FONTOS A PONTOSSÁG Miklós Ildikó miklosildiko@komal.hu Nagy Gyula nagygyula@komal.hu Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok Nemzetközi GeoGebra Konferencia és Workshop Miskolc 2011. május 20–22.

KöMaL, 2008. január B. 4061. Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Bizonyítsuk be, hogy AB+AC=PQ+PR. Megoldás: http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=feladat&f=B4061&l=hu

Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Próbálkozzunk! A, B, C pont ABC háromszög BC felezőpontja P BAC szög felezője

R pont a szögfelezőn R tükörképe A-ra: Q Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. R pont a szögfelezőn R tükörképe A-ra: Q

BC egyenes felezi a QPR szöget? Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. BC egyenes felezi a QPR szöget?

RPQ szög felezője RPB és BPQ Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. RPQ szög felezője RPB és BPQ

Próbálkozzunk! Pontok mozgatása Szögek nem egyenlők! Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Próbálkozzunk! Pontok mozgatása Szögek nem egyenlők!

Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Szerkesszünk! A, B, C pont ABC háromszög BC felezőpontja P BAC szög felezője

Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Segédtétel ABC köré írt kör BCA szög felezője AB szakaszfelező merőlegese E metszéspont a körön van (AB húr felezőpontja)

Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. PQR köré írt körön a T pont: P-ben merőleges CB-re A-ban merőleges BAC szögfelezőjére

Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. Segédtétel alapján a PQR háromszögben: BC egyenes P-nél szögfelező AT a QR szakaszfelező merőlegese K metszéspont rajta van a körülírt körön

PTK köré írt kör a PQR háromszög körülírt köre Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. PTK köré írt kör a PQR háromszög körülírt köre

körök metszéspontjai: R és Q PQR háromszög Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. körök metszéspontjai: R és Q PQR háromszög

BC valóban felezi QPR-t RPB és BPQ RPB = BPQ  Adott az ABC és PQR háromszög úgy, hogy az A pont felezi a QR, a P pont a BC oldalt. A QR egyenes felezi a BAC, a BC egyenes a QPR szöget. BC valóban felezi QPR-t RPB és BPQ RPB = BPQ  A felezi QR-t QA és AR hossza QA = AR

Köszönöm a figyelmet! Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok www.komal.hu Miklós Ildikó miklosildiko@komal.hu Nagy Gyula nagygyula@komal.hu