Matematika II. 3. előadás Geodézia szakmérnöki szak 2010/2011. tanév Műszaki térinformatika ágazat tavaszi félév

A 3. előadás vázlata A szállítási feladat ismertetése Mintapélda a szállítási feladatra Gyakorló feladat a szállítási feladatra

Szállítási feladat Mi a feladat? –Adott k telephely, ahol t 1, t 2,… t k anyagot tárolnak. –Adott l felvevőhely, amelyeknek f 1, f 2,…f l igényük van a fenti anyagra. –Feltehető, hogy Σ t i = Σ f j –Ismert a szállítási költségek C mátrixa, melynek c ij eleme az i-dik telepről a j-dik felvevőhelyre szállítás egységnyi költségét tartalmazza. –Vezessünk be k·l darab, x ij változót, mellyel az i- dik telepről a j-dik felvevőhelyre elszállított mennyiséget jelöljük.

Szállítási feladat Mi a feladat? –Keresendő a z = Σ Σ c ij ·x ij lineáris függvény minimuma az alábbi feltételekkel: Σx ij = t i (i = 1, 2, …k) Σx ij = f j (j = 1, 2, …l) x ij >= 0(i = 1, 2, …k; j = 1, 2, …l)

Szállítási feladat A megoldás algoritmusa I. –Először a költségmátrixban előállítunk egy lehetséges bázis-megoldást pl. az északnyugati sarok módszerrel, ilyen mindig létezik (a módszert a példa kapcsán tárgyaljuk)! –Ezt követően megállapítjuk, hogy ez már optimális program-e? Ehhez a mátrix soraihoz (u i ) és oszlopaihoz (v j ) ún. duális változókat rendelünk.

Szállítási feladat A megoldás algoritmusa II. –A duális változókat úgy határozzuk meg, hogy a kiinduló bázismegoldás minden báziseleméhez ren- delt költségkomponensre fennálljon a c ij = u i + v j egyenlet. Ez a feltétel lehetővé teszi az u i -k és a v j -k kiszámítását. –Ezekkel az elemekkel képezzük az új C’ mátrix elemeit az alábbiak szerint: c’ ij = u i + v j - c ij. –A báziselemek helyén álló c’ ij -k nyílván 0-k lesznek (miért?!?)

Szállítási feladat A megoldás algoritmusa III. –Ha a C’ mátrix minden eleme nem pozitív, akkor a kapott program optimális, a feladatot megoldottuk. –Ha a C’ mátrixban van pozitív elem, akkor ennek a bevonásával a bázisba a célfüggvény javítható. –Ennek érdekében készítsünk egy olyan hurkot, amelynek sarokpontjai a bázisba bevont költségértékek. Ezek mentén haladva, a lehetséges legnagyobb érték felhasználásával módosítsuk a szállítási feladat megoldását úgy, hogy ezzel az értékkel csökkentsük, majd a következő elemnél növeljük a bázis-megoldás programjának értékeit.

Szállítási feladat A szállítási feladat megoldása során használt jelölések az alábbiak:

Szállítási feladat Mintapélda:

Szállítási feladat A megoldás 1. lépése:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók értékei: u 1 + v 1 = 1 u 1 + v 2 = 2 u 2 + v 2 = 3 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 3 = 2 u 3 + v 4 = 1 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:v1 v1 = 1 v2 v2 = 2 v3 v3 = 1 v4 v4 = 0 u2 u2 = 1 u3 u3 = 1

Szállítási feladat A megoldás 2. lépése:

Szállítási feladat A megoldás 3. lépése:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók újabb értékei: u 1 + v 1 = 1 u 1 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 1 = 0 u 3 + v 3 = 2 u 3 + v 4 = 1 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:u2 u2 = u3 u3 = v1 v1 = 1 v2 v2 = 2 v3 v3 = 3 v4 v4 = 2

Szállítási feladat A megoldás 4. lépése, az újabb C’ mátrix:

Szállítási feladat A megoldás 5. lépése, a módosított tábla:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók újabb értékei: u 1 + v 1 = 1 u 1 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 1 = 0 u 3 + v 3 = 2 u 2 + v 4 = 0 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:u2 u2 = u3 u3 = v1 v1 = 1 v2 v2 = 2 v3 v3 = 3 v4 v4 = 1

Szállítási feladat A megoldás 6. lépése, az újabb C’ mátrix:

Szállítási feladat A feladat megoldása: x 12 = 6x 23 = 2 x 24 = 6x 31 = 4 x 33 = 2 A célfüggvény értéke: min z = 28

Szállítási feladat Mintapélda:

Szállítási feladat 1. lépés: lehetséges induló megoldás keresése

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók értékei: u 1 + v 1 = 2 u 1 + v 2 = 1 u 2 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 3 = 4 u 3 + v 4 = 2 u 3 + v 5 = 4 u 4 + v 5 = 2 u 4 + v 6 = 2 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:v1 v1 = 2 v2 v2 = 1 u2 u2 = 1 v3 v3 = 1 u3 u3 = 3 v4 v4 = v5 v5 = 1 u4 u4 = 1 v6 v6 = 1

Szállítási feladat A megoldás 2. lépése:

Szállítási feladat A megoldás 3. lépése:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók újabb értékei: u 1 + v 1 = 2 u 1 + v 2 = 1 u 2 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 3 = 4 u 3 + v 4 = 2 u 3 + v 6 = 1 u 4 + v 5 = 2 u 4 + v 6 = 2 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:v1 v1 = 2 v2 v2 = 1 u2 u2 = 1 v3 v3 = 1 u3 u3 = 3 v4 v4 = v6 v6 = -2 u4 u4 = 4 v5 v5 =

Szállítási feladat A megoldás 4. lépése, az újabb C’ mátrix:

Szállítási feladat A megoldás 5. lépése, a módosított tábla:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók újabb értékei: u 1 + v 1 = 2 u 1 + v 2 = 1 u 2 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 3 = 4 u 3 + v 4 = 2 u 3 + v 6 = 1 u 4 + v 2 = 2 u 4 + v 5 = 2 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:v1 v1 = 2 v2 v2 = 1 u2 u2 = 1 v3 v3 = 1 u3 u3 = 3 v4 v4 = v6 v6 = -2 u4 u4 = 1 v5 v5 = 1

Szállítási feladat A megoldás 6. lépése, az újabb C’ mátrix:

Szállítási feladat A megoldás 7. lépése, a módosított tábla:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók újabb értékei: u 1 + v 1 = 2 u 1 + v 2 = 1 u 2 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 1 = 3 u 3 + v 4 = 2 u 3 + v 6 = 1 u 4 + v 2 = 2 u 4 + v 5 = 2 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:v1 v1 = 2 v2 v2 = 1 u2 u2 = 1 v3 v3 = 1 u3 u3 = 1 v4 v4 = 1 v6 v6 = 0 u4 u4 = 1 v5 v5 = 1

Szállítási feladat A megoldás 8. lépése, az újabb C’ mátrix:

Szállítási feladat A megoldás 9. lépése, a módosított tábla:

Szállítási feladat A hozzárendelt duális változók újabb értékei: u 1 + v 1 = 2 u 1 + v 2 = 1 u 2 + v 2 = 2 u 2 + v 3 = 2 u 3 + v 1 = 3 u 3 + v 4 = 2 u 3 + v 6 = 1 u 4 + v 4 = 1 u 4 + v 5 = 2 Legyen:u1 u1 = 0 Ekkor:v1 v1 = 2 v2 v2 = 1 u2 u2 = 1 v3 v3 = 1 u3 u3 = 1 v4 v4 = 1 v6 v6 = 0 u4 u4 = 0 v5 v5 = 2

Szállítási feladat A megoldás 10. lépése, a végső C’ mátrix:

Szállítási feladat A feladat megoldása: x 11 = 20x 12 = 30 x 22 = 20x 23 = 20 x 31 = 10x 34 = 39 x 36 = 11x 44 = 1 x 45 = 30 A célfüggvény értéke: min z = 330