Continuum and Digital Computer (An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A folytonosság és a digitális számítógép (Egy elemi megközelítés) n Discrete and Continuous: Two sides of the same? n László Lovász n Microsoft Research, n One Microsoft Way, Redmond, WA 98052

Continuum and Digital Computer (An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből: A matematikai problémák fő külső forrása a tudomány. A hagyományos szemlélet szerint a tér és az idő folytonos. A matematikai analízis a tudomány kemény magja.

Continuum and Digital Computer (An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. n Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből: Van-e értelme az elemi események közötti időpontnak? Lehetséges, hogy a világnak folytonos vagy (óriási) diszkrét rendszer- ként valóleírása egyenértékű?

Continuum and Digital Computer (An elementary Approach) J. PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. n Idézetek Lovász professzor hivatkozott cikkéből: A számítógépek világa diszkrét. Azt hiszem, hogy a problémák valódi megértése a diszkrét és a foly- tonos szintézisét igényli.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A számítógépet használó épí- tész számára a folytonos és a diszkrét leírás különbözősége markánsan jelentkezik pl. a folytonos görbék raszter kép- ernyőn való megjelenítése során.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A digitális számítógépek diszkrét jellegének alpvető kö- vetkezménye, hogy velük tulajdonképpeni valós számok nem fejezhetők ki. Nevezetesen bármely két valós szám között vannak további valós számok, a véges hoszszú- ságú regiszterekben történő számábrázolás esetén azon- ban ez nem valósulhat meg: “fixpontos számok” “lebegőpontos számok”... “véges regiszterek”

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Kiséreljük meg valamely két- méretű kontinuum egy véges részének és az ezen értelmez- hető görbéknek egy kombi- nált, diszkrét-folytonos vizs- gálatát. Tekintsük a p i,j disz- krét elemek egy kétméretű vé- ges elrendezését. A diszkrét e- lemek mindegyike feleljen meg a véges síkrész egy-egy egység-négyzetének, „pixelé- nek”.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Diszkrét görbe diszkrét elemek sorszámozással ellátott olyan sorozata, ahol az egymást követő elemek szomszédosak: Két diszkrét elem szom- szédos ha csak az egyik indexük különbözik, s a különbség 1. Más szóval, két pixel szomszédos, ha egy oldaluk közös.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Diszkrét görbe megadható a hozzátartozó pixelek felsoro- lásával. Célszerűbb csak a Egy diszkrét görbe repre- zentálja mindazokat a foly- tonos görbéket, amelyeket le- fed. Bármely folytonos gör- bének megfelel egy diszkrét görbe, amely éppen lefedi. kezdőpixelt megadni és a bejárás lépéseit felsorolni: i 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10,11,11,11,12,13,14,14,... j: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,14,14,15,14,14,14,14,13,... (1,4),+y, y,+x, y, x, y, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, y, x, x, x, y, –y, x, x, x, y,...

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbéket az oszlopa- ik első pixeleivel is jellemez- hetjük. Ha a diszkrét görbének van(nak) nem monoton oszlo- pa(i), akkor a teljes jellemzés- hez még ezek határoló pixe- le(i) is hozzáértendő(k). A zölddel jelölt (i’,j’) és (i,j) pixelek különbsége az interval- lum-aritmetika szabályai szerint a következő négy pixel együttese: (i’-i, j’-j), (i’-i+1, j’-j), (i’-i, j’-j+1), (i’-i+1, j’-j+1). (Zölddel keretezve.)

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét elemek kü- lönbségnek képzésére be- mutatott „négypixeles” szabály a diszkrét elemek körében maradva is iga- zolható a diszkrét elrende- zések (képek) finomításá- val és a kivonás és a fino- mítás felcserélhetőségé- nek megkövetelésvel.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét elemek különbségnek képzésénél, ha i > i’ vagy j > j’ (vagy mindkettő), szükség van a diszkrét elrendezések ki- terjesztésére.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A függvényoszlopok különbsége pixeleik kü- lönbségeinek összes- sége. Az oszlopkülönbségek kifejezésére „vonaljele- ket” is használhatunk, amelyek a kivonandó oszlopában megjelölik a különbség sorait. E jelö- lés akkor egyértelmű, ha hozzátesszük az id=i’-i értéket.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopkülönségeket az id értékek szerint differen- cia-osztályokba sorolva vonaljeleikkel jellemezhetjük.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopkülönbségek helyett elegendő az oszlopjel- lemző pixelek különbségeit tekinteni, ebből az előb- biek rekonstruálhatók. Valamennyi id differenciaosz- tályhoz tartozó ilyen elrendezés együttesen az oszlopokhoz rendezett differenciál.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopkülönbsé- gek vonaljeleit a ki- vonandó oszlopjel- lemző pixel sorában is elhelyezhetjük, azon képoszlopokat jelölve meg, amelyekkel azo- nos sorszámú sorokat foglalja el az illető oszlopkülönbség.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. Az oszlopjellemző pixelek különbsé- geinek vonaljeleit szintén áthelyez- hetjük a képsorok- ba. Ez a sorokhoz rendezett differenciál.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbék néhány alaptípusa. 1. Az állandó Állandó az a diszkrét görbe, amelyben a négy lehetséges lépés- irány közül csak az egyik fordul elő, más- szóval valamennyi lépésirány azonos.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbék néhány alaptípusa. 2. Az egyenes Egyenes az a diszkrét görbe, amelynél a dif- ferenciál minden osz- tályában van a különb- ségi vonaljelekre il- leszkedő állandó.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét görbék néhány alaptípusa. 3. A parabola Parabola az a diszkrét görbe, amelynél az oszlopokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő (pixel-)egyenes. 4. Az exponenciális diszkrét görbe Exponenciális diszkrét görbe esetén a sorokhoz rendezett differenciál minden osztályában van a különbségi vonaljelekre illeszkedő egyenes.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A bemutatott diszkrét görbék elemi összefüggése a megfelelő folytonos függvénnyel. Az y = ax + b egyenes esetén ( y’ = C ) dy = a(x + dx) + b - (ax + b) = a.dx. Az y = ax 2 + bx + c parabola esetén ( y’ = A.x + B ) dy = a(x + dx) 2 + b(x + dx) + c - (ax 2 + bx + c ) = = 2.a.dx.x + b.dx. Az y = a x exponenciális függvény esetén ( y’ = C.y ) dy = a x+dx - a x = a x.a dx - a x = a x (a dx -1) = (a dx -1).y.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét differenciálok bemutatott rendszerét vessük egybe egy példán a folytonos függvényekkel kapcso- latban használatos véges differencia módszerrel. Az y = a x exponenciális függvényt meghatározó diffe- renciálegyenlet y’ = C.y. Az ezt (az x temgely vala- mely n.dx hosszúságú szakaszán) közelíteni kívánó legegyszerűbb differenciaegyenlet-rendszer az alábbi: ( y i+1 - y i ) / dx = C. y i ( i = 0, 1,... n-1). A diszkrét differenciálok segítségével ezt a differencia- egyenlet-rendszert mintegy „minden lehetséges” dx ér- tékre szimultán vizsgáljuk. Így az eredmény bizonyos értelemben „pontos”.

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A diszkrét differenciálok és a korábban publikált V&AA rend- szerben szereplő additív algoritmusok kapcsolatát az összeren- dezett sorozatpárok adják. Monoton diszkrét görbék bejárása- kor az x ill. y lépések ugyanúgy következnek, ahogyan az e- gyesített sorozatban a két részsorozatból származó tagok. U 1, U 2,... U k,... egyesített monoton sorozat I 1, I 2,... I ,... az x lépések monoton sorozata J 1, J 2,... J ,... az y lépések monoton sorozata

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A V&AA rendszer egy R értéknek az i,j egész számpárok- hoz való hozzárendelésén alapul, a monoton diszkrét gör- bét azon pixelek alkotják amelyeknek a négy sarkában kü- lönböző előjelű R értékek találhatók. Az R az összerende- zett sorozatpár alapján számítható: R = R 0 +(I 1 + I I i ) - (J 1 + J J j ). Az összerendezett sorozatpárok például: - egyenest állítanak elő, ha mindkét részsorozat számtani, - parabolát, ha az egyik első, a másik másodrendű számtani, - n-ed rendű parabolát, ha az egyik első, a másik n-ed rendű számtani, - exponenciális diszkrét görbét, ha az egyik számtani, a másik mér- tani, stb. (Ez utóbbi megállapítás gyakorlati haszna korlátozott.)

Continuum and Digital Computer J.PEREDY Dr. Habil. Prof. Em. A V&AA rendszerrel készült ábrán két forgásfelület áthatása látható. Mindkét meridiángör- be egyenlete c 1 x 3 + c 2 x 2 y + c 3 xy 2 + c 4 y c 5 x 2 + c 6 xy + c 7 y c 8 x + c 9 y + c 10 = 0 típusú. Az ábra teljes egészé- ben egész számok összeadásán alpuló diszkrét módszerekkel készült, igy minden részletében „garantált pontosságú”.