Költségfüggvények Minden kibocsátáshoz a minimális költséget rendelik hozzá A termelési függvények inverzei (dualitás) A költségfüggvények a termelési függvényből származtathatók, „beárazva” Rövid táv: Hosszú táv:

A fix termelési tényező a tőke (K), és a változó a munka (L) Rövidtávú költségek: Fix költség: FC=KpK Változó költség: VC(q)=LpL Teljes költség: TC(q)=KpK +LpL Határköltség MC=dTC/dq=dVC/dq Átlagos költségek AFC=FC/q, AVC=VC/q, AC=TC/q)

A parciális termelési függvény és a változó költség függvény összefüggése Q = f(L, K0), PL=1000, VC= f(Q) L költség 15 1500e 11 1100e 6 600e Q Q 5500 2800 1000 1000 2800 5500

A vállalat költségei rövid távon TC, VC, FC TC VC FC Q

üzem technikai optimuma TC VC FC q C AC MC AVC üzem technikai optimuma Inputtényező technikai optimuma AFC q

A termelési függvény és a költségfüggvény összefüggései alapján: az AVC ott minimális, ahol az APL maximális az MC ott minimális, ahol az MPL maximális az AVC függvényt és az AC függvényt a határköltség fügqvény minimumpontjában metszi

Példa rövitávú költségfüggvényre Egy vállalat teljes költség függvénye: TC=-Q3+15Q2+500 Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényt! VC= -Q3+15Q2 AVC=VC/Q=-Q2+15Q FC=500 AFC=FC/Q=500/Q AC=TC/Q= -Q2+15Q+500/Q MC=(TC)’=(VC)’= -3Q2+30Q

Hosszú távú költségfüggvények valamennyi input mennyisége változtatható A vállalat növekedési útjából vezethető le A vállalt különböző termelési szintjeihez tartozó minimális összköltségének alakulását fejezi ki LTC (Q) LAC (Q) LMC (Q)

Minimális költség– a különböző termelési szinteken Növekedési út K Minimális költség– a különböző termelési szinteken Q2 Q1 Q0 e L Optimalizáció kritériuma: MPL/MPK=pL/pK

Levezetés: 𝑄= 𝐾𝐿 függvényre 𝑀𝑃 𝐿 𝑀𝑃 𝐾 = 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 -ból, 𝐾 𝐿 = 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 Ebből K és L kifejezve és behelyettesítve a termelési függvénybe: Q=K 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 és Q=L 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 majd átrendezve K=Q 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 és L=Q 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 TC(Q)= 𝑃 𝐾 Q 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 + 𝑃 𝐿 Q 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 =2 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 Q

A hosszú távú költségek is a technológiától függnek A hosszú távú költségek is a technológiától függnek. Példa r-ed fokú homogén termelési függvényre: 𝜀 𝑚 𝑄 = 𝜕𝑂 𝑄 𝜕𝑚 𝑚 = 𝜕𝑄 𝜕𝑚 𝑚 𝑄 skálarugalmasság 𝑄 0 =f( 𝐾 0 ,𝐿 0 ) Q= 𝑚 𝑟 𝑄 0 =f(m 𝐾 0, 𝑚𝐿 0 ) 𝜕𝑄 𝜕𝑚 =𝑟 𝑚 𝑟−1 𝑄 0 , 𝑄 𝑚 = 𝑚 𝑟−1 𝑄 0 𝜕𝑄 𝜕𝑚 =𝑟 𝑄 𝑚 r= 𝜕𝑄 𝜕𝑚 𝑚 𝑄 A homogenitás foka a skálarugalmasság Nézzük meg ezzel hogyan függ össze a költség rugalmasság: 𝜀 𝑄 𝑇𝐶 = 𝜕𝑇𝐶 𝜕𝑄 𝑇𝐶 𝑄 = 𝑀𝐶 𝐴𝐶 !

Euler-tétel és hosszútávú optimum 1. rQ= 𝑀𝑃 𝐾 𝐾+ 𝑀𝑃 𝐿 𝐿 2. Hosszútávú optimum: H(K,L,λ)= 𝑃 𝐾 𝐾+ 𝑃 𝐿 𝐿+ λ(Q-f(K,L) 𝜕𝐻 𝜕𝐾 = 𝑃 𝐾 − λ 𝑀𝑃 𝐾 =0 𝜕𝐻 𝜕𝐿 = 𝑃 𝐿 − λ 𝑀𝑃 𝐿 =0 𝜕𝐻 𝜕𝐾 =Q− f(K)=0

AC= λ 𝑀𝑃 𝐾 𝐾+λ 𝑀𝑃 𝐿 𝐿 𝑄 = λrQ 𝑄 =rMC 𝑀𝐶 𝐴𝐶 = 𝜕𝑇𝐶 𝜕𝑄 𝑇𝐶 𝑄 = 1 𝑟 =𝜀 𝑄 𝑇𝐶 . 3. 𝑃 𝐿 𝑀𝑃 𝐿 = 𝑃 𝐾 𝑀𝑃 𝐾 = λ=MC AC= 𝑃 𝐾 𝐾+ 𝑃 𝐿 𝐿 𝑄 AC= λ 𝑀𝑃 𝐾 𝐾+λ 𝑀𝑃 𝐿 𝐿 𝑄 = λrQ 𝑄 =rMC 𝑀𝐶 𝐴𝐶 = 𝜕𝑇𝐶 𝜕𝑄 𝑇𝐶 𝑄 = 1 𝑟 =𝜀 𝑄 𝑇𝐶 A költségrugalmasság a skálarugalmasság reciproka Ha Q=A 𝐾 𝛼 𝐾 𝛽 , akkor r=𝛼+𝛽 é𝑠 𝜀 𝑄 𝑇𝐶 = 1 𝛼+𝛽

Rövid- és hosszú távú költségek kapcsolata . Rövid- és hosszú távú költségek kapcsolata

Rövid- és hosszú távú költségek kapcsolata q

Költségek LMC LAC Termelés mennyisége

.

Skálahozadék és a hosszú távú költségek Állandó skálahozadék Költség költség LTC LAC=LMC

Skálahozadék és a hosszú távú költségek csökkenő skálahozadék Költség költség LMC LAC LTC

Skálahozadék és a hosszú távú költségek növekvő skálahozadék Költség költség LAC LMC LTC

A skálahozadék és a hosszú távú költségfüggvények Növekvő skálahozadék: konkáv LTC, csökkenő LAC és LMC Állandó skálahozadék: lineáris LTC, konstans és egyenlő LAC és LMC Csökkenő skálahozadék: konvex LTC, növekvő LAC és LMC