A vegyipari műveletek csoportosítása a Benedek László egyenlet alapján A domináns áramformát vesszük alapul. Hidrodinamikai műveletek: szűrés, ülepítés, centrifugálás, flotálás, fluidizáció, folyadékok keverése Hőátadási műveletek: melegítés, hűtés, kondenzáció, hőcsere, bepárlás Anyagátadási műveletek: Egyensúlyi- desztilláció, rektifikáció, abszorpció, adszorpció, kristályosítás Nem egyensúlyi- membránszűrés, dialízis Mechanikai műveletek: aprítás, fajtázás, osztályozás, granulálás

A műveleti egységek szabadsági foka Egy berendezés matematikai modelljének szabadon megválasztható paramétereinek száma: F = N – M F: szabadsági fok; N: változók száma; M: a változók közötti összefüggéseket leíró egyenletek és egyéb megkötések száma. Modellfüggő, és annak terhére figyelembe kell venni a művelet és az ezt megvalósító berendezés által megszabott fizikai korlátokat. A szabadon választható paraméterek közül legalább egynek extenzívnek kell lennie, mert a folyamat leírása legalább egy abszolút mennyiség (entalpia, tömeg) rögzítését követeli meg.

Modellezés a vegyiparban Modellezés: valamely műveleti egység viselkedését egy az vele azonosan viselkedő objektumon vizsgáljuk- ez a modell. Az eredeti objektum(műveleti egység) a prototípus. Ha ez a modell egy matematikai konstrukció, akkor matematikai modellnek nevezzük. Az általa elvégzett vizsgálatokat szimulációnak nevezzük.

Poszteriori modellezés A matematikai modellezés egyik formája. Ha a prototípus létezik és működik, akkor elegendő sok összetartozó input-output adat összegyűjtése után – megkereshető az adatrendszerhez legjobban simuló vektor-vektor függvény – a prototípus empirikus matematikai modellje. Az így előállított matematikai modell konkrétan csak a prototípusra vonatkozik – a prototípus módosítása esetén értelmét veszti.

Priori modellezés Nem igényli a prototípus létezését és nem szükséges a műveleti egységet leíró fizikai és kémiai folyamatok ismerete. Csoportosítása:

Priori modellezés Folytonos modell: az általánosított sűrűség függvényt a berendezés belsejében folytonosan differenciálható függvényként írja le. Kaszkád modell: nem folytonosan differenciálható függvényként írja le. Folytonos modell: (2) Pl. Cső a csőben hőcserélő (1) Töltelékes diffúziós műveleti egység (1) Folyamatos csőreaktor (2) Tökéletesen kevert üstreaktor (3)

Folytonos modellek 𝑣 𝑧 𝜕G 𝜕𝑧 − 𝛿 𝑧 𝜕 2 G 𝜕 2 𝑧 + 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆G+𝐺=− 𝜕G 𝜕𝑡 Axiális keveredést tartalmazó diffúziós modell ( pl. visszakeveredéses áramlású cső) általánosan, sűrűséggel felírva: 𝑣 𝑧 𝜕G 𝜕𝑧 − 𝛿 𝑧 𝜕 2 G 𝜕 2 𝑧 + 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆G+𝐺=− 𝜕G 𝜕𝑡 vz = átlagos áramlási sebesség; δz = axiális keveredési tényező (a fázis teljes térfogatában állandó) A modell – a konvektív mennyiségátvitelt a dugószerű áramlás hatására korlátozzuk. A helyi konvektív áramok és molekuláris diffúzió együttesét az axiális tényező bevezetésével a vezetési tagon keresztül vesszük figyelembe. G = intenzív változó (csak a hely függvénye); ω = A/V a készülék térfogategységére vonatkoztatott átadásra jellemző felület DG = a hajtóerő

Folytonos modellek b) Ideális kifolyási modell (legelterjedtebb modell) az előző modellből úgy származtatható, hogy δz = axiális keveredési tényező = 0 𝑣 𝑧 ∙ 𝜕Γ 𝜕𝑧 + 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆Γ +𝐺=− 𝜕Γ 𝜕𝑡 Így felel meg a dugószerű áramlási képnek. A dugószerű áramlás feltétele a fluidumok azonos tartózkodási idővel és tulajdonságokkal rendelkezzenek

Folytonos modellek c) Ideális keveredési modellek Axiális keveredési tényező δz minden határon túl nő, de a grad = 0 Így 𝑣 𝑧 Γ 𝑘𝑖 − Γ 𝑏𝑒 + 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆Γ+𝐺=− 𝜕Γ 𝜕𝑡 A  általánosított sűrűség a fázis belsejében mindenütt azonos.

Kaszkád modellek Az általánosított sűrűséget szakadásos nem deriválható függvény szerint írják fel. A fázis térfogatát N darab olyan részre osztjuk, melyben az általánosított sűrűséget egyszerű függvénnyel leírhatjuk. Az egyes térfogatrészek között a mennyiségtartalom konvektív áramokra korlátozható. A kaszkád modell alapja az ideális keveredési modell. A sűrűség értéke az adott térfogatrészben állandó. A modell a forrástagtól függően egy N darab elsőrendű differenciál egyenletből álló lineáris vagy nem lineáris differenciál egyenletrendszer. A kaszkád modellek olyan műveleti egységek számításánál nyernek alkalmazást, ahol a folyamat lejátszódására szolgáló térfogat különállórészekből tevődik össze. Az N kaszkádnak az üstreaktorok, extrakciók száma is tulajdonítható.

Kaszkád modellek A rendszer N darab azonos térfogatú kaszkádelemből áll, melyekben belül teljes keveredés van, közöttük tiszta konvekció. fokozatra 𝐵  0 − G 1 + 𝑉 1 ∙ 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆ G 1 + 𝑉 1 ∙𝐺=− 𝑣 1 𝜕 G 1 𝜕𝑡 N. fokozatra 𝐵 G 𝑛−1 − G 𝑛 + 𝑉 𝑛 ∙ 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆ G 𝑛 + 𝑉 𝑛 ∙𝐺=− 𝑣 𝑛 𝜕 G 𝑛 𝜕𝑡 Stacioner állapotban − 𝑣 𝑛 𝜕 G 𝑛 𝜕𝑡 = 0 nemlineáris egyenletrendszer lesz.

Hasonlóságelmélet Ha nem áll a rendelkezésünkre prototípus modell, megépítjük a modelljét (készülék) és méréseket végez rajta. A hasonlóságelmélet segítségével megállapíthatjuk a feltételét annak, hogy az általunk épített modell hasonló legyen az eredetihez. 2 rendszer hasonlóságának feltétele a két jelenséget leíró mennyiségek /differenciál egyenletek/ egymásba kölcsönösen egyértelműen áttranszformálhatóak. 𝑥 ′ = K · 𝑥 ahol K dimenziómentes mennyiség A művelettanban 3 típusú dimenziómentes mennyiséget különböztetünk meg: szimplexek, komplexek, hatásfok jellegű mennyiségek

Szimplexek A szimplexek a geometriai vagy fizikai mennyiségek arányát fejezi ki. Pl. Raschig-gyűrű egymáshoz való hasonlósága d’/l’ = d/l =1 = konstans A hasonlósági transzformációt megkaphatjuk úgy is, hogy képezzük a két rendszerben az azonos mennyiségek hányadosát. Pl. c/c0 = töménység/kezdeti koncentráció; DT/T= hőmérséklet különbség/hőmérséklet

Komplex dimenziómentes mennyiségek A műveleti egységeket leíró transzport egyenletek dimenzionálisan homogének, a bennük szereplő tagok dimenziója mennyiség/m3 s. Ha az egyes tagokat egymáshoz viszonyítjuk, akkor is dimenziómentes mennyiségekhez jutunk- a számláló és a nevező is több tényező szorzatából fog állni. Dimenziómentes mennyiségek rendszeréhez jutunk, ha pl. az alábbi egyenlet (Benedek László egyenlet) minden tagját konvektív (saját mérték) végig osztunk. 1+ 𝑑𝑖𝑣 𝛿 𝑔𝑟𝑎𝑑 G 𝑑𝑖𝑣 G ∙ 𝑣 + 𝜀 ∙ 𝜔 ∙ ∆G 𝑑𝑖𝑣 G ∙ 𝑣 + 𝐺 𝑑𝑖𝑣 G ∙ 𝑣 =0

Komplex dimenziómentes mennyiségek Ilyen módszerrel 9 független dimenziómentes számhoz jutunk, melyeket ismert kutatókról neveztek el. A dimenziómentes számok a rendszer viselkedésének jellemzésére szolgálnak, számszerűen utalnak a lejátszódó folyamatok jellegére és arányaira. Stanton-szám (St) = komponens áramra átadás/konvekció = ω dc/div cv =  1/d Dc/ c v 1/d= /v A Navier-Stokes – egyenletből a tehetetlenségi erővel [v2/L] végig osztva jutunk el az alábbi változókhoz vagy reciprokjukhoz: Froude-szám (Fr) = [v2/L]/ [g] = tehetetlenségi erő/nehézségi erő = v2/gL

Komplex dimenziómentes mennyiségek Euler-szám (Eu) = [p/ρ L]/[v2/L] = nyomóerő/tehetetlenségi erő= p/ ρv2 Reynolds-szám (Re) = [v2/L]/[υ v/L2] = tehetetlenségi erő/belső súrlódási erő = v L/υ Azokat a geometriailag hasonló stacionárius rendszereket, amelyeknél az előbbi dimenziómentes számok értéke egyenlő hidrodinamikailag hasonlónak nevezzük. Peclet-szám (Pe) = konvektív hőáram/vezetéses hőáram= ρ cv v d/λ Komponens átadásra (Pe’) = konvektív komponens áram/vezetéses komponens áram = v d/D Nusselt-szám (Nu) = átadásos hőáram/vezetéses hőáram =  d/λ Komponens átadásra Nu’ = átadásos komponens áram/vezetéses komponens áram=  d/D

Komplex dimenziómentes mennyiségek Damköhler szám: DaI = reakció által termelt komponensáram/konvektív komponensáram = νi r d/ci v DaII = reakció által termelt komponensáram/vezetéses komponensáram = νi r d2/ci D DaIII = reakció által termelt hőáram/konvektív hőáram = νi DH r d/ρ cp v DT DaIV = reakció által termelt komponensáram/vezetéses hőáram = νi DH r d/λ DT

Hatásfok jellegű mennyiségek Hatásfok jellegű dimenziómentes mennyiséget úgy kapunk, ha az egyes áramokhoz (komponens, hő, impulzus) tartozó, azonos osztással nyert komplexeket egymáshoz viszonyítjuk. A legismertebbek: Prandtl-szám (Pr) = Pe/Re = v d/ · ƞ/v d ρ = ƞ/ ρ Schmidt-szám (Sc) = Pe’/Re = v d/D · ƞ/v d ρ = ƞ/D ρ Lewis-szám (Le) = Sc/Pr = Pe’/Re · Re/Pe = Pe’/Pe = /D A hatásfok jellegű dimenziómentes számok a rendszerben lejátszódó diffúziós transzportfolyamatok arányát fejezik ki.

Tört Áram Átadás/ Konvekció Vezetés Forrás/ Konvekció/Vezetés Hatásfok/ Jellegű Komponens St’ = /v Nu’ = β d/D DaI = νi r d/ci v DaII = νi r d2/ci D Pe’ = v d/D Sc= Pe’/Re Hő St = / ρ cp v Nu = α d/λ DaIII = νi DH r d/ρ cp v DT DaIV = νi DH r d/λ DT Pe = ρ cv v d/λ Pr = Pe/Re Impulzus f’/2 = γ/ρ v A = γ d/ƞ 1/We = E/ρ v2 d2 Eu = p/ ρv2 - Re = v L/υ Le = Sc/Pr

Hasonlóság elmélet módszerei Modellelmélet: a hasonlósági kritériumok képzése differenciálegyenletek alapján. Ha ismertek a lejátszódó fizikai és kémiai folyamatok differenciálegyenletei, illetve dimenzionálisan homogén, akkor könnyen átalakítható dimenziómentes alakra. Dimenzióanalízis: lsd. 1 előadás. A matematikai modell megalkotásának egyik lehetséges módja. Csak olyan esetben használható, ha ismert a vizsgált folyamatot leíró függvény és jelenséget leíró változók.

Fizikai modellezés, viselkedésbeli hasonlóság, formai hasonlóság Fizikai modellezés: kis minta modellek. Olyan modellre van szükség, mellyel meghatározható a feltétele annak, hogy a modell hasonló legyen a prototípushoz. Viselkedésbeli hasonlóság: abban az esetben, ha nem ismerjük az adott jelenség matematikai modelljét vagy nem létezik , akkor az eredetihez hasonló modellt építünk, melyen méréseket végzünk és a prototípusra vonatkozólag következtetéseket vonunk le. Formai hasonlóság: hasonlóság felismerése külső jelek alapján. A méretarányok változtatása (geometriai hasonlóság) kizárja a legtöbb esetben az eredetihez képest működésben, felépítésben hasonlót nyerjünk.