Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék

Lineáris egyenletrendszerek Egyismeretlenes egyenletrendszerek megoldása:

Lineáris egyenletrendszerek Példa: Az édesanya jelenleg 27 évvel idősebb a lányánál. A lány életkora 6 év múlva az édesanya jelenlegi korának az ötöde lesz. Hány éves a lány? Hol van az édesapa most?

Lineáris egyenletrendszerek Definíció: Az alábbi egyenletek halmazát lineáris többismeretlenes egyenletrendszernek nevezzük: szimbólumok az együtthatók, valós számok szimbólumok az ismeretlenek szimbólumok valós számok

Lineáris egyenletrendszerek megjegyzés: A lineáris egyenletrendszert homogénnak nevezzük ha ellenkező esetben inhomogén az egyeneletrendszer. Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ellentmondásos, egyébként megoldható. Ha pontosan egyetlen megoldás létezik, akkor reguláris, ha több megoldás van akkor irreguláris. Két egyenletrsz. ekvivalens, ha megoldásaik azonosak

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval Tétel: Minden lin. egyenletrsz. véges sok lépésben vele ekvivalens trapéz alakú lineáris egyenletrendszerré alakítható. Az egyenletrsz. pontosan akkor oldható meg, ha a hozzátartozó trapéz alakú lineáris egyenletrendszer azon egyenleteiben, amelynek a bal oldalán csupa 0 áll, a jobb oldali konstansok is 0-val egyenlőek.

Gauss elimináció menete Legyen adott egy (1) alakú lin. egyenletrsz. Tegyük fel, hogy . Az 1. egyenletet osszuk el . Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens átalakításokkal az alábbi egyenletrsz.hez jutunk:

Gauss elimináció menete Tekintsük a maradék (3) alakú egyenletrsz.-t, amely k-1 egyenletből és n-1 ismeretlenből áll: Ha (3) megoldható, akkor (2) is, és ha megoldása (3)-nak, akkor megoldásai (2)-nek is hozzávéve az értéket.

Gauss elimináció menete Az eljárást megismételjük a (3) egyenletrendszeren, azaz az 1. egyenletet osszuk el . Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens átalakításokat addig ismételjük míg a (4) alakú egyenletrszerhez jutunk:

Példa Gauss eliminációra Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását: Az ismeretlenek együtthatóit és a jobboldali konstansokat az alábbi egyszerű alakba rendezzük:

Példa Gauss eliminációra Ekvivalens átalakításokkal megoldjuk az egyenletrendszert Az 1. sor 2-szeresét a 2. sorhoz adjuk, az új 2. sort leírjuk A 3. sor 6 szorosához adjuk a 2. sor 5 szörösét, az új 3. sort leírjuk A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, az új 3. sort leírjuk

Példa Gauss eliminációra Határozzuk meg az egyenletrendszer megoldását: Megoldás:

Cramer-szabály Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert: Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

Példa Cramer-szabályra Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: Először kiszámoljuk az A determinánsát: Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

Példa Cramer szabályra A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelő oszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

Példa Cramer szabályra A megoldások:

Példa Gauss Eliminációra Egy vállalkozó 4 növényt termel, melyek fajlagos (1 ha-ra eső) erőforrás szükséglete, illetve a felhasznált erőforrások : Hány hektáron termeljék az egyes növényeket? Oldjuk meg a feladatot Gauss eliminációval, írjuk fel az egyenlet- Rendszer mátrixos alakját!

Példa Gauss Eliminációra A vállalkozó a 4 növényt x,y,z,v hektáron termeli, ekkor a felhasznált erőforrásoknak egyeznie kell a kapacitásával:

Példa Gauss Eliminációra A feladat megoldása: A 2. sor – 2 x 1. sor A 3. sor – 1. sor 3 x 3. sor – 2 x 2. sor Megoldás: X=1;Y=2;Z=3;V=1