Matematika II. 1. előadás Geodézia szakmérnöki szak 2012/2013. tanév/ Műszaki térinformatika ágazat őszi félév Matematika II. 1. előadás

Lineáris programozás Miért lineáris ? Lássunk egy példát! A feladat: Szendvicsek gyártása egy házibulira! Alapanyagok: 120 dkg vaj 100 dkg sonka 200 dkg sajt 20 db főtt kemény tojás

Lineáris programozás A szendvicsek típusai: A típus (x1 darab): 3 dkg vaj 3 dkg sonka 2 dkg sajt 1/4 db tojás B típus (x2 darab): 2 dkg vaj 1 dkg sonka 5 dkg sajt 1/2 db tojás

Lineáris programozás Mi a feladat? Matematikai modell: A lehető legtöbb szendvics elkészítése az alap-anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre áll). Matematikai modell: x1 >= 0; x2 >= 0 (negatív mennyiség ?) 3·x1 + 2·x2 <= 120 (vajas feltétel) 3·x1 + x2 <= 100 (sonkás feltétel) 2·x1 + 5·x2 <= 200 (sajtos feltétel) 1/4·x1 + 1/2·x2 <= 20 (tojásos feltétel) Célfüggvény: z = x1 + x2  max.

Lineáris programozás Grafikus megoldás: 1. lépés: a „vajas” egyenes A félterek irányítása 2. lépés: a többi egyenes A lehetséges megoldások halmaza A célfüggvény egyenesei 3. lépés: Optim. megoldás

Lineáris programozás Tapasztalatok a feladat kapcsán: A lehetséges megoldások halmaza a síknak egyenesekkel határolt tartománya Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkező pontok egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén fekszenek A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg

Lineáris programozás A grafikus megoldás elemzése:

A Szimplex módszer A feladat: Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény; Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A; Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b; A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*; n dimenziós sorvektor;

A Szimplex módszer A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő: A x <= b; x >= 0 z = c* x  max.! Észrevételek: A feltételrendszerben lehetnek <= és >= irányú egyenlőtlenségek is. Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel. A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum-feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.

A Szimplex módszer A lineáris programozási feladatat kanonikus alakja a következő: A x = b; x >= 0 z = c* x  max.! Észrevételek: Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek szerepelnek; Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.

A Szimplex módszer Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek: A1 x = b1 A2 x <= b2 A3 x >= b3 x >= 0 z = c* x  max.!.

A Szimplex módszer Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira: A1 x = b1 A2 x + Eq u = b2 A3 x - Er v = b3 x >= 0; u >= 0; v >= 0 z = c* x  max.!.

A Szimplex módszer A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:

A Szimplex módszer Az algoritmus lépései: A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója negatív; Ha van cj > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát vizsgáljuk; Megkeressük azt a ak,j> 0 számot, amelyre az xk/ak,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem; Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással; Az eljárást az elejével folytatjuk.

A Szimplex módszer Megállási feltétel: Nincs cj > 0 elem, ekkor találtunk optimális megoldást; Bár még van cj > 0, de ebben az oszlopban minden ak,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem korlátos, tehát nincs optimális megoldás

Példa a Szimplex módszer alkalmazására Egy üzemben öt különböző terméket lehet három korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló erőforrás segítségével előállítani. Az erőforrások mennyiségét, a fajlagos ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos hozamát a következő táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására A mintapélda alapadatai:

Példa a Szimplex módszer alkalmazására Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy lehetséges megoldást is tartalmaz: Mivel van cj > 0, a megoldás még nem optimá-lis. Válasszunk generáló elemet!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására Az első transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Ismét van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására A második transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Még van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újra generáló elemet!

Példa a Szimplex módszer alkalmazására A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Itt már az összes cj < 0, a megoldás tehát opti-mális.

A mintapélda megoldása Az optimális termelési stratégia az előbbiek alapján tehát az, ha a vállalat a következő-képpen jár el: I. termék: 20 egység II. termék: 30 egység V. termék: 50 egység Ekkor a tiszta hozam: z = 230

Módosított mintapélda A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék fajlagos tiszta hozama 1-ről 2-re nő): Állítsuk elő a megoldást!