Az előző óra anyagának összefoglalása 1 Rácssíkok, kristálylapok megadása Tengelymetszet reciproka, egész számban kifejezve tengelymetszet, vagy paraméter: mao nbo pco az ábrán látható esetben: 2ao 4bo 3co a b c A lap Miller indexének kiszámítása: Tengelymetszet 2 4 3 Reciprok 1/2 1/4 1/3 Közös nevező: 6/12 3/12 4/12 Szorzás a nevezővel 6 3 4 3 4 2 A kérdéses lap indexe (6 3 4) Egy lap indexének általános megadása: (hkl) (gömbölyű zárójel, vessző vagy pontosvessző nélkül)

A végtelen (∞) reciproka 0 negatív érték jelölése: 1 (felül vonal) _

Gyakorló feladatok 1. Számolja ki a kristálylapok Miller-indexét, ha a kristálytani tengelyeket a lapok a következőképpen metszik (ahol lehet, egyszerűsítse az indexet) : a.) 4ao ; 2bo ; ∞co b.) ∞ao ; 3bo ; ∞co Melyik tengelyt metszi? c.) ao ; -bo; co d.) 3ao ; ∞bo ; -2co 2. Hol metszi az a, b és c tengelyeket az alábbi indexű kristálylap: (211) Le tudná rajzolni? 3. Írja le a 7 kristályrendszert nevét

Az előző óra anyagának összefoglalása 2 A szimmetria Egy alakzat két vagy több része valamilyen művelettel egymással fedésbe hozható. Fedési művelet: tükrözés, forgatás, inverzió Szimmetriaelem: tükörsík (m) forgástengely (gír), 1, 2, 3, 4, 6 inverzióspont (i) Összetett szimmetria műveletek: forgatásos tükrözés (giroid) Szimmetriaelemek: tetragiroid (digír-tetragiroid), 4 hexagiroid (trigír-hexagiroid), 3 Ezek a szimmetriaelemek a kristály külsején látszanak, ezért külső szimmetriaelemeknek nevezzük (a fedési művelet során legalább 1 pont helyben marad) _

Pontszimmetria Szimmetriaelemek hatása egy objektumra (pont, vonal, vagy sík) Általános helyzetű pont: az adott szimmetriaelemek hatására összesen 8 ilyen pont lesz

8 egyenértékű pont 4 egyenértékű pont szinguláris pont (helyben marad) (multiplicitás: 8) (multiplicitás: 4) Az adott pontcsoport szimmetriájának megfelelő számú és helyzetű egyenértékű pont (egyenes, sík) jelenik meg a szimmetriarendszerben (kristályrendszerben)

Szimmetriaelemek térbeli ábrázolása: a sztereografikus projekció Szimmetriaelemek, kristálylapok, kristályformák ábrázolása 2 dimenziós projekcióban, azaz síkban Ez a vetítési ábrázolás szöghű, rajta a lapok helyzete és a szimmetriaviszonyok könnyen áttekinthetők.

Sztereografikus projekció Induljunk ki egy kristályból A kristályt egy gömb középpontjába helyezzük. A gömb és a kristály középpontja azonos. A középpontból minden egyes kristálylapra merőlegest bocsájtunk. Egyenlítői sík A merőleges egyenesek (lapnormális) a gömb felületét egy-egy pontban döfik. Minden egyes döféspont egy kristálylap gömbön levő vetülete (póluspont). Ez a gömbprojekció Ez még mindig 3 dimenzióban van

É-i sarokpont Minden egyes póluspontot (döféspontot) az egyenlítői síkra, az alapkörre vetítünk. A vetítés centruma a D-i sarokpont. Az alapkör a sztereografikus vetület képsíkja. A sztereografikus vetületi pont, vagy pólus az a pont, ahol az összekötő egyenes az alapkört metszi. Egyenlítői sík, vagy alapkör D-i sarokpont

A sztereografikus projekció pedig így fog kinézni A sztereografikus projekció szöghű - az egymást párhuzamos élekben metsző lapok vetületi pontjai egy körre esnek.

Ugyanez síkban É-i sarokpont Alapkör (vízszintes egyenes) D-i sarokpont

Ez csak a kristály felső felére vonatkozik Ez csak a kristály felső felére vonatkozik. Ha az alsó felére is szükség van, akkor a gömb É-i és D-i pólusát felcseréljük, és a gömb alsó felén levő pólusokat az É-i sarokponttal kötjük össze. A szeterografikus vetületben a kristály felső felének póluspontjait, fekete ponttal vagy X-el jelöljük, az alsó fél póluspontjait pedig üres karikával. Vetületi pont jelölése: x vagy Az alsó és felső kristálylap vetületi pontja egybeesik (vizszintes tükörsík) X

A kocka sztereografikus projekciója A függőleges lapok az egyenlítői körre, a vízszintes lapok a sarokpontokra vetülnek

Tetraéder sztereografikus projekciója

Szimmetriaelemek ábrázolása A sztereografikus vetület segítségével a szimmetriaelemeket és a kristály szimmetria viszonyait (tükörsíkok, gírek) szöghűen tudjuk ábrázolni . Irány (pl. rotációs tengely – gír) ábrázolása

101 _ Digír a vizszintes élközepeken 111 _ 101 _ 100 110 111 _ Trigír a csúcsokon 110 A függőleges forgástengely vetülete a pólusokra (kör közepe), a vízszintes forgástengely vetülete az alapkörre (a kör kerülete) esik. A ferde tengelyek a körön belül vetülnek (ilyenek csak a szabályos rendszerben vannak) 100 Tetragír a lapközepeken Digír a függőleges élközepeken

Síkok (pl. tükörsík) ábrázolása A gömb felszínén levő körök, pl. a tükörsíkok metszetei mint körök vetítődnek le. Az É-i és D-i pólusokon átmenő speciális körök átmérők lesznek a vetületben.

Függőleges tükörsíkok (egyenesek) Vizszintes tükörsík (a kör kerülete) Ferde tükörsík Tükörsík – vastag vonal

Néhány példa a szimmetriaelemek jelölésére Vízszintes digír - b tengely (monoklin rendszer) Függőleges tükörsík - ac síkban (monoklin rendszer) Függőleges tükörsík és rá merőleges digír (monoklin rendszer) Ferde téglalap alapú hasáb.

Függőleges tetragír (c), négy vízszintes digír (a és b) - tetragonális rendszer (trapezoéder) Függőleges hexagír, rá merőleges 6 digír, 1 vizszintes és 6 függőleges tükörsík (hatszög alapú prízma, vagy dipiramis)

Szimmetriaelemek kombinálása Az előzőekben felsorolt tükrözési, inverziós és forgatási szimmetriaelemek, vagy szimmetria operátorok együttes előfordulásai, kombinációi alkotják a kristályok szimmetriáját (pl. a kocka különböző szimmetriaelemei). Úgy tűnik, hogy a szimmetriaelemeknek nagyon sok kombinációja lehetséges. Ez szerencsére nem így van, bizonyos kombinációk csak együtt fordulhatnak elő, más elemek pedig kizárják egymást. Pl. függőleges tetragír - vagy egyáltalán nincs rá merőleges digír, vagy 4 van belőle. Ugyanez igaz a szimmetriasíkokra is.

A szimmetriaoperátorok nem kombinálódhatnak tetszőlegesen A szimmetriaoperátorok nem kombinálódhatnak tetszőlegesen. A forgatási tengelyeknek és a tükörsíkoknak csak lehatárolt számú kombinációja lehetséges (csoportelmélet). Matematikailag kimutatható, hogy az összes szimmetriaelemnek csak 32 kombinációja lehetséges, ez a 32 pontcsoport (utalás a csoportelméletre) Ez a 32 szimmetriaelem kombináció található meg a kristályokban, eszerint a kristályokat 32 osztályba sorolhatjuk, és ezek mindegyikének megvan a saját egyedi szimmetriája. (A pontcsoport és kristályosztály hasonló fogalmak, de nem szinonímák: a pontcsoport csak a szimmetriára, a kristályosztály a kristályok szimmetriájára utal.) A kristályosztályok a már megismert 7 kristályrendszerbe tartoznak: triklin, monoklin, rombos, tetragonális, trigonális, hexagonális és szabályos rendszerek.

A kristályosztályok számszerinti megoszlása az egyes kristályrendszerekben a következő: Triklin 2 Monoklin 3 Rombos 3 Tetragonális 7 Trigonális 5 Hexagonális 7 Szabályos 5 Korábban már láttuk, hogy a 7 kristályrendszerhez 7 különböző primitív elemi cella tartozik (további megfelelés az elemi cellák és a kristályosztályok száma között nincs).

A kristályrendszereken belül az egyes kristályosztályokat a szimmetria alapján a következőképp osztályozhatjuk: Holoéderes (teljes szimmetriájú) kristályosztályok. Az illető rendszerben az elérhető legnagyobb szimmetriát mutatják. Hemiéderes (feles szimmetriájú): Hemimorf – csak függőleges szimmetriaelemek Enantiomorf – csak gírek Paramorf – inverzióspontjuk is van Másodfajú feles – főgír helyett giroid Tetartoéderes (negyedes szimmetriájú): Tetartoéderes (szoros értelemben) – a rendszert jellemző girt tartalmazzák Másodfajú negyedes – giroidot tartalmaznak

Nézzük meg a tetragonális rendszer példáján. Alap: függőleges tetragír, vagy tetragiroid ( másodfajú osztályoknál) Holoéderes Forgás: függőleges tetragír, 4 vízszintes digír (a és b tengely és felezőik irányában) Tükrözés: 1 vízszintes és 4 függőleges tükörsík (szintén a tengelyek és felezőik mentén) Ilyen pl. egy négyzet alapú hasáb, vagy egy négyzet alapú dipiramis

Hemiéderes (hemimorf) Hiányoznak a vízszintes szimmetriaelemek. Van függőleges tetragír és négy függőleges tükörsík. Nincs inverzióspont. Pl. egy négyzet alapú piramis. Ilyen szimmetriájú ásvány nincs. Ide tartozik az AgF.H2O

Hemiéderes (enantiomorf) Csak gírek vannak. Függőleges tetragír és 4 vízszintes digír, az a és b tengelyek és felezőik irányában. Nincs inverziós pont. Tetragonális trapezoéder Minden trapezoédernek van bal és jobb formája. Különleges optikai tulajdonságok. Nagyon ritka az ilyen rendszerben kristályosodó ásvány.

Enantiomer királis molekulák Optikai aktivitás - enantiomorf kristályok esetében is.

Hemiéderes (paramorf) Csak függőleges tetragír és rá merőleges vízszintes szimmetriasík van. Van inverzióspont is. Scheelite Ca(WO4)

Tetartoéderes (negyedes) Csak függőleges tetragír van Wulfenit - Pb(MoO4)

Másodfajú feles A c-tengely az tetragiroid a és b tengelyek irányában 2 vízszintes digír a felezőkön 2 függőleges tükörsík Tetragonális szkalenoéder stannin Cu2FeSnS4

Pontcsoportok, kristályosztályok szimmetriájának jelölése Schoenflies jelölés C, D, T, S és O betűk, valamint indexek C - gír (ciklikus tengely), C2 digír, C3 trigír stb. Cs - tükörsík C2h, C3h, C4h C6h- főgírre merőleges horizontális sík (a szám a főgír értékét jelenti) C2v, C3v, C4v, C6v - főgirrel párhuzamos, vertikális sík D - főgírre merőleges gírek, D2, D3, D4, D6 stb.

Hermann-Mauguin jelölés – nemzetközi jelölés m – tükörsík 1, 2, 3, 4, 6 – gír 1 – inverziós pont 3, 4 – giroid – A forgatási tengelyre merőleges szimmetriasík: 2/m, 4/m, 6/m Pl. 222 (három egymásra merőleges digír) 32 (egy trigír, három rá merőleges digír – nem kell mindet kiírni) 3m (egy trigír, 3 párhuzamos tükörsík) (ezeket nem szokták sem ismertetni, sem számonkérni)

Belső szimmetriaelemek, tércsoportok A külső szimmetriaelemekkel szemben a belső szimmetriaelemek nem látszanak a kristály külső alakján. A belső szimmetria a kristály szerkezetéhez kapcsolódik, a fedési művelet a transzláció. A transzláció teszi lehetővé egy motívum szabályszerű ismétlődését. A transzláció során egyetlen pont sem marad a helyén.

A transzlációt kombinálhatjuk más szimmetriaelemekkel: Transzláció és tükrözés kombinálása a siklatásos tükrözés Transzláció és forgatás kombinációja a csavarás Siklatásos tükrözés (szimmetriaelem: siklatásos tükörsík) A tükrözéssel egyidejűleg fél periódus eltolás történik. A transzláció általában valamelyik tengely irányában történik.

A különböző szimmetriaelemek néhány kombinációja (tércsoport), és megjelenésük a magyar népművészetben (Hargittai István nyomán) transzláció siklatásos tükrözés képsíkra merőleges digir és transzláció függőleges tükörsík szerinti tükrözés és transzláció vizszintes tükörsík szerinti tükrözés és transzláció csúszótükörsík és arra merőleges tükörsík kombinációjá transzlációs tengely, hosszanti és keresztirányú szimmetriasíkok

Csavarás (szimmetriaelem: helikogír, csavarási tengely) Lehet 2-, 3-, 4- és 6-értékű. Helikodigír Helikotrigír Helikotetragír Helikohexagír Nem azonos a siklatásos tükrözéssel

A 3-, 4- és 6-szoros csavarásnál megjelennek a tükörképek is, mindegyiknek van enantiomer párja

Előfordulás: Szilikát szerkezetekben Biológiai makromolekulákban Fehérje α-hélix (Linus Pauling)

DNS

Ha a külső és a belső szerkezeti szimmetriaelemeket kombináljuk, 230 szimmetria variáció, ún. tércsoport jön létre (nem tévesztendő össze a pontcsoporttal) Ezeket elméleti alapon vezették le, majd a röntgendiffrakciós szerkezetvizsgálatok igazolták. A tércsoportok felsorolása a kristálytan, vagy ásványtan könyvekben megtalálható. Ezeknek is megvan a Schoenflies és a Hermann-Mauguin jele. Két dimenzióban viszont jól ábrázolhatók a különféle pontcsoportok és tércsoportok, és itt nincs annyi variáció (ezeket természetesen nem kell tudni, de érdemes egyszer megnézni).

Az alakzat (motívum) egy dinoszaurusz. A síkban a következő szimmetraműveletek lehetnek: (siklatásos tükrözés)

Ezekből a következő 10 pontcsoportok képezhető

Ezekből 17 tércsoport képezhető