Előadó: Kovács Zita 2013/2014. II. félév TUDÁSALAPÚ RENDSZEREK Bizonytalanságkezelés

 Szakértő rendszerek készítésekor a tárgyköri szakértők ismerete nehezen reprezentálható, nehezen formalizálható.  az ismeretek reprezentálása során használhatunk olyan adatokat, illetve tudást, amely csak bizonyos valószínűséggel biztos, az ilyen adatok kezelését nevezzük bizonytalanságkezelésnek

 Bizonytalan adatok kezelése egy szakértői rendszerben azokban az esetekben indokolt, amikor a rendelkezésre álló információ  hiányos vagy  nem teljesen megbízható vagy  pontos lenne, de a reprezentáló nyelv nem elég precíz vagy  ellentmondásos

Megjelenési formákPélda, szituáció a. Hiányos adatEgy kérdőívnek nincs kitöltve minden pontja. b. Bizonytalan következtetés A megfigyelt tünetekből az adott betegség csak valószínűsíthető c. Bizonytalan fogalom, bizonytalan adat A beteg torka piros. (ezt mondta az orvos, de én egyáltalán nem látom pirosnak) d. Bizonytalan adatEgy mérőműszer nem elég megbízható. e. Ellentmondó adat, ellentmondó következtetés Az adatokból levonható következtetések egymásnak ellentmondanak.

Megjelenési formákPélda, szituáció f.Ellentmondó következtetések Két szakértő egymásnak ellentmondó véleményen van. g. Hiányos adat – így nincs alkalmazható következtetés Van-e intelligens élet a Földön kívül? h. „Még nem következett be” adat Felel-e a gyerek holnap az iskolában? i. Bizonytalan adat, bizonytalan következtetés A probléma pontos megfogalmazása nagyon költséges lenne; megelégszünk ezért egy olcsóbb és kevésbé megbízható megoldással. j. Az adat biztos, csak nem tudjuk közvetlenül megfigyelni Van-e gyulladás a beteg gyomrában?

1. numerikus modellek a. klasszikus valószínűségszámítás (Bayes tétele alapján) ▪ előnyei: szilárd elméleti alapok ▪ hátrányai: minden valószínűséget pontosan ki kell számítani, független események kérése, új esemény esetén minden eddigi adatot felül kell bírálni b. Fuzzy logika

2. szimbolikus modellek a. nem monoton logikák (alkalmazási területei: diagnózis, konfigurálás, ütemezés)

3. heurisztikus módszerek – bizonytalansági tényező Felmerülő problémák  hogyan reprezentáljuk a bizonytalan információt?  hogyan kombináljunk több bizonytalan információt (and, or, not)?  a következtetés problémája

 alkalmazásának előnyei:  szilárd elméleti alapok  jól definiált szemantika

 alkalmazásának hátrányai:  nagyon sok valószínűséget kell megadni, nem hiányozhat egy sem  Hogyan adjuk meg ezeket az értékeket?  változás esetén minden értéket újra meg kell határozni  az így adódó eredmények nehezen értelmezhetők szövegesen  nehezen tudjuk biztosítani a teljes eseményrendszert

Definíció: Eseménynek nevezünk mindent, amiről egy kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy a kísérlet során bekövetkezett, vagy sem. Két eseményt azonosnak tekintünk, ha a kísérlet minden lehetséges kimenetelekor vagy mindkettő bekövetkezik, vagy egyik sem. Az események jelölése: A, B, C, …

Definíció: Egy kísérlettel kapcsolatos elemi események összessége eseményteret alkot. (jele: T) A lehetetlen esemény olyan esemény, mely sohasem következik be. (jele: O) A biztos esemény olyan esemény, amely a kísérlet során mindig bekövetkezik. (jele: I)

Definíció: Azt az eseményt, amely akkor és csakis akkor következik be, ha az A esemény nem következik be, az A esemény ellentett eseményének nevezzük. (jele: Ā)  Ā ellentett eseménye: A  O ellentett eseménye: I  I ellentett eseménye: O

Definíció: Adott A 1,A 2,…,A n események A 1 +A 2 +…+A n összegén azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A 1,A 2,….,A n események közül legalább az egyik bekövetkezik.  A+B=B+A(kommutatív)  A+(B+C)=(A+B)+C (asszociatív)

Definíció: Adott A 1,A 2,…,A n események A 1 *A 2 *…*A n szorzatán azt az eseményt értjük, amely pontosan akkor következik be, ha az A 1,A 2,….,A n események mindegyike bekövetkezik.  AB=BA(kommutatív)  A(BC)=(AB)C (asszociatív)

Definíció: Ha az A és B események szorzata a 0 esemény, azaz AB=0, akkor azt mondjuk, hogy A és B események kizárják egymást. Tetszőleges A, B, C-re disztributív:  A(B+C)=AB+AC  A+(BC)=(A+B)(A+C)

Definíció: A B 1,B 2,…,B n események teljes eseményrendszert alkotnak, ha  B 1 +B 2 +…+B n = I  B i B k = 0, ha i ≠ k (i=1,2,…,n; k=1,2,…,n)

 összegük a biztos esemény  bármely kettő kizárja egymást  például: egy kísérlethez tartozó összes elemi esemény (ha véges számúak)  kockadobásnál elemi események: 1-et, 2-t, 3-at, 4-et, 5-t, 6-ot dobunk, együtt teljes eseményrendszer

Legyen P: Ω → [0,1] függvény, úgy hogy  0 ≤ P(A) ≤ 1  P(I) = 1, P(O) = 0  Ha AB=0, akkor P(A+B)=P(A)+P(B) Az így definiált P függvényt, valószínűségi mértéknek nevezzük.

Definíció: Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos esemény, ahol a B esemény valószínűsége nem 0, vagyis P(B) ≠ 0. Az A eseménynek a B feltétel melletti P(A|B) feltételes valószínűsége személetesen az A esemény bekövetkezésének valószínűségét jelenti, feltéve, hogy a B esemény bekövetkezett. P(A|B) = P(AB) / P(B)

Tétel: Ha a B 1,B 2,…,B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i ) ≠ 0 (i=1,2,…,n), akkor tetszőleges A esemény valószínűségére érvényes a következő összefüggés: P(A)=P(A|B 1 )P(B 1 )+P(A|B 2 )P(B 2 )+…+P(A|B n )P(B n )

Egy király úgy szeretné izgalmasabbá tenni az elítéltjeinek kivégzését, hogy három ládikába elhelyez 25 arany és 25 ezüst érmét. Ha a kivégzésre szánt célszemély aranyat húz, akkor a várakozással ellentétben mégsem végzik ki, de ha ezüstöt, akkor igen. A király a nagyobb izgalom kedvéért mindig máshogy osztja szét az érméket a ládákban. Egyik alkalommal így: 16 arany 4 ezüst 8 arany 12 ezüst 1 arany 9 ezüst

Kérdés: mekkora esélye van az elítéltnek a menekülésre (A)? Az egyes ládikákból aranyat húzni 16/208/201/10 valószínűséggel lehet. Ahhoz, hogy az első ládából aranyat húzzon, két dolog kell: 1/3 esély kell, hogy az első ládát válassza további 16/20, hogy abból aranyat húzzon P(A)=P(A|B 1 )P(B 1 )+ P(A|B 2 )P(B 2 )+P(A|B 3 )P(B 3 ) 16 arany 4 ezüst 8 arany 12 ezüst 1 arany 9 ezüst B1B1 B2B2 B3B3 1/3

Legyen B1, B2 és B3 teljes eseményrendszer, vagyis páronként kizáró események (B1: 1-es láda, B2: 2-es láda, B3: 3-as láda) P(A) = 16/20*1/3 + 8/20*1/3 + 1/10*1/3 = 26/60 16 arany 4 ezüst 8 arany 12 ezüst 1 arany 9 ezüst B1B1 B2B2 B3B3 1/3

Tétel: Ha a B 1,B 2,…,B n események teljes eseményrendszert alkotnak és P(B i ) ≠ 0 (i=1,2,…,n), továbbá A tetszőleges esemény, amelyre P(A) ≠ 0, akkor:

Egy zöldséges három helyről szerez be almákat. Az első helyről a készlet 20%-át szerzi be, ezek mind jók. A második helyről a 30%-át és itt 5% romlott, de nem baj, mert ezt is el tudja adni néhány vak öregasszonynak. A harmadik helyről a maradék 50%- ot szerzi be, és itt 15% romlott. HelyMennyiségRomlott 1. termelő20%0% 2. termelő30%5% 3. termelő50%15%

Kérdés: Kiválasztunk egy almát, amiről kiderül, hogy romlott. Mekkora valószínűséggel származik a hármas termelőtől? HelyMennyiségRomlott 1. termelő (B1)20%0% 2. termelő (B2)30%5% 3. termelő (B3)50%15%

 3. termelő: a készlet 50%-a, minden alma 0,5 valséggel van tőle. (Ha egy alma rossz, akkor ez a valség megváltozik.)  1. termelő: a készlet 20%-a, minden alma 0,2 valséggel van tőle. (Ha kiderül, hogy rossz, akkor az semmiképp sem tőle van!)

A 3. termelő esélyeit számoljuk (B3), feltéve, hogy az alma rossz (A=„az alma rossz”) P(B3|A) = (P(A|B3)*P(B3)) / (P(A|B 1 )P(B 1 )+P(A|B 2 )P(B 2 )+P(A|B 3 )P(B 3 )) = = (0,15*0,5) / (0*0,2+0,05*0,3+0,15*0,5) = 0,83 HelyMennyiségRomlott 1. termelő (B1)20%0% 2. termelő (B2)30%5% 3. termelő (B3)50%15%

Egy bizonytalanságot kezelő szabályalapú rendszerben egy szabály azt mondja ki, hogy „ha a feltételrész igaz, akkor a következményrész P valószínűséggel lesz igaz”.  Egy 0,75 valószínűséggel rendelkező szabály: ha a beteg megfázott, akkor a beteg tüsszög (0,75) if megfazott=igen then tusszog=igen cf 75

 visszafele: a „beteg tüsszög” tünetből akarunk következtetni az okra: a „beteg megfázott” (abduktív következtetés)  alkalmazzuk a két esetre kimondott Bayes tételt a beteg megfázott (A) betegség, vagy ok, feltevés Hipotézis a beteg tüsszög (E) tünet, vagy okozat, vagyis bizonyíték Okozat

 tegyük fel, hogy ismerjük az alábbiakat: P(A)=0,2„a beteg megfázott” P(E|A)=0,75 „a beteg tüsszög”, feltéve, hogy „a beteg megfázott” P(E| Ā )=0,2 „a beteg tüsszög”, feltéve, hogy „a beteg nem fázott meg” P( Ā )=0,8„a beteg nem fázott meg”

 Ha a beteg tüsszög, annak a valsége, hogy megfázott: P(A|E)=0,75*0,2/(0,75*0,2+0,2+0,8)= =0,375/0,31=0,48387  Ha a beteg nem tüsszög, annak a valsége, hogy nem fázott meg: P(A|E ellentett)=(1-0,75)*0,2/(1-0,31)=0,07246

Egy alkatrészt három különböző helyről szerzünk be:  Az első helyről, ahol a selejtek aránya 3% 12 darab származik.  A második helyről 5 darab, és itt 4% selejt.  Aharmadik helyről 3 darab és itt 95% nem selejt. Kiválasztunk egy alkatrészt. Mi a valószínűsége, hogy selejtes?

 LUKASIEWICZ: többértékű logikák  L.A. ZADEH:  kontinuum végtelen értékkészletű fuzzy logika  1965: Fuzzy sets c. tanulmány, alapdefiníciók  rendszerelmélet és irányításelmélet szemléletű  vegyes reakciók (uaz, mint a valség, stb)  1973, Zadeh: CRI (komozíciós következtetési szabály)  1974, E. H. MAMDANI (londoni prof.): átalakította a CRI-t

 MAMDANI-eljárás  ipari alkalmazások, például: dán cementmű irányítása  1975, VÁMOS Tibor Budapesten szervezett egy magyar-amerikai Alakfelismerési szemináriumot:  Zadeh: rámutatott a képfeldolgozási felhasználási lehetőségre  K. S. FU: adaptív rendszerek  A. ROSENFELD: fuzzy geometriai kérdések  R. DE MORI: beszédfelismerés

 1984: Nemzetközi Fuzzy Rendszer Szövetsége (IFSA)  IFSA, 1987, Tokio, második világkongresszus  japán kutatóiskolák eredményes alkalmazási kísérleteket mutattak be (elsősorban irányítási területeken, illetve számítógépes látás témájában)  a résztvevők megtekinthették a Sendai városában akkor már működő fuzzy irányítású (vezető nélküli) nyomvonalat is

 Japánban már fuzzy irányítással működtek pl.  szennyvíztisztítórendszerek,  alagútszellőzési rendszerek  1987 után: Japán Fuzzy Aranykor:  Sony, Hitachi, Matsushita (Panasonic National), stb. háztartási gépeket és fogyasztói elektronikát gyártó cégek sorra hozták ki a piacra a fuzzy logikát felhasználó  energiatakarékos,  kezelőbarát,  nagyintelligenciájú termékeiket

 legtipikusabbak (ma is igen elterjedtek):  mosógép  porszívó  légkondícionáló  fürdőszobai vízhőmérséklet szabályozó  rizsfőző  villanyborotva  fényképezőgép  videókamera

 ezek a termékek népszerűvé tették a fuzzy logikát, televízióban is szerepelt és az általános iskolások is megismerték az alapgondolatokat  1989-től Japán Nemzetközi Kereskedelmi Minisztérium (MIT, komoly kutatásokat finanszíroz) 50 japán magánvállalattal együtt létrehozta a Nemzetközi Fuzzy Technológiai Laboratórium Alapítványt, amely  6 éven át finanszírozta a Yokohamában működő Life kutatólaboratóriumot és a Tokiói Műszaki Egyetemen 1990-ben felállított Fuzzy Elméleti Tanszéket

 legérdekesebb eredményeik:  a fuzzy szabályalapú pénzügyi előrejelző rendszerek,  a vezető nélküli helikopter,  az együttműködő és kommunikáló robotegyüttesek,  statikus és dinamikus képfelismerési technikák  a Life Laboratorium tudományos vezetője: TERANO T. a Tokiói Műszaki Egyetem professzora

 a japán sikerek mellett (részben ezek hatására) más távol-keleti országokban is megindult az ipari és háztartási elektronikai berendezésekben való alkalmazás (Korea, Tajvan)  érdekes alkalmazási terület: gépjárműtechnika  több japán autógyártó vállalat mellett a Life projektben résztvevő Volkswagen cég is megjelent például a fuzzy logikán alapuló automatikus adaptív sebességváltóval

 USA:  innen indult az elmélet, de hosszú ideig csak az űrkutatás és a haditechnika mutatott komoly érdeklődést  a Sivatagi Vihar háborúban a Patriot rakéták éjszakai célpontazonosító rendszere fuzzy eljáráson alapul, amelyet a Missouri Egyetem fejlesztett ki, J. KELLER professzor vezetésével

 miközben a gyakorlati alkalmazások súlypontja Európából és Észak-Amerikából Kelet-Ázsiába tevődött, a legkomolyabb fuzzy matematika eredmények döntő többsége Európában született, s itt vannak ma is a leghíresebb fuzzy iskolák  Európában is vannak komoly alkalmazási eredmények  Németországban 1992 óta évente megrendezik a Dortmundi Fuzzy Napokat, itt bemutatják az alkalmazási eredményeket

 a Life projekt mintájára kisebb tartományi méretekben elindították az Észak-Rajna- Westfáliai Fuzzy Iniciatíva-t  ennek keretében létrejött a Dortmundi Fuzzy Demonstrációs Centrum (komoly nyereséggel működik) ▪ elsősorban műszaki és döntéstámogatási alkalmazásokra ▪ komoly iskolája van az aacheni Észak-Rajna Westfáliai Egyetemen

 sikeres alkalmazásoknak egy egészen más területe az orvosbiológia  a gyakorlatban is léteznek fuzzy elven működő, például ▪ az altatás vagy a dialízis irányítását végző ▪ diagnosztikai döntéstámogató rendszerek

 fontos területet jelentenek a pénzügyi alkalmazások:  biztonsági kockázatfelmérésben,  portfólióválasztásban,  pénzügyi előrejelző rendszerekben alkalmaznak fuzzy technikát  stb…

 a fuzzy logikát követve megjelentek más szubszimbolikus mesterséges intelligencia módszerek  mesterséges neurális hálózatok  evolúciós programok  genetikus algoritmusok  kaotikus rendszerek  stb gyakran kombinálódnak is és együttesen a lágy számítástudomány (Soft Computing) megnevezés alatt ismertek

 TERANO professzor az 1990-es évek elején négy fázisba osztotta a fuzzy elmélet alkalmazásait:  az első három: 1.az egyszerű fuzzy tudásbázisú rendszerek (pl. irányítási rendszerek) 2.a bonyolult fuzzy tudásbázisú rendszerek (pl. nem műsuaki szakértő rendszerek) 3.a fuzzy kommunikációt alkalmazó rendszerek (pl. intelligens kooperatív robotegyüttesek)  melyek mindegyike ma számos területen megvalósult, alkalmazásra került, vagy az alkalmazás küszöbén áll

 TERANO professzor az 1990-es évek elején négy fázisba osztotta a fuzzy elmélet alkalmazásait:  a negyedik fázis: 4.a komplex integrált intelligencia  amely ma még a „jövő története”, vagy ha úgy tetszik inkább a sci-fi témakörébe tartozik

HENRI POINCARÉ( , fr. matematikus és filózófus) paradoxonja: Képzeljünk el egy kupac homokot. Vegyünk el egyetlen homokszemet, majd kérdezzük meg, mi az, ami megmaradt. homokkupac-1 homokszem=homokkupac tehát: homokkupac=0 egy idő után: az „ez egy homokkupac” állítás sem nem igaz, sem nem hamis…

bizonytalan állítások, sejtések, részleges igazságot kifejező ismeretek kezelésére: a bizonytalanságkezelés fuzzy modellje (a fuzzy halmazokon értelmezett fuzzy logikán alapul)

 60-as évek közepén Zadeh dolgozta ki a fuzzy halmazelméletet a nyelvi fogalmakban rejlő pontatlanság matematikai kezelésére  Zadeh bevezette a parciális tagság fogalmát, annak kifejezésére, hogy bizonyos objektumok jobban beletartoznak egy halmazba, mások kevésbé

 ezt a parciális tagságot egy [0,1] intervallumbeli számmal jellemezte, ahol  az 1 azt jelenti, hogy az objektum benne van a halmazban,  a 0 pedig hogy nincs benne,  míg a kettő közötti érték azt a meggyőződésünket, hogy milyen mértékben tartozik az adott objektum a halmazhoz (nagyon, kissé, eléggé, meglehetősen)

Egy adott halmazhoz tartozás fokát fejezi ki egy [0,1] intervallumbeli számmal. A köznapi nyelvben kissé, eléggé, meglehetősen, nagyon, stb, módosítószavakkal fejezzük ki.

 egy objektum vagy eleme a halmaznak vagy sem, azaz  karakterisztikus függvénye (k(x)) csak 0 és 1 értékeket vehet fel  például: legyen A={2,3,5,7}  ekkor az A halmaz karakterisztikus függvénye: ▪ k(x)=1, ha x eleme A-nak: k(2)=k(3)=k(5)=k(7)=1 ▪ k(x)=0, egyébként

a színek U halmazán definiálhatjuk az S = { x: Zoli kedveli az x színt} halmazt a következő tagsági függvénnyel: 1, ha x eleme U kék 0,5, ha x eleme U fehér ds(x)= 0,2, ha x eleme U piros 0, egyébként szokásos megadás: S = {(kék, 1), (fehér, 0,5), (piros, 0,2)}

 a halmazelméleti műveletek kiterjesztése alapján az ugyanazon alaphalmazon értelmezett fuzzy halmazok  egyesítése,  metszete és  komplemense is fuzzy halmaz lesz az alábbi tagsági függvényekkel:

 legyenek A és B fuzzy halmazok az U alaphalmazon, da(x) és db(x) tagsági függvénnyel, ekkor:  A U B = {(x, max(da(x); db(x))) : x eleme U}  A ∩ B = {(x, min(da(x); db(x))) : x eleme U}  Ā = {(x; (1-da(x))) : x eleme U}

a szokásos halmazműveleteken túl a nyelvi módosítóknak megfelelő műveleteket is definiálhatunk (fuzzy műveletek):  dilatáció (többé-kevésbé) ▪ növeli a tagsági függvény értékét  koncentráció (nagyon) ▪ csökkenti a tagsági függvény értékét  intenzitás (meglehetősen, eléggé) ▪ 0,5 alatti értékre csökkenti, 0,5 felettire növeli a tagsági függvény értékét

 DIL(A) = {(x, da 1/2 (x)): x eleme U}  CON(A) = {(x, da 2 (x)): x eleme U}  INT(A) = {(x, i(x)): x eleme U}, ahol  i(x) = 2* da 2 (x), ha 0<= da(x)<= 0,5  i(x) = 1-2*(1-da(x)) 2, ha 0,5<= da(x)<= 1

Tekintsünk egy nulladrendű logikai nyelvet, amelyben a propozicionális betűk értéküket a [0,1] intervallumból vehetik fel.

A formulák logikai értékét a következőképpen értelmezzük:  implikáció:  |A ⊃ B| = 1, ha |A| ≤ |B|  |A ⊃ B| = 1 - |A| + |B|, egyébként  negáció:  |¬A| = 1 - |A|

 konjunkció:  |A ∧ B| = min{ |A|, |B|}  diszjunkció:  |A ∨ B| = max{ |A|, |B|}

 Lukasiewicz konjunkció:  |A & B| = max{ |A|+|B|-1, 0}  Lukasiewicz diszjunkció:  |A ∨ B| = min{ |A|+|B|, 1}

 ekvivalencia: (a két különböző konjunkció nem eredményez két különböző ekvivalenciát)  |A ≡ B| = |(A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A)| = = 1 - max{ |A|,|B|} + min{|A|,|B|}  |A ≡ B| = |(A ⊃ B) & (B ⊃ A)| = = 1 - max{ |A|,|B|} + min{|A|,|B|} tehát |A ≡ B| = |A ≡ B|

 a definíciók korrektek a klasszikus logikára nézve  a logikai összekötőjelekhez tartozó fuzzy műveletek folytonosak a [0,1] intervallum felett

 például a |B|=0,5 esetén az |A ⊃ B|-t és a |¬A|-t tekintve

 teljesülnek:  |A| ≤ |B| pontosan akkor, ha |A ⊃ B| = 1  |B| ≤ |A| pontosan akkor, ha |A ⊃ B| = = 1 - |A|+|B|  |A| = |B| pontosan akkor, ha |A ≡ B| = 1  ha |A| = 1 és |A ⊃ B| = 1, akkor |B| = 1  |A| ≤ |B| pontosan akkor, ha |¬B| ≤ |¬A|

 logikai törvény: ha minden interpretációban a formula értéke 1  minden Lukasiewicz logikai törvény a klasszikus logikában is logikai törvény, ez fordítva nem igaz

 van a klasszikus logikában logikai törvény, amely a Lukasiewicz fuzzy logikában nem logikai törvény  például: A ∨ ¬Avagy ¬(A ∧ ¬A)

 ugyanakkor a Lukasiewicz diszjunkciót és konjunkciót alkalmazva  A ∨ ¬Avagy ¬(A & ¬A) logikai törvények a Lukasiewicz fuzzy logikában | A ∨ ¬A | = min{|A|+1-|A|,1} = 1 | ¬(A & ¬A) | = 1- max{|A|+1-|A|-1,0} = 1

 helyes és teljes kalkulust is sikerült készíteni a Lukasiewicz fuzzy logikához négy axiómát és levezetési szabályként a modus ponenst alkalmazva: 1. A ⊃ (B ⊃ A) 2. (A ⊃ B) ⊃ ((B ⊃ C) ⊃ (A ⊃ C)) 3. (¬A ⊃ ¬B) ⊃ (B ⊃ A) 4. ((A ⊃ B) ⊃ B) ⊃ ((B ⊃ A) ⊃ A) Modus ponens: (A, A ⊃ B) B A dedukció tétel nem igaz a Lukasiewicz fuzzy logikában.

 a propozicionális betűk a [0,1] intervallumból vehetik fel értéküket  a formulák értékének definiálása eltér a Lukasiewicz-féle meghatározástól

 implikáció:  |A ⊃ B| = 1, ha |A| ≤ |B|  |A ⊃ B| = |B|, egyébként  negáció:  |¬A| = 1, ha |A| = 0  |¬A| = 0, egyébként

 konjunkció:  |A ∧ B| = min{ |A|, |B|}  diszjunkció:  |A ∨ B| = max{ |A|, |B|}

 a definíciók korrektek a klasszikus logikára nézve  az implikációhoz és a negációhoz tartozó fuzzy műveletek nem folytonosak a [0,1] intervallum felett

 például a |B|=0,5 esetén az |A ⊃ B|-t és a |¬A|-t tekintve

 logikai törvény: ha minden interpretációban a formula értéke 1  minden Gödel logikai törvény a klasszikus logikában is logikai törvény, ez fordítva nem igaz

 van a klasszikus logikában logikai törvény, amely a Gödel fuzzy logikában nem logikai törvény  például: A ∨ ¬Avagy ¬¬A ⊃ A ▪ |¬¬A ⊃ A| = 1ha |A|=0 ▪ |¬¬A ⊃ A| = 1ha |A|=1 ▪ |¬¬A ⊃ A| = |A|ha 0 < |A| < 1 ▪ |A ⊃ ¬¬A| = 1, hiszen |¬¬A|=1, ha |A| ≠ 0 és |¬¬A|=0, ha |A|=0, tehát |A| ≤ |¬¬A|

 itt is készíthetünk helyes és teljes kalkulust, sőt a Gödel-féle fuzzy logikában igaz a dedukció tétel is

a fuzzy modellekre alapozott alkalmazás kidolgozásakor a szabályok kidolgozása mellett meg kell adni  a fuzzy halmazokra való leképezés módját, a fuzzifikálást  olyan transzformáció, amely a valós adatokból fuzzy halmazokat és tagsági függvényeket generál

a fuzzy modellekre alapozott alkalmazás kidolgozásakor a szabályok kidolgozása mellett meg kell adni  az eredményként kapott halmazok visszaalakításának módját, a defuzzifikálást  a különböző forrásokból származó következményeket reprezentáló, egyesített fuzzy halmazokból meghatározza az eredményt

 a fuzzy modell alkalmazásainak száma egyre nő  kiterjedten alkalmazzák a bizonytalanság kezelésére az alábbi területeken:  orvosi diagnózis  információ visszakeresés  folyamatvezérlés  hibafelderítés

 olyan rendszereknél is sikeresen alkalmazható, ahol folyamatos bemenettel és nemlineáris kimenettel kell számolni  alapvető jelentősége van a térbeli következtetések és nemlineáris folyamatok modellezésében  bizonyos társadalmi és közgazdasági problémák megoldására is alkalmazható

 Szemlélete közel áll a napi valóságszemléletünkhöz. (nem kell számszerűsíteni bizonyos mértékeket, helyette használhatjuk a megszokott nyelvi kifejezéseket)  A rendszerleírás egyszerűbb, mint más numerikus modell esetén.

 Előnyösen alkalmazható hiányos adatokkal dolgozó, bonyolult feladatok esetén.  A fuzzy bizonyosságokkal könnyű számolni.

 Elmélete még nem teljesen megalapozott. (gyakran okoz nehézséget a tagsági függvény megadása, amely szubjektív)  A kombinációs függvények nem mindig működnek a természetes elvárásaink szerint. (pl: egymást kizáró halmazok együttes bizonyossága a két halmaz bizonyosságának minimuma és nem nulla)

 A valószínűségi mérték jól definiált események előfordulásának bizonytalanságát fejezi ki.  A heurisztikus modellek bizonyossági tényezője azt fejezi ki, hogy mi magunk mennyire vagyunk biztosak abban, hogy egy adott objektum teljesen beletartozik egy adott halmazba.

 A fuzzy logika rosszul definiált események előfordulásának mértékével foglalkozik. Azt fejezi ki, hogy egy adott objektum milyen mértékben tartozik bele egy halmazba.

[1]: Sántáné Tóth Edit: Tudásalapú Technológia Szakértő Rendszerek [2]: [3]: Kóczy, Tikk: Fuzzy rendszerek [4]: Bognár K.: Tudásalapú rendszerek és technológiák