Preferenciák, rendezések, reprezentálhatóság

Preferencia relációk x y akkor és csak akkor áll fenn, ha az "x legalább olyan jó-e, mint y ?" kérdésre a válasz igen. Az x y reláció esetében azt mondjuk, hogy x preferált y-hoz képest ( P ) . Legyen az x y reláció a kiindulás. Ekkor könnyen belátható, hogy az (x,y) elempárra az alábbi négy, egymást kölcsönösen kizáró eset lehetséges:

(1)  x R y és y R x ), amelyet az x ~ y módon jelölünk és azt mondjuk, hogy az x és y indifferensek ( I ) . (2)  NEM(x R y) és NEM(y R x ), amelyet x ? y módon jelölünk, és azt mondjuk, hogy x és y nem összehasonlítható ( J ) . (3)  x y és NEM(y x ) , amelyet x y módon jelölünk és azt mondjuk, hogy x szigorúan preferált y-hoz képest ( S ) . (4)  NEM(x y) és y x , azaz y szigorúan preferált x-hez képest. (Az x y és y x jelölések egyenértékűek.)

Tranzitivitás: egy X halmazon értelmezett R bináris reláció tranzitív, ha xRy és yRz teljesüléséből következik xRz, azaz: xRy és yRz  xRz (minden X-beli x,y,z elemre). Negatív tranzitivitás: NEM(xRy) és NEM(yRz)  NEM(xRz) Reflexivitás: xRx Irreflexivitás: NEM(xRx) Szimmetria: xRy  yRx Aszimmetria: xRy  NEM(yRx) Antiszimmetria: xRy és yRx  x = y Teljesség: xRy és/vagy yRx teljesül minden x,y  X -re.

A definíciókból következően (1/2): Az aszimmetrikus bináris reláció irreflexív. Egy irreflexív és tranzitív bináris reláció aszimmetrikus. Az R bináris reláció negatív tranzitív akkor és csak akkor, ha [ aRb  aRc vagy cRb ].

A definíciókból következően (2/2):

Definíció: Egy tranzitív relációt rendezésnek nevezünk. Attól függően, hogy a tranzitivitás mellett milyen tulajdonságokat teszünk fel még a relációra, a rendezések különböző típusai adódnak. Számunkra a három legfontosabb típus: gyenge rendezés: reflexív és teljes; lineáris rendezés: antiszimmetrikus, reflexív és teljes; szigorú lineáris rendezés: irreflexív és teljes.

a v v Kérdés: milyen feltételek mellett lehet értékelő függvénnyel reprezentálni a preferenciákat (a rendezést)?

Az értékelő függvény létezése Tétel: Legyen gyenge rendezés az X halmazon, melynek megszámlálhatóan sok indifferenciaosztálya van. Ekkor létezik olyan u: X → függvény, amelyre minden x,y X-re. v v