Térbeli evolúciós mátrixjátékok N játékos egy rácson helyezkedik el (periodikus határfeltétel) Az x helyen tartózkodó játékos lehetséges (tiszta) stratégiái: Az x játékos nyereménye a szomszédoktól származik, azaz párkölcsönhatások összege: Feltételezzük: a stratégiák és a nyereménymátrixok függetlenek a helytől

Evolúciós szabályok ismétlődő térbeli játékoknál A játékosok módosíthatják a stratégiájukat Az új stratégia kiválasztása nyereményfüggő Sokféle szabály létezik: szinkronizált vagy véletlen sorrend a frissítésben determinisztikus vagy zajos játékosok intelligenciája (memóriája) is befolyásolja az eredményt lokális vagy globális, etc. Testvéries (partnership) játékoknál (A=A+), ha az evolúciós szabály „Glauber”-típusú, akkor a stratégiaeloszlás a Boltzmann eloszláshoz fejlődik és érvényes a termodinamikai leírás. Az x játékos stratégiaváltásának valószínűsége:

Evolúciós Fogolydilemma játék rácson Két stratégia: C (önzetlen, feltétlen együttműködő) D (önző, megrögzött élősködő) Játék a legközelebbi szomszédokkal, a nyereményt összegezzük Átskálázott nyereménymátrix: Determinisztikus és szinkronizált evolúciós szabály sejtautomata modell, (S=0) Nowak és May, 1993 első- és másodszomszéd, ill. önkölcsönhatás (z=9) diszkrét idő: t=0, 1, 2, … t időpontban ismerjük a játékosok nyereményét (függ a konfigurációtól) t+1 időpontban minden játékos átveszi a legsikeresebb szomszéd stratégiáját Szimulációk Egy D a C-tengerben Véletlen kezdőfeltétel b=1.81 b=1.85 b=1.1 b=1.31 b=1.56

Szimulációs eredmények C sűrűsége: ρ önkölcsönhatással illetve önkölcsönhatás nélkül (az önkölcsönhatás C-nek kedvez) Függés a kezdeti C sűrűségtől (b=1.61) b-függés [ρ(t=0)=1/2] Esetlegesség (véges-méret hatás) Töréspontok b-ben: Házi feladat

Nowak és May sejtautomata modelljének üzenetei: - C fennmaradhat, mert az egyenes határvonalak mentén C invázió jelenik meg. C kolóniák kialakulása segíti C fennmaradását. - Az érdes határvonalak a D inváziónak kedveznek. - Véletlen kezdőállapotból indulva C és D együtt is létezhet - gyakori a kezdőfeltételtől függő befagyott, ill. határciklus állapot. Hiányosságok és nehézségek: - mesterkélt mintázatok, mint minden sejtautomata modellben S. Wolfram négyféle tipikus viselkedést különböztet meg - homogén állapot - befagyott és/vagy oszcilláló (határciklus) állapot - véletlenszerű viselkedés - folytonos változás hosszú-távú korrelációkkal - kis zaj is jelentősen módosítja a kialakult állapotot - analitikusan nehezebb kezelni

Pár-összehasonlító sztochasztikus evolúciós (utánzási) szabály - véletlenül kiválasztunk egy első-szomszéd párt: (x,y) - mindkettőnél meghatározzuk az egyéni nyereményt: Ux, Uy - x átveszi y stratégiáját egy nyereménykülönbségtől függő valószínűséggel: ahol T a bizonytalanságok (zaj) mértékét jellemzi. A zaj forrása: változó nyeremény, döntési hibák, szabad akarat, stb. - ez a dinamikai szabály abszorbáló állapotok kialakulásához vezet, mert a homogén állapotban nincs változás - a rendszer véletlen kezdőállapotból indul és tart egy stacionáris állapothoz (független a kezdő állapottól) - a stacionáris állapotot jellemezhetjük: stratégiák koncentrációjával párkorrelációkkal korrelációs hossz, stb.

Átlagtér közelítés (véletlen párösszehasonlító dinamikus szabálynál) A kiválasztott x és y játékos véletlenül választ k szomszédot az N játékosból (N→∞) Stratégiaátadás akkor lehetséges, ha az egyik C (ρ vsz-gel), a másik pedig D [(1-ρ) vsz-gel] C és D játékos várható (átlagos) nyereménye, ha feltételezzük, hogy c=0: Pár-összehasonlító dinamikai szabály esetén ρ-ra a következő diff. egy. származtatható: Azaz ρ→0, mivel UD>UC (b>1) A stacionáris megoldás (β értékétől függetlenül): Véletlenül változó vagy „teljes” kapcsolatrendszer esetén az utánzás nem képes fenntartani az együttműködést a Fogolydilemma helyzetekben (globalizáció káros hatása).

Replikátor dinamika társadalmi dilemmáknál: Az átlagtér közelítés egyenlete általánosan (tetszőleges S és T esetén) is tanulmányozható: Négyféle megoldás: 1) harmony: ρ=1; 2) hawk-dove: 0 < ρ < 1 3) stag hunt: ρ=0 vagy 1 4) prisoner’s dilemma: ρ=0 Nash egyensúly: stacionáris megoldás:

Monte Carlo szimuláció a négyzetrácson (z=4) Háromféle együttlétezés: 1. „magányos” D-k egyesülő-elágazó bolyongása 2. ρ≈0.5 3. C csoportok egyesülő-elágazó bolyongása Átlagtér közelítés kiterjesztése: pontozott: párközelítés; szaggatott: 4-pontos közelítés; folytonos: 9-pontos közelítés b=0.95 b=1.01 b=1.035 Számszerű eredmény, ha K=0.4 Két kritikus átmenet (bc1 ill bc1-nél) C és D kihalása az ún. „irányított perkolációs” univerzalitási osztályba tartozik Divergáló fluktuáció, korrelációs távolság, és idő. Súlyos nehézségek a szimulálásnál.

Szimulációs eredmények összehasonlítása z=8 , azaz első- és másodszomszéd kh. (önkölcsönhatás nélkül) - NM sejtautomata ( □ ) - véletlen pár-összehasonlítás T=0.03-nál (♦) NM sejtautomata lépcsős viselkedés magasabb ρ és bc2 Véletlen pár-összehasonlítás folytonosan változó és alacsonyabb ρ illetve bc2 A sztochasztikusság erősen csökkenti C életképességét.

Állapotábra a négyzetrácson Homogén C, homogén D, vagy C+D állapot a zaj (K) és a kísértés (b vagy T) függvényében MC szimuláció eredménye (□) Létezik optimális „hőmérséklet” Párközelítés: nem látható (magasan feljebb) 4-pontos közelítés (szaggatott vonal): 9-pontos közelítés. (folytonos vonal)

Példák különböző kapcsolatrendszerekre Reguláris szerkezetek 1.) négyzetrács 2.) kagomé rács, etc. 3.) Bethe rács (végtelenül nagy Caley-fa) 4.) reguláris véletlen gráf 5.) reguláris kisvilág modell 6.) reguláris Watts-Strogatz modell Nem-reguláris szerkezetek 7.) higított rács 8,)Erdős-Rényi véletlen gráf 9.) Watts-Strogatz modellek 10.) skálamentes gráfok Albert-Barabási hálózat Dorogovtsev-Mendes-Samukhin hálózat

D Állapotábrák összehasonlítása (z=4) Szimuláció: □ : négyzetrács Δ : kagome rács + : véletlen reguláris gráf (Bethe rács) ◊ : 4-pontos klikkek négyzetrácsa ▼ : RRG2 D RRG2 Kétféle állapotábra Mi okozza a különbözőséget? Nagy zaj esetén hátrány a térbeliség (?) C+D

C stratégiák terjedése átlapoló háromszögek közvetítésével C (○) triplett D (●) tengerben (stabil társulás, ha K→0) Mindegyik C-nél UC=2 Szomszédos D-nél UD=b Távolabbi D-nél UD=0 Ez a szerkezet segíti C terjedését az átlapoló háromszögeken keresztül. Ugyanez a mechanizmus nem működik a négyzetrácson C kvartett esetén Mindegyik C-nél UC=2 Szomszédos D-nél UD=b Távolabbi D-nél UD=0 A C négyszög szétesik Az MC szimulációk szerint C terjedését az átlapoló háromszögek akkor is segítik, ha az átlapoló háromszögek két közös ponttal rendelkeznek (pl. fck, tck). Kivétel: ha az átlapoló háromszögek egydimenziós szerkezetet alkotnak.

Néhány tipikus K-b állapotábra rácsokon (1) Négyzetrács z=8 (kagome) (2) Négyzetrács z=4 bc1 és bc2 → 1, ha K → 0 vagy ∞ (3) Inhomogenitás az utánzásnál bc1 és bc2 → b0>1, ha K → ∞ (4) Egydimenziós lánc, z=4 Rácsok (1):négyzet (z=8) (2) négyzet (z=4) háromszög (z=6) Bethe (vagy VRG, ha N→∞) tércentrált köbös egyszerű köbös (z=6) kagome 4-pontos klikkek négyzetrácsa RRG2 hatszög (z=3)

Szociális dilemma négyzetrácson rácson utánzásos dinamikánál (z=4) A nyereménymátrix paraméterezése: Szimulációs eredmények, ha K=0.25: C gyakorisága: ρ Abszorbáló állapotok: ρ=0 vagy 1 DP átmenet, ha ρ → 0 vagy 1 Elsőrendű átmenet a Szarvasvadászat (SH) tartományban. Más rácson jobban érvényesül a térbeliség.

Házi feladatok 7.1. Határozzuk meg a töréspontok helyzetét a b-tengelyen a NM sejtautomata modellben, ha nincs önkölcsönhatás! 7.2. Milyen időfüggést követve tűnik el a C stratégia sűrűsége az átlagtér közelítés szerint? (Oldjuk meg a 7. oldalon látható mozgásegyenletet!) 7.3. Hogyan változik az átlagtér közelítés mozgásegyenlete (7. old.), ha figyelembe vesszük, hogy az utánzásban érintett játékosok az egyik játékot egymással játszották? Hogyan módosul az eredeti megoldás, ha k szomszédot tételezünk fel?