijektív megfeleltetés: 16

Tétel( ismétléses kombinációk száma) 17 Biz. definiáljuk h-t: dmn(h) = {1, 2, …, k} rng(h) = {1, 2, …, n + k  1} és h szigorúan monoton növő {1, 2, …, k}  {1, 2, …, n + k  1} szigorúan monoton növő függvények {1, 2, …, k}  {1, 2, …, n} monoton növő függvények h

Tétel( ismétléses permutációk száma) Def. n elem valamely sorrendben való felsorolása, amelyben k elem fordul elő rendre n1 , n2 , …, nk gyakorisággal (n1+ n2+ …+ nk = n), n elem egy n1, n2, …, nk -ad osztályú ismétléses permutációja. Ezek száma: Tétel( ismétléses permutációk száma) Biz.( teljes indukció k szerint, n rögzített) 1. lépés: k = 1 -re igaz: 2. lépés: Tfh k > 1 és k – 1 -ig már beláttuk, ekkor 18

ekvivalencia reláció: amely sorozatok megegyeznek, ha kivesszük az nk -szor előforduló elemet (k-adik elem). Ind. feltétel  db osztály van Hány elem van az osztályban? k-adik elem … n – nk db elem a k-adik elemet n – nk +1 helyre szúrhatjuk be ! 19

20

4.3 Polinomiális tétel, szitaformula 21 4.3 Polinomiális tétel, szitaformula

(x + y) … (x + y) = xn + … + xkyn k + … + yn Biz. (x + y) … (x + y) = xn + … + xkyn k + … + yn Hány ilyen tag van? n db tényező k db tényezőből az x -et, n – k -ból az y -t választottuk összesen n elemből k elemet, sorrend nem számít ! db xkyn k alakú tag van! 22

Biz.( teljes indukció r szerint, n rögzített) r = 0, 1 -re trivi tfh r – 1 -ig már láttuk, és legyen ekkor 23

ind. feltétel 24

25

26

27 X Xk X1 ... X2 X3 Azt mondjuk, hogy x rendelkezik az Xi tulajdonsággal, ha x  Xi .

f(x) -et mindig ennyiszer számoltuk be ! Biz. Tehát S0 = azon elemekre vett függvény összegek értéke, amelyek nem rendelkeznek egyetlen tulajdonsággal sem. ? Tfh az x elem pontosan r tulajdonsággal rendelkezik f(x) -et mindig ennyiszer számoltuk be !  a jobboldalon nem számoltuk Ha x elem 0 tulajdonsággal rendelkezik  x csak S0 -ban fordul elő  f(x)-et a jobboldalon pont egyszer számoltuk be 28