Euklidészi gyűrűk Definíció. Az R integritási tartományt euklidészi gyűrűnek ne-vezzük, ha  olyan  függvény, amelyre  : R*  N0, és I.  , R, 0 esetén létezik olyan , R, hogy  =  + , ahol  = 0 vagy   0 és  () <  (), II. valamint  ()  max( (),  ()) ,  ,  R* -ra.

Példák. 1. Z az abszolút érték függvénnyel. 2. Gauss-egészek: G = { a+bi | a, b  Z }  a+bi  G esetén (a+bi) = (a+bi)(a–bi) = |a+bi|2 = a 2 + b 2 3. H a szokásos + és  műveletekkel, ahol

Definíció. Legyen R integritási tartomány és a, b  R. a osztója b-nek, ha létezik c  R, mely-re b = ac. a | b Könnyen belátható, hogy az oszthatóság tranzitív, továbbá a|b, a|c esetén a|bx+cy is teljesül, ha a, b, c, x, y R. Definíció. R integritási tartományban a  R egység, ha a | r  r  R-re.

37. Tétel. R integritási tartományban akkor és csak akkor léte-zik egységelem, ha létezik egység. Bizonyítás.  : Tfh R-ben van e egységelem, vagyis er = r minden r R esetén.  e | r minden rR esetén, az egységelem egység is egyúttal. 2.  : Tfh  aR egység, és legyen rR tetszőleges. a | a   eR : ae = a. Ekkor e egységelem, mert a | r   sR : as = r, tehát  e egységelem

tetszőleges r R: er = r  38. Tétel. Az R egységelemes integritási tartományban a  R akkor és csak akkor egység, ha a | e. Bizonyítás. 1. Legyen a egység  a | e. 2. Tfh a | e   a1R : e = aa1 és tetszőleges r R: er = r  aa1r = r  a | r  a egység.

E = { r | r  R*, φ(r) minimális } 39. Tétel. Ha R euklidészi gyűrű, akkor egységelemes, és E = { r | r  R*, φ(r) minimális } az egységek halmaza R-ben. Bizonyítás. 1. Belátjuk, hogy E elemei egységek. Legyen aE, és bR tetszőleges. b-t oszthatjuk a-val maradékosan   c, dR : b = ac+d, ahol a. d=0, vagy b. d0 és  (d) <  (a). A b. eset nem fordulhat elő  (a) minimalitása miatt  d = 0  a | b.

2. Belátjuk, hogy minden egység E-ben van. Legyen aR egység, bE adott. a | b  b = ac. bE, b0  a, cR*. Az euklidészi gyűrűk II. tulajdonsága   (b)   (a). φ(b) minimális  φ(a) is minimális,  a E

1. Z-ben csak két egység van: +1 és –1. 2. G-ben az egységek Nullától különböző komplex szám abszolút értéke nem nulla, a nem nulla elemek esetén előforduló legkisebb érték 1. (a+bi)=1 (a+bi)=a2+b2=1 a=1 és b=0, vagy a=0 és b=1. G-ben az egységek. 1, i

3. egységek: a2–2b2=1 Ennek az úgynevezett Pell-egyenletnek végtelen sok megoldása van, H-ban végtelen sok az egység. Néhány ezek közül: a b 1 3 2 7 5

2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció. Definíció. Legyen R egységelemes integritási tartomány, és a, bR. Azt mondjuk, hogy a és b asszociáltak, ha létezik olyan c egység, amelyikkel a = bc. Ezt a tényt ab-vel jelöljük. 40. Tétel. 1. R egységelemes integritási tartományban az egységek halmaza — jelöljük E-vel —, a szorzásra csoportot alkot. 2. Az asszociáltság R-ben ekvivalenciareláció. Gyűrű2

Bizonyítás. 1. Csoport: - egységek szorzata egység: e1c1 = e és e2c2 = e  e1c1e2c2 = e2 = e  e1e2 | e, - asszociatív mert R is az volt, - e az egységelem E-ben is, -  inverz: e1e2 = e  e1-1 = e2 .

2. Az asszociáltság ekvivalencia reláció: - reflexív: aa, hiszen a = ae minden aR esetén. - tranzitív: ab és bc  a = be1 és b = ce2,  a = ce1e2 , azaz ac . - szimmetrikus: ab  a = be1 / e1-1 a e1-1 = be1 e1-1, a e1-1 = b ba.

e = dc  d és c egységek  ab. 41. Tétel. Az R egységelemes integritási tartományban két elem asszociáltságához a kölcsönös oszthatóságuk szüksé-ges és elégséges feltétel. 1. ab  a | b és b | a 2. Tegyük fel, hogy ab és ba. Ha a és b egyike 0  a másik is az  asszociáltak is. Tfh a, bR*. b=ac és a=bd. b=bdc=b(dc), be=b(dc). b0, és nem nullosztó  e = dc  d és c egységek  ab.

Definíció. Legyen R euklidészi gyűrű és a, bR. Azt mondjuk, hogy dR az a és b legnagyobb közös osztója, d=(a, b), ha 1. közös osztó, vagyis da és db, valamint 2. ca és cb esetén cd. Belátható az, hogy a legnagyobb közös osztó asszociáltság erejéig egyértelmű, valamint az, hogy (0, 0)=0.

Ha a és b legalább egyike, mondjuk b0, akkor el-végezhető itt is az euklidészi algoritmus: a= bq0+r0 ha r00, akkor (r0)<(b) b= r0q1+r1 ha r10, akkor (r1)<(r0) r0 = r1q2+r2 ha r20, akkor (r2)<(r1) ... rn–2= rn–1qn+rn ha rn0, akkor (rn)<(rn–1) rn–1= rnqn+1 Az euklidészi algoritmus most is véget ér véges sok lépésben. Belátható, hogy ezzel az algoritmussal megkapjuk (a, b)-t, valamint léteznek olyan x, yR elemek, hogy (a, b)=ax+by.

Definíció. R legyen euklidészi gyűrű, E az egységek halmaza: 1. aR*–E felbonthatatlan, ha a = bc, (b, cR) esetén bE vagy cE. 2. aR*–E prím, ha abc, (b, cR)  ab vagy ac. Belátható, hogy tetszőleges euklidészi gyűrűben egybeesik a prímek és a felbonthatatlanok halmaza.

42. Tétel. R legyen euklidészi gyűrű és a, bR*. Ha ab, akkor 1. (a)<(b), vagy 2. (a)=(b)  ha ab . Bizonyítás. 1. Euklidészi gyűrű II. tulajdonsága miatt (a)(b).

ab   tR : b = at továbbá a = ae 2. Tfh ab és (a)=(b). Az I. tulajdonság miatt létezik r, s R, amelyekre: a = br+s, ahol a. s = 0, vagy b. s 0 és (s)<(b)=(a). (*) ab   tR : b = at továbbá a = ae De ekkor s0  (*) miatt ez nem fordulhat elő  s = 0 , ba azaz a  b.

az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test. Definíció. Az R euklidészi gyűrű triviális, ha csak az egységeket és a nullelemet tartalmazza, vagyis R* = E. 43. Tétel. R euklidészi gyűrű akkor és csak akkor triviális, ha test. Bizonyítás. 1. Tfh R triviális euklidészi gyűrű  aR* egység  bR esetén a | b  az ax=b egyenlet megoldható, vagyis R test. 2. Tfh R test  az ax=b egyenlet megoldható tetszőleges rögzített a0 és minden b esetén  ab, s így a egység.

44. Tétel. R euklidészi gyűrűben minden nullától és az egysé-gektől különböző elemnek van felbonthatatlan osztója. Bizonyítás. Tfh aR*\E, és D = {r: rR*\E, ra és, ha sR*\E és sa  (r)(s)}. D az a elem azon nem nulla, nem egység osztóit tartalmazza, amikre a  érték minimális. D     f D.

Indirekte tfh f nem felbonthatatlan  f = bc és b, cE  ba . bf és nem asszociáltak  42. Tétel  (b)(f)  (b)<(f) , mert ekkor b lenne D-ben f helyett.  f felbonthatatlan

Bizonyítás ( értéke szerinti teljes indukció). 45. Tétel. Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a elő-állítható véges sok R-beli felbonthatatlan szorzataként. Bizonyítás ( értéke szerinti teljes indukció). Tfh aR*\E . 1. Tfh (a) minimális az R*\E-beli elemekre nézve. 44. Tétel  a felbonthatatlan. a = a 2. Legyen aR*\E, (a) = n, és tegyük fel, hogy n-nél kisebb  értékkel rendelkező elemek esetén az állítás igaz. 44. Tétel   f felbonthatatlan : f | a  a = fh .

a = fh . Lehet-e (h) = (a) ? Ekkor h | a  a  h lenne, de f nem egység, tehát (h) < (a). 1. eset: Tfh h egység  a felbonthatatlan. 2. eset: Tfh h nem egység  indukciós feltétel  h-nak  megfelelő felbontása: h = f1f2…fr  a = ff1f2…fr .

Integritási tartományok 46. Tétel. Legyen R euklidészi gyűrű és aR*\E. Ekkor a sorrend és asszociáltság erejéig egyértelműen bontható fel felbonthatatlanok szorzatára. Megjegyzés: Ha érvényben van egy R integritási tartományban az egyértelmű felbontás tétele, ebből nem következik, hogy euklidészi gyűrű. Gyűrűk Integritási tartományok Faktorizációs tartományok, Gauss-gyűrűk Euklidészi gyűrűk Testek