1.3. Hipotézisvizsgálat, statisztikai próbák Az alapsokaságra vonatkozóan valamilyen feltevéssel élünk (pl. m vagy s értéke), és azt statisztikai próbával ellenőrizzük. Pl. Jöhetnek-e az adatok olyan eloszlásból, amelyre: H0: m = m0 H1: m ≠ m0 nullhipotézis ellenhipotézis z-próba, t-próba, f-próba

z-próba A sokaság s2 variancia korábbi vizsgálatok alapján rendelkezé-sünkre áll. Így alkalmazható a standard normális eloszlás (z-eloszlás). Ellenőrizni akarjuk, hogy m egy meghatározott számmal, m0-lal egyenlő-e: H0: m = m0 H1: m ≠ m0 nullhipotézis ellenhipotézis (kétoldali) próbastatisztika Ha z0 olyan értékeket vesz fel, amilyeneket z szokott, H0-t elfogadjuk.

A z-próba menete egy példán keresztül 1-9. példa Négy ismételt méréssel határozzuk meg egy tárgy tömegét. A minta számtani középértéke . Korábbi mérésekből tudjuk, hogy a mérés varianciája 10-4 g2. El kell döntenünk, hihető-e, hogy a várható érték (a tárgy valódi tömege) 5.0000 g. H0: m = m0 =5.0000 g H1: m ≠ m0 Kiszámítjuk a próbastatisztika értékét: Kijelöljük az elfogadási tartományt az előírt szignifikancia szinthez (pl. a = 0.05; 1 – a = 0.95) : Kérdés za/2 értékeke, amelyet pl. táblázatból megkaphatunk.

Táblázatból: za/2 = 1.96 Excel: =INVERZ.STNORM(0.975) elutasítás elfogadás elutasítás Megvizsgáljuk, hogy a próbastatisztika aktuális értéke (1.84) az elfogadási tartományon (-1.96; 1.96) belül van-e. Ha igen, elfogadjuk a nullhipotézist. Példánkban a nullhipotézist 0.05-os szignifikanciaszinten elfogadjuk. (Az adatok alátámasztják azt, hogy a várható érték 5.0000 g.) https://www.socscistatistics.com/tests/

1-10. példa Egy vegyszer 1 kg-jában legfeljebb 5.0000 g idegen anyag lehet. Négy elemzés eredményének átlaga . Korábbi mérésekből tudjuk, hogy a mérés varianciája 10-4 g2. El kell döntenünk, hihető-e, hogy az idegenanyag-tartalom nem haladja meg az 5 g-os határt. H0: m ≤ m0 =5.0000 g H1: m > m0 jobb oldali ellenhipotézis z0 = 1.84; legyen a = 0.05; 1 – a = 0.95 Táblázatból: za = 1.645 1.84 > 1.645, tehát a nullhipotézist elvetjük.

z0 = 1.84; za = 1.645 A nullhipotézist elutasítjuk, hiszen a z0 próbastatisztika aktuális értéke annyira nagy, hogy azt a véletlen csak a-nál kisebb valószínűséggel okozhatná.

t-próba Hasonlóan a z próbához annak a vizsgálatára alkalmas, hogy a várható érték különbözik-e egy adott értéktől. A sokaság s2 variancia nem áll rendelkezésünkre, helyette az s2 tapasztalati szórásnégyzettel számolunk Ekkor a standard normális eloszlással (z-eloszlással) rokon t-eloszlás alkalmazható. H0: m = m0 H1: m ≠ m0 nullhipotézis ellenhipotézis (kétoldali) próbastatisztika: Ha t0 olyan értékeket vesz fel, amilyeneket t szokott, H0-t elfogadjuk.

1-11. példa Egy reaktoron 11 mérést végrehajtva a következő százalékos kihozatali értékeket kaptuk: 32, 55, 58, 59, 59, 60, 63, 63, 63, 63, 67. Teljesül-e, hogy a kihozatal 63%? (átl = 58.36; s = 9.33) 1-12. példa Egy reagens előírt minimális koncentrációja 99%. Ítéljük meg, hogy teljesül-e az előírás 5%-os szignifikanciaszinten, ha a mérési adatok a következők: 98.3 97.3 97.5 1-13. példa Egy gyárban egy gépnek 500 gr töltőanyagot kell a konzervekbe juttatnia minden töltéskor. A töltőanyag egyenetlenségéből adódóan a gép néha kicsit többet, néha kicsit kevesebbet tölt, mint 500 gr. Arra vagyunk kíváncsiak, hogy a gép átlagos "teljesítménye" 500 gr-nak mondható-e. Kiveszünk 10 konzervet a futószalagról és megmérjük mindben a töltőanyag súlyát. Az eredmények rendre: 483, 502, 498, 496, 502, 483, 494, 491, 505, 486.

Kétmintás t-próba (független) Két egymástól független minta mögött álló sokaság várható értékének különbözősége állapítható meg. Tételezzük fel, hogy a két sokaság varianciája megegyezik. (Ezt F-próbával ellenőrizni kell!) A következő kifejezés t-eloszlású n = n1 + n2 – 2 szabadsági fokkal:

A nullhipotézis: A próbastatisztika: Ha: akkor a két átlagérték különbözősége a szinten nem szignifikáns.

1-14. példa Egy gépről két különböző napon lekerülő alkatrészekből mintát vettek, az alkatrészek tömegére a következőket kapták: Különböző-e a két napon gyártott alkatrészek várható értéke 5%-os szignifikanciaszinten? Azonos varianciájú sokaságból származik-e a két minta? F-próba: Táblázatból: F0.05(9, 14) = 2.65; ennél kisebb 1.333, tehát elfogadjuk a varianciák azonosságát.

A próbastatisztika értéke a kritikus határt meghaladja, a nullhipotézist elutasítjuk: a két nap közötti különbség 5%-os szinten szignifikáns.

Páros t-próba A két minta nem független egymástól, a két minta elemei összepárosíthatóak (xi, yi). Pl. vérnyomásértékek kezelés előtt és után. A próbastatisztika:

1-15. példa Vizsgálták az alkohol hatását a vezetői képességekre. 10 embert teszteltek két különböző napon, miután két pohár alkoholt, illetve két pohár vizet megittak. Állapítsuk meg, hogy szignifikáns hatása van-e az alkoholnak 0.01-os szinten! A vizsgálati eredmények (magasabb pontszám a jobb teljesítmény):

A próbastatisztika: 5.01>3.250, tehát a nullhipotézist elutasítjuk, az alkohol hatása 0.01-os szinten szignifikáns.

Material A Material B Diff 11 10 1 12 14 9 5 2 13 16 3 4 Avr 13.00 1-16. példa Két cipőtalp-anyag kopását hasonlítjuk össze 10-10 fiú lábán a használat során. Vizsgáljuk meg 0.05-os szinten, van-e különbség a két anyag kopása között! Material A Material B Diff 11 10 1 12 14 9 5 2 13 16 3 4 Avr 13.00 10.60 2.40 Var 2.2222 2.7111 3.1556

Material A Material B Diff 14 13.2 0.8 8.8 8.2 0.6 11.2 10.9 0.3 14.2 1-17. példa Két cipőtalp-anyag kopását hasonlítjuk össze 10 fiú bal, ill. jobb lábán a használat során. Vizsgáljuk meg 0.05-os szinten, van-e különbség a két anyag kopása között! Material A Material B Diff 14 13.2 0.8 8.8 8.2 0.6 11.2 10.9 0.3 14.2 14.3 -0.1 11.8 10.7 1.1 6.4 6.6 -0.2 9.8 9.5 11.3 10.8 0.5 9.3 13.6 13.3 Avr 11.04 10.63 0.41 Var 6.3427 6.0090 0.1499

1-18. példa Golflabdák repülési távolságát vizsgálták egy mechanikus ütőgéppel. Kétféle márkájú, 10-10 véletlenszerűen kiválasztott labdát teszteltek. Az eredmények: 1. típus: 275, 286, 287, 271, 283, 271, 279, 275, 263, 267 (s2=64.46, átl=275.7) 2. típus: 258, 244, 260, 265, 273, 281, 271, 270, 263, 268 (s2=100.90, átl=265.3) Állapítsa meg, hogy van-e különbség a két típus között!. (Alfa: 0.05)

1-19. példa Két különböző analitikai módszert alkalmaztak acélötvözetek szennyezőtartalmának meghatározására. Nyolc mintát teszteltek mindkét módszerrel az alábbi eredménnyel. Egyformának tekinthető-e a két módszer 0.05-os szinten? Specimen Test 1 Test 2 1 1.4 1.2 2 1.7 1.3 3 1.5 4 5 6 2.1 1.8 7 8 1.6 Difference 0.2 0.4 -0.1 0.3 Avr 0.213 Var 0.030