KAMAT ÉS JÁRADÉK Schiberna Endre

A kamat jelentése A kamat a tőke használatának az ára, a pénztőkének az értékszaporodása. Kifejezi az idő szerepét a gazdasági folyamatokban, és ezért arra használható, hogy egy pénzösszeg értékét átszámoljuk különböző időpontokra. Előérték Kezdőérték Jelenérték (PV) IDŐ KAMATLÁB Végérték Jövőérték (FV)

A kamat alapjellemzői A kamatszámításhoz szükség van: a kamatozó tőkeértékre (PV vagy FV), a futamidőre (n), és a kamatlábra (p). A kamatláb ha máshogyan nem jelölik, akkor mindig egy évre szól, azaz évente van kamatfizetés. Egy évnél rövidebb időszakra a kamatot arányosítva kapjuk meg. Tehát 1 hónapra a kamat p/12, egy napra p/360.

Egyszerű kamatszámítás Egyszerű kamatszámításnak nevezzük, ha egy tőkeértéknek a kamatát olyan feltétel mellett számoljuk ki, amikor a futamidő alatt a kamatozó tőkeérték nem változik. Ilyen eset például, ha a futamidő 1 év. Ekkor az összefüggés az alábbi: FV=PV * (1+p) ahol a kamat mennyisége: PV*p Ha több éven keresztül a kamatozó tőke változatlan, az évente keletkezett kamat pedig nem kamatozik tovább, akkor a futamidő alatt összegyűlt kamat: PV*p*n, tehát FV=PV * (1+p*n)

Példák egyszerű kamatszámításra Megtakarításunkat, mely 100 000 Ft, 1 évre bankbetétbe helyezzük, 5% kamat mellett. Mennyi lesz a megtakarításunk értéke a futamidő végén? 100 000 * 1,05 = 105 000 Ft Egy másik 100 000 Ft megtakarításunkat csak 4 hónapra helyezünk bankbetétbe, azonos kamatláb mellett. Mennyi lesz a megtakarításunk értéke? 100 000 * (1 + 0,05 * (4/12)) = 101 667 Ft Ha ez utóbbit háromszor, azaz egy éven keresztül megismételjük, és a kamatozó tőke mindig csak 100 000 Ft marad, akkor ugyan oda jutunk, mint az első esetben.

Kamatos kamat Kamatos kamatról akkor beszélünk, ha a futamidő végén fizetett kamat a tőkéhez hozzáadódik, és a következő futamidő alatt már mint kamatozó tőke szerepel. Ezt más néven úgy nevezzük, hogy a kamat tőkésedik. Időpont Egyszerű kamat Kamatos kamat 0. év PV PV 1. év FV1=PV+PV*p = PV * (1+p) FV1= PV+PV*p = PV * (1+p) 2. év FV2=FV1+PV*p = PV*(1+2p) FV2=FV1*(1+p) = PV * (1+p)2 t. év FVn=PV * (1+n*p) FVn=FVn-1*(1+p)=PV * (1+p)n

Kamatos kamat jellemzői A kamatos kamat összefüggése tehát: FV=PV * (1+p)n (1+p)n tőkésítési vagy prolongálási tényező a reciproka, az 1/(1+p)n a diszkontálási tényező

Példák kamatos kamatszámításra Mekkora az év végi követelésünk, ha 100 000 Ft-ot egy évre bankbetétbe helyezünk, egy éves futamidőre, és mennyi, ha ugyanekkora összeget helyezünk el, de 1 hónapos futamidőkre 1 évig? A kamat mindkét esetben 5%. 1) egyszerű kamatozás esetén (a korábbiak alapján): FV=100 000 * 1,05 = 105 000 Ft 2) kamatos kamat esetén: FV1hó után =100 000 (1+0,05/12) FV= 100 000 (1+0,05/12)12= 105 116 Ft A második esetben mekkora kamat mellett érhettük volna el ugyanezt az év végi tőkeértéket 1 éves futamidő mellett? (1+0,05/12)12= 1,05116 => 5,116%

Példák kamatos kamatszámításra Mennyi idő alatt duplázhatjuk meg tőkénket 1%,5%,10%, és 100% kamatláb mellett? FV=PV * (1+p)n figyelembe vételével FV/PV = 2 feltételnek kell megfelelni, tehát megoldandó az (1+p)n = 2 egyenlet n-re n = log2 / log(1+p) p=1% n=69,7 év p=5% n=14,2 év p=10% n= 7,3 év p=100% n=1 év (hiszen a 100% kamat duplázódást jelent)

Példák kamatos kamatra Mekkora átlagos tőkenövekményt értünk el az elmúlt tíz év alatt, ha 1996 év elején 100 000 Ft-tal indultunk, 2000-ben év végén 135 432 Ft-tal rendelkeztünk, 2006 végén pedig 143 926 Ft-tal? FV=PV*(1+p)n alapján FV10=143 926 Ft; PV=100 000 Ft; n=10 év p=3,7% Mekkora a „reál” tőkenövekmény, ha a kamat 5%, miközben az infláció 2%? reál p = (1+p)/(1+i) => 2,9% megközelítőleg (p-i)

Példák kamatos kamatra A szomszéd nem tudja kifizetni a kölcsönkért tartozását, ami 1 000 eFt, de azt ígéri, hogy a vadásztársaságnál rá kisorsolt szarvasbika elejtési lehetőséget – értéke kb. 1 000 eFt – ránk átruházza. Ennek esedékessége kb. 2 év. Pénzügyileg mekkora összeg térül meg, ha a számunkra elérhető legjobb befektetési alternatíva ezen az időtávon 5%-os hozamú?

A kamatszámítás lényege A kamatszámítás lényege, hogy segítségével pénzösszeg, vagy tőke értékét számolhatjuk át különböző időpontok között.

Járadékszámítás A járadékok szabályos időközökben esedékes, azonos nagyságú pénzösszegek, amelyek valamilyen tőkeérték hozamaként keletkeznek. A kifizetésekre a tőke kamatai és esetenként maga a tőke nyújt fedezetet. Ha a kifizetések nem haladják meg a kamatot, akkor a tőke növekszik, ha igen, akkor egy idő után elfogy. Hasonló jellegű, de ellentétes pénzáramlás a törlesztés. Az egyes összegeket járadéktagnak, vagy törlesztő részletnek nevezzük. (csak nézőpont kérdése) Az egyes összegek esedékessége közötti idő a járadéki időszak. A járadékszámítás feladata, hogy meghatározza a futamidő alatti járadékok valamely időpontra átszámított értékét. Ez lehet PV vagy FV.

Járadékok alapesetei

Éves időleges járadék ... (1+p)n - 1 (1+p)n - 1 FV=----------------* R 0. 1. 2. n-1 n R PV1 PV2 PVn-1 PVn (1+p)n ΣPVi = PV 1 (1+p)n-1 Olyan járadéksorozat, amelyben a járadéktagok kifizetésével a kezdő tőke (PV) a futamidő végére elfogy. Ez egy mértani sor, amelynek az összegző képletének felhasználásával és egyszerűsítésekkel: (1+p)n - 1 FV=----------------* R p (1+p)n - 1 PV=----------------* R p * (1+p)n (1+p)n 1 (1+p)n

Példák éves időleges járadékra Egy világkörüli útra gyűjtünk, ami 3 millió Ft. Évente 500 000 Ft-ot félre tudunk tenni, 9% kamat mellett. Legalább hány évig kell gyűjteni? Ha nem lennének kamatok, akkor ez 6 évbe kerülne, kamatokkal azonban csaknem 5 év is elég.

Példák éves időleges járadékra Egy vadászterület tulajdonosi közössége – tanulva a korábbi évek tapasztalataiból – az új bérleti szerződéseket olyan feltétellel szeretné megkötni, hogy a felek által elfogadott 380 Ft/ha éves bérleti díjat egy összegben kéri a szerződéskötéskor. A tulajdonosok által elfogadható kamatláb: 6%. Mennyi lesz az egy összegben fizetendő bérleti díj hektáronként? PV= 2 797 Ft/ha

Példák éves időleges járadékra Egy erdőterület évente átlagosan hektáronként 1000 Ft tiszta jövedelmet szolgáltat tulajdonosának. Mekkora egyösszegű díj egyenértékű az elkövetkező 10 év várható jövedelmeivel hektáronként MOST, ha a mértékadó kamatláb 5%? Több vagy kevesebb? PV=7 722 Ft/ha

Példák éves időleges járadékra 5 millió Ft lakáscélú kölcsönt veszünk fel 10 évre 7,5% kamat mellett. Mennyi lesz a havi törlesztő részlet? A havi törlesztő részlethez ki kell számolni a havi kamatot: 7,5%/12= 0,625% Ezzel a kamattal és a 120 havi futamidővel ki kell számolni az R törlesztő részletet a PV=5 millió Ft ismeretében. R=59 350 Ft Ha ez egy deviza alapú hitel, és az árfolyam 10%-ot esik, azaz ezután nem 59 350, hanem 65 285 Ft a törlesztő részlet, akkor ez visszaszámolva mekkora kamatot jelent? (iteráció) ..\..\termeszetvedelem\kamat.xls Ekkor a fizetett kamat értéke 9,7%, tehát a törlesztő részlet 10%-os változása nem jelenti a kamat 10%pontos változását, és fordítva sem!

Példák éves időleges járadékra Mekkora lesz annak a hitelnek a törlesztő részlete, amelyet a vadásztársaság a vadászterület bérletének indulásakor vesz fel a vadászati berendezések felépítésére. Összege 3 millió Ft, kamata 8,5%. Havonta kell törleszteni 10 évig, a bérleti szerződés végéig. R=37,2 eFt

Éves örökös járadék Az időleges speciális esete, amikor n=∞ PV az előbbi lim n→∞ határhelyzetbe hozásával adódik. (1+p)n - 1 PV=R*---------------- p * (1+p)n (1+p)n 1 = R*------------- - --------------- p * (1+p)n p * (1+p)n 1 PV=R*------ p FV: nem értelmezhető A fentiek alapján R nem lehet nagyobb, mint az éves kamat, máskülönben az indulótőke (PV) elfogyna valamikor.

Példák éves örökös járadékra Egy barátunk kölcsön kért 10 000 Ft-ot, és az örök barátság jegyében megállapodunk, hogy minden évben fizetni fogja évente egy alkalommal 500 Ft értékű kisfröccsözéssel. Mekkora pénzügyi érték térül meg 2% kamatláb mellett, ha 5,15, 25, 35, év múlva felejtjük el a dolgot, és mekkora összeg megtérülésére számíthatunk, ha felmenőink is megtartják e szokást? 5 2 357 Ft 15 6 425 Ft 25 9 762 Ft 35 12 499 Ft Örök barátság esetén 25 000 Ft

Korszaki időleges járadék Abban az éves járadéktól, hogy nem minden évben van kifizetés, emiatt a képletek levezetésénél a több évente jelentkező R járadéktagokat át kell számolni az éves időleges járadék képletével éves járadéktagokra, és ezt az új járadéktagot kell behelyettesíteni a korábbi képletekbe. (1+p)m*n - 1 FV=R*---------------- (1+p)m-1 (1+p)n*m (1+p)n*m - 1 PV= R*------------------------ ((1+p)m-1) * (1+p)n*m 1 (1+p)n*m

Példák korszaki időleges járadékra Egy vadásztársaság új, vadaskertet épített. A berendezések javítási és pótlási költségeire a VT tartalékot szeretne elkülöníteni. Mekkora összeget kell félretenni, ha várhatóan a létesítést követő 7. évben kell először javításra pénzt fordítani, és azt követően minden harmadik évben lesz csak szükség nagyobb ráfordításokra. Ezek összege kb. 200 000 Ft. A vadaskert élettartama 20 év, ezt követően teljesen újat kell építeni. Mekkora tartalékot kell képezni, hogy 5%-os kamat mellett a tartalékolt pénz elegendő legyen az egész élettartam alatt felmerülő javításokra. PV4 = 658,5 eFt PV0 = 541,8 eFt FV19 = 1 369,0 eFt

Példák korszaki időleges járadékra Egy díszítőgally termelésére szolgáló ültetvény 5 éves korában szolgáltat először hozamot, majd azt követően minden második évben 100 eFt értékben, egészen 15 éves koráig. Mekkora az ültetvény hozamainak értéke a létesítés időpontjában, ha a mértékadó kamatláb 5%? PV3 =432,5 eFt PV0 =373,6 eFt Vagy PV15 =776,7 eFt

Korszaki örökös járadék Ugyanúgy járunk el, mint az éves örökös járadék esetében, de itt a korszakra eső kamatnak kell fedeznie a járadéktagot. 1 PV=R*---------- (1+p)m-1 FV: nem értelmezhető

Példák korszaki örökös járadékra Hasonlítsuk össze 1ha területű szántó, tölgy erdő és akác erdő jelenértékét! Ismert, hogy a szántó évente 20eFt, egy tölgy erdő 100 évente 2millió Ft, egy akác erdő 35 évente 400ezer Ft tiszta jövedelmet hajt. A kamat 3%. Mivel feltételezzük a jelenlegi művelés tartós (örökös) fennmaradását, az éves, illetve a korszaki örökös járadék képleteit kell használni. szántó: 20eFt / 0,03 = 667 eFt/ha tölgy erdő: 2000eFt / (1,03100-1) = 110 eFt/ha akác erdő: 400eFt / (1,0335-1) = 221 eFt/ha

A járadék fajtája Végértéke Kezdőértéke Időleges Éves Korszaki Örökös (1+p)n - 1 FV=----------------* R p PV= ----------------* R p * (1+p)n Korszaki (1+p)mn - 1 (1+p)m-1 (1+p)nm - 1 PV= -----------------------* R ((1+p)m-1) * (1+p)nm Örökös 1 PV= -----* R korszaki

A járadékszámítás lényege A járadékszámítás lényege, hogy segítségével a járadékok értékét határozhatjuk meg a futamidő elejére, vagy végére. 1 Df = -------- (1+p)n PV FV p * (1+p)n Af = ----------------- (1+p%)n - 1 (1+p)n- 1 1 ----------------- = --------- p% Af * Df R