Halmazok, műveletek halmazokkal MATEMATIKA Halmazok, műveletek halmazokkal Halmazok, műveletek halmazokkal 1

Halmazok, műveletek halmazokkal Halmazelmélet Halmaz: alapfogalomnak tekintjük, más fogalmakkal nem definiáljuk! Valamilyen meghatározott tulajdonságok alapján szelektáljuk az elemeket Halmaz elemei: az adott halmazba tartozó elemek összessége Jelölések: halmaz -> (A,B,C) halmaza eleme -> (a,b,c) nem eleme a halmaznak Ábrázolása: Venn-diagramm segítségével Halmaz megadása: elemek felsorolásával: {1;2;3} halmaz elemeire jellemző tulajdonság definiálásával: Halmaz ekvivalencia: ha a halmazok elemei megegyeznek (pl.: A={1;1;2} és B={1;2}) Jelölése: A~B Üres halmaz: az a halmaz, melynek egyetlen eleme sincs Jelölése: vagy {} I A B C Halmazok, műveletek halmazokkal 2

Halmazok, műveletek halmazokkal Halmazelmélet Véges halmaz: egy halmaz véges, ha véges sok eleme van. Véges halmaz számossága egyenlő az elemek számával. Halmazok számosságának jelölése: |A| Részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz részhalmaza, ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme. Jelölés: Valódi részhalmaz: Egy adott A halmaz a B halmaz valódi részhalmaza, ha A részhalmaza B és B-nek van olyan eleme, mely nem eleme A-nak. Hatványhalmaz: adott halmaz összes részhalmazának halmaza Halmazok, műveletek halmazokkal 3

Műveletek halmazokkal Az alábbi definíciók adott A és B nem üres halmazok esetére értendőek! A) Egyesítés (unió): azon elemek halmaza, melyek elemei vagy A-nak vagy B-nek. Jelölés: B) Metszet (közös rész): azon elemek halmaza, melyek mind A-nek mind B-nek elemei. C) Különbség: azon elemek halmaza, mely A-nak azon elemeiből áll, melyek nem elemei B-nek. A) B) C) Halmazok, műveletek halmazokkal 4

Számhalmazok – Természetes Számok Természetes számok halmazának jelölése: N (nem negatív egész számok) Halmaza: a valós számok olyan részhalmaza, melyre: a) b) c ) ha és kielégíti a) és b) feltételeket, akkor , ahol N* pozitív egész számok halmaza Vagyis: ha egy természetes számokból álló halmaz tartalmazza a 0-t és 1-t, valamint minden k számhoz a rákövetkező számot, akkor tartalmazza az összes természetes számot. Összeadás: tag1+tag2=összeg a) kommutatív (felcserélhetőség) -> a+b+c=a+c+b=összeg b) asszociatív (csoportosíthatóság) -> (a+b)+c=a+(b+c)=összeg Kivonás: kisebbítendő-kivonandó=különbség Az N számok halmazán a kivonás csakkor végezhető el, ha a kisebbítendő≥kivonandó Halmazok, műveletek halmazokkal 5

Számhalmazok – Egész Számok Egész számok halmazának jelölése: Z Ahol, az egész számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre: Vagyis: az egész számok halmaza a természetes számok halmazának bővítése, ahol a kivonás mindig értelmezhető és elvégezhető. Szorzás: tényező1*tényező2*tényező3 = szorzat (azonos előjelek száma meghatározza a szorzat előjelét) a) kommutatív b) asszociatív c) Disztributív (széttagolható) -> a(b+c)=ab+ac=szorzat Osztás: osztandó:osztó=hányados -> abszolút értékük hányadosát egyenlő előjelű osztandó és osztó esetén +, különböző előjel esetén – előjellel látjuk el. Egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el! (10+3=3 és maradt az 1) Nullával való osztást nem értelmezzük! Halmazok, műveletek halmazokkal 6

Számhalmazok – Racionális Számok Racionális számok halmazának jelölése: Q Ahol, a racionális számok halmaza a valós számok halmazának részhalmaza, melyre: Vagyis: a racionális számok halmaza az egész és természetes számok halmazának olyan bővítése, mely esetén az osztás mint matematikai művelet minden elem esetén elvégezhető. Hatványozás: egyenlő számok, betűkifejezések szorzatának rövidített alakja. (an=a*a*a…*a) a: hatvány alap n: hatvány kitevő 0n=0 (n>0) és 1n=1 pozitív szám hatványa mindig pozitív negatív szám hatványa (ha páros a kitevő -> pozitív, ha páratlan a kitevő -> negatív) Halmazok, műveletek halmazokkal 7

Számhalmazok – Racionális Számok Hatványozás alapszabályai Halmazok, műveletek halmazokkal 8

Számhalmazok – Racionális Számok Gyökvonás: azon művelet, mely során az adott hatványhoz és hatványkitevőhöz keressük a hatványalapot. Az olyan nem negatív szám, melynek n-edik hatványa a és ahol n a gyökkitevő; a gyök alatti mennyiség. Gyökvonás alapszabályai Negatív számok gyökvonása nem értelmezett a racionális számok halmazán! Negatív számok gyökvonása a komplex számok halmazán értelmezett! Halmazok, műveletek halmazokkal 9

Számhalmazok – Valós Számok Irracionális számok: a végtelen, nem szakaszos tizedes törteket irracionális számoknak nevezzük. Vagyis, ezen számok halmazának elemei nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Jelölése: Q* Valós számok halmaza: a racionális és irracionális számok halmazának unióját valós számoknak nevezzük. Jelölése: R N={Természetes számok halmaza.} Z={Egész számok halmaza.} Q={Racionális számok halmaza. } Q*={Irracionális számok halmaza.} T={Transzcendens számok halmaza.} R={Valós számok halmaza.} Halmazok, műveletek halmazokkal 10

Summary – Mit „illik” tudni? Kivonás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában. Az osztás nem mindig végezhető el az egész számok halmazában. A valós számok halmazában sem végezhető el mindig a gyökvonás, pl negatív számoknak a négyzetgyöke nem tartozik a valós számok halmazába. A valós számok halmazán mindig értelmezett műveletek, az összeadás, szorzás, osztás mint matematikai műveletek tulajdonságainak pontos ismerte és alkalmazása. Halmazok, műveletek halmazokkal 11