Költség-minimalizálás az ellenőrző kártyák alkalmazásánál Zempléni András, Véber Miklós, Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest Belmiro Duarte és Pedro Saraiva Inst. Superior de Engenharia Department of Chemical de Coimbra Engineering, Univ. of Coimbra

Bevezetés Cél: olyan ellenőrző kártyák tervezése, melyek révén a költségek csökkenthetőek, és a megvalósításuk nem bonyolult Szükséges ismeretek a: mintavétel, az első és másodfajú hiba (közelítő) költsége, a folyamat középértéke eltolódásának gyakorisága és mértéke.

Feltételek Megfigyelések: normális eloszlásúak A folyamat eltolódása: rögzített (s; ekkor x- és CUSUM kártyákat is tekintünk): a hibás beállítással zajló termelés költsége állandó. Véletlen (x-kártya): Taguchi-féle veszteségfüggvény (kellően rugalmas, az egyszeri eltolódás várható értéke: s/2) A többi jellemző változatlan marad

X-kártya paraméterei d: egységnyi időintervallumban az eltolódás valószínűsége (stacionaritást feltételezzük) f: téves riasztás költsége l: egységnyi időintervallumra eső költsége a fel nem ismert, adott mértékű eltolódásnak Ezeket a paramétereket a korábbi tapasztalataink alapján becsülhetjük meg. A módszerünket a következő paraméterek határozzák meg: c: UCL j: mintavételi gyakoriság (egységnyi idő alatt j –szer veszünk egyelemű mintákat)

Szimulált példák (c=2) Riasztás (az eltolódás aktuális értékével együtt)

Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban Általánosítás:a riasztás nem egy elemen, hanem n egymás utáni megfigyelésen alapul (Markov-láncot definiál az aktuális állapot: az utolsó hány megfigyelés volt kívül a határon, és volt-e eltolódás) A várt költség a Markov lánc p stacionér eloszlásán alapul Költség-komponensek: mintavétel téves riasztás nem detektált eltolódás

Optimalizálás A költségfüggvény minimalizálását az R programcsomaggal végeztük (letölthető: www.cran.r-project.org) Az algoritmus gyors (a Markov-láncnak 2n+2 állapota van) és nem függ a kezdőértéktől. Az optimális kártya paramétereit a költségek függvényeként a következő ábrákon mutatjuk be.

Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban, intenzitás (d)=0 Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban, intenzitás (d)=0.2, összköltség

Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban, d=0 Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban, d=0.2, beavatkozási határok

Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban, d=0 Rögzített méretű eltolódás véletlen időpontban, d=0.2, mintavételi gyakoriság

CUSUM kártyák Megbízható a tartós eltolódások felderítésére A rögzített eltolódás esetét vizsgáljuk, mivel egyoldali a probléma, fél maszkot alkalmazunk. A költség-számítás a fentiekkel megegyező. Paraméterek: A maszk szöge A csúcs távolsága a kártya utolsó pontjától Mintavételi gyakoriság

Példa Téves riasztás Riasztás Szög: nagy Szög: kicsi

Az optimális CUSUM kártya jellemzői (d=0.05)

Az optimális CUSUM kártya jellemzői (d=0.2)

Az x- és CUSUM kártyák összehasonlítása CUSUM kártya kisebb összköltségű (10-20% javulás a legtöbb esetben)

Költség-számítás (véletlen méretű eltolódás) Az eltolódás eloszlása: exponenciális (átlagos eltolódás: s), intenzitás: d. A folyamat (eltolódás mértéke) átlagának stacionér eloszlása számolható (közelítőleg, diszkretizálással, m=300 osztály). Költség-számítás erre a stacionér eloszlásra, Taguchi-féle veszteségfüggvényt (lx2) alkalmazva. Minimalizálás 1-2 percet vett igénybe esetenként.

Az optimális kártya paraméterei

Alkalmazás valódi adatokra Cellulózmalom rostokat gyárt, adott fényességben. Ez egyoldali probléma (célérték = 88.5 ºISO, LSL=87.5 ºISO). A CAIMA portugál gyárban gyűjtött adatok a következő paraméter értékeket eredményezték. A-priori paraméter becslések: f=90 l=4500 (a maximális veszteség, de 87.5 ºISO esetén 90) s=1.25 d=0.33

Eredmények Optimális paraméterek (standardizálás után): c=1.56, j=3.60 A költségfüggvény minimális értéke: 56.8. A szokásos SPC 5 elemű mintákat vesz egyszerre. (Ez a mi esetünkben 5-szörös mintavételi költségnek felel meg. Az eltolódás mértéke ). Az optimális kártya erre az esetre c=1.40, j=1.43. A költségfüggvény minimális értéke: 89.9.

A módszerek robusztussága Szimuláció: adott paraméterekhez tartozó optimális kártyát használtuk különböző paraméter értékekre (időtartam=1000 egység, ismétlések száma=100). d s Cost (std.dev.) 0.05 1.3 10.66 (0.66) 0.07 1.5 11.71 (0.73)

Szimuláció a valós esetre A feltételezett paraméter értékekhez tartozó optimális kártyát alkalmaztuk különböző paraméter értékekre (idő=1000 egység, ismétlések száma=100) Az eredmények kielégítőek (nincs jelentős költség-növekedés, ha mérsékelt eltérés van a becsült és a tényleges paraméter értékek között). d s Költség (szórás) 0.33 1.25 53.78 (2.05) 0.5 1.5 68.94 (3.44)

Következtetések A bemutatott eljárás alkalmas optimális ellenőrző kártyák tervezésére, a folyamat jellemzőire vonatkozó ismeretek és a működéshez kapcsolódó költségek ismeretében. Az eljárásokat szimulált és valódi ipari adatokon is teszteltük. A módszerünk megmutatta, hogy jelentős költségcsökkentés is lehetséges a mai számítógépkapacitást kihasználó optimalizálás révén.

Köszönetnyilvánítás A bemutatott tanulmányt a Pro-ENBIS konzorcium tagjai készítették, mely együttműködést az Európai Bizottság 5. Keretprogram a G6RT-CT-2001-05059 sz. szerződés keretében támogatja. A szerzők felelősek az előadás tartalmáért, az EU semmilyen felelősséget nem vállal a felhasználással kapcsolatosan

Pro-ENBIS EU-V pályázat támogatásával jött létre Az ENBIS (www.enbis.org) : European Network for promoting Business and Industrial Statistics szervezettel működik együtt Résztvevők: kb. 30 európai intézmény: egyetemek, statisztikai konzultációs cégek

ENBIS éves konferenciái 2001, Oslo (Véber Miklós számolt be róla), cikk a Minőség és Megbízhatóság 2003/1 és 2 számaiban 2002, Rimini (itt adtuk elő az előadás első részét) 2003, Barcelona – még lehet jelentkezni

Rimini konferencia Sessions Design of experiments Statistical modelling Statistical consulting Business and economics Process modelling and control Reliability and safety Web mining and analysis Data mining Six Sigma and quality improvement

A fontosabb témák Kísérlettervezés Statisztikai modellezés Frakcionális faktoriális tervek Többdimenziós vizsgálatok Statisztikai modellezés Statisztika hatékonysága (Kenett & Coleman, 5) Folyamatok modellezése SPC: paraméteres és nemparaméteres módszerek összehaonlítása 6-sigma