Valószínűségszámítás

A valószínűség fogalma Tekintsünk egy K kísérletet és vizsgáljuk az A eseményt. A kísérletet n-szer elvégezve azt tapasztaljuk, hogy az A esemény k-szor következett be.   A k számot az A esemény gyakoriságának, a hányadost pedig az A esemény relatív gyakoriságának nevezzük. Egy véletlen esemény relatív gyakorisága a különböző kísérletsorozatokban általában nem állandó, de a megfigyelések szerint egy adott szám körül ingadozik. Azt a számot, amely körül az esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűségének nevezzük. Jelölése: P(A)

Kolmogorov-féle valószínűségi mező Egy K = (, A) kísérlettel kapcsolatban minden A eseményhez hozzárendelünk egy P(A) valószínűséget, amely a következő axiómáknak tesz eleget: 1./ 0  P(A)  1 2./ P() = 1 3./ ha egymást páronként kizáró események, akkor A K = (, A) kísérletet és a fenti módon értelmezett P(A) valószínűséget együttesen Kolmogorov-féle valószínűségi mezőnek nevezzük.

A valószínűségre vonatkozó alapvető összefüggések Tétel. Minden A és B eseményre   2./ P() = 0. 3./ P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB). Tétel. Ha az események teljes eseményrendszert alkotnak, akkor

Klasszikus valószínűségi mező Definíció: Klasszikus valószínűségi mezőnek nevezzük azt az valószínűségi mezőt, melyben az elemi események valószínűsége megegyezik. Így egy tetszőleges A esemény valószínűsége: Példa: 1./ Egy csomag magyar kártyát jól összekeverünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 ász egymás után helyezkedik el? 2./ 100 alma közül 10 férges. Mennyi a valószínűsége, hogy válogatás nélkül 5 almát kivéve, közöttük lesz férges alma? 3./ A 32 lapos magyar kártyából 4 lapot véletlenszerűen kiválasztunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között pontosan egy piros és egy ász lesz?

Klasszikus valószínűségi mező 4./ Számkártyákon az 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből képzett kétjegyű számok állnak. a./ Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kihúzott kártyán látható szám osztható lesz 3-mal? b./ Mekkora a valószínűsége, hogy egy találomra kihúzott kártyán látható szám osztható lesz 5-tel? c./ Mekkora a valószínűsége, hogy egy 12-vel osztható számot tartalmazó kártyát húzunk ki? 5./ 10 mákos és 20 diós kifli van egy kosárban. Véletlenszerűen kiveszünk 5 kiflit. a./ Mekkora a valószínűsége, hogy pontosan 2 mákos kiflit választottunk? b./ Mekkora a valószínűsége, hogy csak diós kiflit választottunk? c./ Mekkora a valószínűsége, hogy választottunk mákos kiflit is?

Feltételes valószínűség Végezzünk N számú kísérletet és tegyük fel, hogy a B esemény n-szer (n  N) következett be, és e közül az n kísérlet közül k esetben az A esemény is bekövetkezett a B eseménnyel együtt. A hányadost az A eseménynek a B feltételre vonatkozó feltételes relatív gyakoriságának nevezzük. Jelölje a B esemény relatív gyakoriságát , az AB esemény relatív gyakoriságát valamint az A esemény B feltétel melletti relatív gyakoriságát . Ekkor   , amiből

Feltételes valószínűség Definíció. Legyen (, A, P) egy valószínűségi mező, A és B két esemény és tegyük fel, hogy P(B) > 0. Az A esemény B feltételre vonatkozó feltételes valószínűsége: Példa: Három kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az egyik kockával 6-ost dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 12?

Független események Legyen A és B két esemény és tegyük fel, hogy P(A)  0, és P(B)  0. Ha a feltételes valószínűség nem függ B-től, azaz = P(A), akkor azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek. A feltételes valószínűség definíciójának a felhasználásával: Definíció. Legyen A és B két esemény és tegyük fel, hogy P(A)  0, és P(B)  0. Azt mondjuk, hogy az A és B események függetlenek, ha P(AB) = P(A)P(B). Példa: Egy termék kétféle szempontból lehet selejtes: színhibás (A esemény), vagy deformálódott (B esemény) 1000 termékből 75 színhibás, 120 deformálódott, 9 színhibás és deformálódott, a többi hibátlan. Független-e az A és B esemény?

Teljes valószínűség tétele Tétel. Legyen az teljes eseményrendszer és legyen > 0 ( i = 1, 2, ...), valamint B  A tetszőleges esemény. Ekkor Példa: Egy műhelyben három műszakban termelnek azonos fajta árut. Egy napon az összes áruból az első műszakban 40%, a másodikban és a harmadikban 30-30% készült. Az első műszakban az áruk 5%-a, a másodikban gyártottak 7%-a, a harmadikban termeltek 10%-a selejt. Valamely napon készült teljes mennyiségből véletlenszerűen kiválasztva egy terméket, mennyi annak a valószínűsége, hogy ez hibátlan?

Bayes-tétel Tétel. Legyen az teljes eseményrendszer és legyen B  A tetszőleges esemény. Ekkor Példa: Egy gyárban három gép gyártja a csavarokat. A termékek 25%-át az A gép, 35%-át a B gép, 40%-át a C gép gyártja. Az A gép 5%-ban, a B gép 4%-ban, a C gép pedig 2%-ban termel selejtet. Ha egy találomra kiválasztott csavar selejtes, mennyi a valószínűsége, hogy azt az A gép gyártotta.

Gyakorló feladatok 1./ Egy csomag magyar kártyát jól összekeverünk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a 4 ász egymás után helyezkedik el?   2./ 100 alma közül 10 férges. Mennyi a valószínűsége, hogy válogatás nélkül 5 almát kivéve, közöttük lesz férges alma? 3./ A 32 lapos magyar kártyából 4 lapot véletlenszerűen kiválasztunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kihúzott lapok között pontosan egy piros és egy ász lesz? 4./ Egy urnában 6 piros, több fehér és fekete golyó van. Annak a valószínűsége, hogy egy golyót kihúzva, az fehér vagy fekete lesz: ; hogy piros vagy fekete színű lesz: . Hány fehér és fekete golyó van az urnában? 5./ Magyarországon egy rendszámtábla 3 betűből és utána 3 számjegyből áll. Egy rendszámtábla elkészítéséhez 26 betűt és 10 számjegyet használhatunk fel. (A 0-val kezdő számhármasokat is megengedjük, de 000-ás rendszám nincs). Mennyi a valószínűsége, hogy az előbbi módon készített rendszámtáblán minden betű és minden számjegy különböző?

Gyakorló feladatok 6./ Három kockával dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy az egyik kockával 5-öst dobunk, feltéve, hogy a dobott számok összege 12? 7./ Péter pénzét 3 egyforma borítékban tartja; az elsőben két ezerforintos, a másodikban egy ezer- és egy ötezer forintos, a harmadikban egy ezer- és három ötezer forintos van. Péter találomra kivesz egy borítékot, és abból találomra kihúz egy bankjegyet. Mennyi a valószínűsége, hogy ezerforintost húzott ki? 8./ Egy egyetemi vizsgán az A szakos hallgatók 60%-a, a B szakos hallgatók 75%-a, a C szakos hallgatók 85%-a vizsgázik sikeresen. Az A szakos hallgatók az évfolyam 40%-át, a B szakos hallgatók az évfolyam 35%-át teszik ki. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott hallgatónak nem sikerült a vizsgája? 9./ Egy műhelyben három műszakban gyártanak azonos terméket. Egy napon az összes gyártott termékből az első műszakban 40%, a második és harmadik műszakban 30-30% készült. Az első műszakban 2%, a másodikban 3%, a harmadikban 5% hibás áru készült. A három műszakban elkészült teljes mennyiségből véletlenszeren kiválasztunk egy darabot és megvizsgáljuk. A termék hibás. Mennyi a valószínűsége, hogy a II. műszakban gyártották ezt a terméket?