Geometriai valószínűségszámítás Készítette: Horváth András, Kékesy Bernadett, Meszlényi Nóra Elemi matematika 5 – gyakorlat 2018. November 5.

Bevezető feladat Egy lavina 2000 hektár területet betemetett egy síelésre gyakran használt térségben. Bence az nap síelni ment, és még nem jelentkezett, így a mentésére sietnek. Mi az esélye, hogy ha a mentőcsapat 500 hektárt találomra kiás a betemetett területből, megtalálnák Bencét?

Megoldás Ha Bencét valóban eltemette a lavina, akkor éppen egy 2000 hektáros területen belül bárhol helyezkedik el. E területen belül a nekünk kedvező az lenne, ha Bence éppen abban a találomra kiválasztott 500 hektár területű alakzatban helyezkedne el, amit kiásunk, így a valószínűsége annak, hogy első ásásra megtalálnánk Bencét: 𝑃= 500 ℎ𝑎 2000 (ℎ𝑎) =0,25

To ti? Geometriai valószínűségszámítás esetén egy véletlen kísérlet elemi eseményeit egy geometriai alakzat pontjainak kiválasztásával modellezzük. Annak valószínűsége, hogy egy pont egy adott geometriai alakzatba esik, arányos az alakzat hosszával, területével vagy térfogatával.

1D-s feladatok 1. feladat 2. feladat A méterrúd piros és fehér 10 cm-es szakaszokból áll, melyek egymást váltják és az első szakasz piros színű. A rúd 32 cm-nél kettétört. Ha rámászik egy hangya, akkor a két rész közül melyiken lesz nagyobb az esélye, hogy piros színű szakaszon telepszik le? Anna minden reggel 6 és fél 7 között véletlenszerűen érkezik a buszmegállóba. A buszok, amik jók neki, a következőképp járnak. Az egyik 15, a másik 20 percenként indul 5 órától kezdve. Mennyi a valószínűsége, hogy Annának nem kell 5 percnél többet várnia a buszmegállóban?

1D-s megoldások 1. feladat 2. feladat Ábrázoljuk egy szakaszon a 6 és fél 7 közötti időtartamot, és jelöljük rajta az egyes buszok indulását, illetve jelöljük az előttük levő 5 percnyi időt! Akkor nem kell 5 percnél tovább várnia Annának, ha legfeljebb 5 perccel hamarabb ér be a buszmegállóba, mint egy busz! Az ábráról leolvasható, hogy: 15 30 =0,5 Az első rész 32cm hosszú és ebből 20 cm a piros szakasz hossza. Itt a hangya 20 (𝑐𝑚) 32 (𝑐𝑚) =0,625 valószínűséggel lesz piros részen. A rúd másik fele 68cm-es, és ebből 30cm piros, így ezen a szakaszon csak 30 (𝑐𝑚) 68 (𝑐𝑚) ≅0,44 a piros részen tartózkodás valószínűsége. Tehát az első részen nagyobb a keresett valószínűség.

2D-s feladatok I. Egy kör alakú céltáblára lövés érkezik. Mi a valószínűsége, hogy a lövés helye közelebb lesz a kör középpontjához, mint a határvonalához, feltéve, hogy minden lövésünk eltalálja a céltáblát?

2D-s feladatok II. A következő játékot játsszuk. Adottak A és B pörgettyűk. Kétszer pörgetünk, egyszer A-val, egyszer B-vel. Akkor nyerünk, ha a nyíl által kijelölt két szín összekeverve a lilát adja. Mekkora valószínűséggel nyerünk? (BÓNUSZ: És ha válaszhatunk mindkét pörgetésnél A és B közül?)

2D-s feladatok III. Egy raktárhoz 24 órás időtartamon belül véletlen időpontokban két kamion érkezik. Az előbb érkező kamion rögtön megkezdi a rakodást. A rakodás az egyik kamionnál 1, a másiknál 2 órát vesz igénybe. Ha a második kamion akkor érkezik, amikor az elsőre még rakodnak, akkor várakoznia kell a rakodás befejezéséig. Mekkora a valószínűsége, hogy a két kamion közül valamelyiknek várakoznia kell?

A 3D-s feladat Három hajótörött mindegyike egy-egy órát tölt (egyhuzamban) egy szigeten ma délután valamikor 5 és 9 óra között (véletlenszerűen). Ha hármuk közül pontosan kettő fél óránál hosszabb ideig egyszerre tartózkodik ott, akkor viszály tör ki. Mekkora a valószínűsége annak, hogy békében telik el a nap?

Hajótöröttek: H1, H2, H3 Egy hajótörött megjelenése a szigeten: H1, H2, H3 megérkezési időpontjai  derékszögű koordináta-rendszer egy pontjának koordinátái Eseménytér  3 egység oldalhosszúságú kocka Minden pont egyenlő esély  térfogattal jellemezhető a valószínűség

Békés nap esélye?  Viszály esélye? 1.probléma: érkezési sorrend (3! = 6-féleképpen) Részprobléma: rögzítsük a sorrendet: H1, H2, H3 2. probléma: kik között alakul ki viszály? Részprobléma: vizsgáljuk a H1 és H2 között kialakuló viszály H1 és H2 legalább 0,5 órát együtt tölt a szigeten Ezalatt nem érkezik meg H3

Legyen P(x,y,z) olyan pont, ahol viszály van. Mit tudunk róla? P a kocka egy pontja: 0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ 3 Érkezési sorrend: x ≤ y ≤ z Viszály: y ≤ x+0,5 z > y+0,5

0 ≤ y ≤ 3 0 ≤ z ≤ 3 z > y+0,5 0 ≤ x ≤ 3 x ≤ y ≤ z y ≤ x+0,5 (1),(2),(3),(4a) (1),(2),(3) (1),(2),(3),(4)

(1),(2),(3),(4),(5) (1),(2),(3),(4),(5),(6)

CG, DH és EF közös pontja S(0;2,5;3), a CDE és a GHF lapok párhuzamosak egymással  SCDE és SGHF hasonló tetraéderek. A hasonlóság aránya SF:SE = 2 : 2,5 = 0,8 A térfogatok aránya: VSGHF : VSCDE = 0,83 VCDEGHF = (1−0,83) VSCDE

VSCDE kiszámításáshoz tekintsük a E középpontú 3:2,5 arányú hasonlóságot EC’D’S’ tetraéder: C’ (3;3;3), D’ (0;0;0), S’ (0;3;3) VEC’D’S’ = 3 3 6

VECDS= 2,5 3 3 ·V EC′D′S′ VECDS= 2,5 3 3 · 3 3 6 = 2,5 3 6 VCDEGHF = 1−0,83 · 2,5 3 6 = 61 48 VCDEGHF = 1−0,83 ∗ VECDS

H1, H2, H3 érkezési sorrendben - H1 és H2 közötti viszály  61 48 Mind a 6 érkezési sorrendben  6·2· 61 48 = 61 4 A viszály esélye: 61 4 / 3 3 = 61 108 A békés nap esélye: 1− 61 108 = 47 108

Köszönjük a figyelmet!