Feladat Egy új kísérleti készítmény hatását szeretnék vizsgálni egereken. 5 féle dózist adnak be 5 vizsgált egérnek, de nem sikerült mindegyik egérnek pontosan ugyan azt a mennyiséget beadni a dózis-csoportokon belül. A kísérleti jegyzőkönyv adatait a táblázat mutatja. Van-e a dózisok között (és így hatásukban) tényleges különbség?

Feladat átfogalmazása A dózisok hatását szeretnénk a későbbiekben vizsgálni. Ahhoz, hogy a hatást vizsgálhassuk, előbb meg kell néznünk, hogy tekinthető-e a kísérlet sikeresnek abból a szempontból, hogy 5 különböző dózis hatását vizsgálták-e? A pontatlan dozírozás miatt az egyes egereknél eltérő a konkrét beadott mennyiség, holott ugyanannak a dózisnak a hatását kellene vizsgálni. A kérdés az, hogy az egyes dózisok szórása az 5 egérnél olyan nagy-e, hogy már nem is beszélhetünk ugyanarról a dózisról, vagy a dózisokon belüli szóródás nem annyira számottevő, azaz elhanyagolható a dózisok közötti szóráshoz képest.

Varianciaanalízis (ANOVA) – Az eljárás lényege Ha két dózist vizsgálnánk csak, akkor azok eltérését kétmintás t-próbával vizsgálhatnánk, azonban 5 dózis-csoportunk van. Kettőnél több független minta összehasonlításához varianciaanalízist használhatunk. Az eljárás lényege: a mintákból számolt összvarianciát két részre osztjuk mintákon belüli variancia (Qbelső) minták közötti variancia (Qkülső) a statisztikai analízis során ezt a két részvarianciát hasonlítjuk össze F-próbával attól függően, hogy melyik hatás (csoporton belüli vagy csoportok közötti) a domináns, döntünk a vizsgálat felől Ha a varianciaanalízis eredménye az, hogy a csoportok szignifikánsan különböznek, attól még nem tudjuk pontosan, hogy melyik csoportok különböznek melyektől, csak azt, hogy legalább egy különbözik a többitől. Arra a kérdésre, hogy pontosan mely csoportok különböznek szignifikánsan, a varianciaanalízis után elvégezhető post hoc teszt ad választ.

Varianciaanalízis (ANOVA) – Hipotézisek A varianciaanalízis során ugyanaz a hipotézis felállításának logikája, mint a t-próbáknál. a csoportok átlagértékei között van-e szignifikáns eltérés Nullhipotézis a csoportok átlagértékei azonosak Alternatív hipotézis a csoportok átlagértékei nem azonosak Az átlagértékek vizsgálatát indirekt módon, a varianciák összehasonlításával végezzük.  A varianciákat vizsgáljuk, de a következtetéseket a csoportok átlagaira hozzuk meg. Két csoport esetén az eljárás a kétmintás t-próbával azonos  a kétmintás t-próba a varianciaanalízis speciális esete ugyanarra a feladatra elvégezve a két teszt azonos eredményt szolgáltat

Varianciaanalízis (ANOVA) – Típusok A varianciaanalízis osztályozása a csoportosító faktor (független változó) szerint történik. egyszempontos ANOVA / egyszeres osztályozás (one way ANOVA) egyetlen faktort vizsgálunk jelen feladat is ilyen (esetünkben a dózis ez a faktor) két-, három- / többszempontos ANOVA példa: hőkezeléssel és besugárzással enzimaktivitást nézünk, ezen két szempont hatását értékeljük a vizsgált paraméterre az eredmények értelmezési nehézsége fokozódik a faktorok kereszthatásainak következtében a számítási kapacitás is nagy mértékben megnő

Egyszempontos varianciaanalízis k csoport, 1 faktor teljes mintaszám: teljes mintára vonatkozó átlag:

Egyszempontos varianciaanalízis – Teljes variancia A mintára vonatkozó teljes varianciát az egyes mintaelemek nagy átlagtól való eltérésének négyzetösszegeként definiáljuk A teljes négyzetösszeg két részre bontható: csoporton belüli és csoportok közötti négyzetes összegekre adott elem eltérése a nagy átlagtól elem csoport-átlagtól való eltérése csoport-átlag nagy átlagtól való eltérése Belátható, hogy a teljes négyzetösszeg felbontása egyértelmű és a két részösszeg független egymástól.

Egyszempontos varianciaanalízis – Részvarianciák Az egyes részvarianciák felírásához szükségünk van a megfelelő szabadságfokok meghatározására. A teljes mintára vonatkozóan a szabadságfok szintén két részre bontható Így az egyes részvarianciák értéke: Csoporton belüli részvariancia: Csoportok közötti részvariancia: teljes szabadságfok csoporton belüli csoportok közötti

Egyszempontos varianciaanalízis – Varianciák összehasonlítása A varianciaanalízis során a két részvarianciát hasonlítjuk össze F-próbával Ha ez az eltérés szignifikáns, vagyis a csoportok közötti hatás a mértékadó, akkor elvetjük a csoportok átlagaira vonatkozó nullhipotézisünket. Az F-próba során csak egyoldalú próbát használunk, hiszen számunkra az az eset érdekes, hogy a csoporton belüli részvariancia (sb2) nagyobb-e a csoportok közötti részvarianciánál (sk2)

Varianciaanalízis (ANOVA) – Használatának feltételei A használhatóság feltételei megegyeznek a független kétmintás t-próba feltételeivel: a minták függetlensége a minták normális eloszlása a minták azonos varianciája (homogenitása) A feltételek teljesülését még az analízis előtt el kell végezni. A varianciaanalízis robosztus teszt a minták nem túlságosan durva eltérése a normalitástól és a homogenitástól nem torzítja túlságosan a levonható konklúzió érvényességét A feltételek nem teljesülése esetén a megfelelő nem paraméteres eljárást kell használni, illetve meg kell próbálni az adatok áttranszformálását négyzetgyök-transzformáció logaritmikus transzformáció reciprok transzformáció arcus sinus transzformáció

Feladat megoldása – Feltételek ellenőrzése P-P plot Normalitás ellenőrzése: Hisztogram Kolmogorov-Szmirnov teszt

Feladat megoldása – Feltételek ellenőrzése Homogenitás ellenőrzése: Bartlett-próba F-próba kiterjesztése kettőnél több minta esetére, szórások homogenitásának ellenőrzésére

Feladat megoldása – Kiértékelés ÖSSZESÍTÉS Csoportok Darabszám Összeg Átlag Variancia 1. dózis 5 48 9,6 9,3 2.dózis 49 9,8 6,7 3.dózis 85 17 7,5 4.dózis 95 19 8,5 5.dózis 139 27,8 9,2 VARIANCIAANALÍZIS Tényezők SS df MS F p-érték F krit. Csoportok között 1132,96 4 283,24 34,37379 1,06E-08 2,866081 Csoporton belül 164,8 20 8,24 Összesen 1297,76 24   csoporton belüli részvariancia csoportok közötti négyzetes összeg csoporton belüli négyzetes összeg csoportok közötti részvariancia csoportok közötti szabadságfok csoporton belüli szabadságfok

Feladat megoldása – Következtetés VARIANCIAANALÍZIS Tényezők SS df MS F p-érték F krit. Csoportok között 1132,96 4 283,24 34,37379 1,06E-08 2,866081 Csoporton belül 164,8 20 8,24 Összesen 1297,76 24   F értéke a két variancia hányadosa: Az 5%-os szignifikancia-szinthez tartozó kritikus F érték: 2,866081 Mivel 2,866081 < 34,37379 , ezért a nullhipotézist elvetjük, azaz a csoportok szignifikánsan különböznek egymástól.