Szilárd testek fajhője Zérusponti rezgés: Cu Ge σ ≈ 0.04-0.05 Å (≈ 0.02·a)

Rácsrezgések kvantummechanikai leírása jelentése: hullámszámú, polarizációjú fonon kvantumszám operátora Rácsrezgések kvantummechanikai leírása keltő- és eltüntető operátorok 1 db. oszcillátor a hullámszámú, polarizációjú fonon kvantumszám operátora sajátértékei az egész számok, értéke az adott frekvenciájú és hullámhosszú rezgést jellemzi q  /a L T impulzus energia Fonon: kvázirészecske

Energia és impulzusmegmaradás a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió

Energia és impulzusmegmaradás a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió Diszperziós reláció mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok q=/a q=-/a

Energia és impulzusmegmaradás a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió Diszperziós reláció mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok impulzusú neutron bejön és felvesz energiát majd impulzussal kimegy q=/a q=-/a ezeket mérjük és ezt számoljuk

Energia és impulzusmegmaradás a diszkrét transzlációs szimmetria következménye: és ekvivalens Fonon → kvázirészecske Rugalmatlan szórás: + fonon abszorbció - fonon emisszió Diszperziós reláció mérése: inelasztikus neuronszórás Mérési tartományok impulzusú neutron bejön és felvesz energiát majd impulzussal kimegy q=/a q=-/a ezeket mérjük és ezt számoljuk Grafikus szemléltetés (1 dimenzió)

Szilárd testek fajhője harmonikus oszcillátor szabadsági fokai Klasszikus tárgyalásmód (harmonikus közelítés) 3N db független oszcillátor  ekvipartició tétel  oszcillátorok száma ekvipartició tétel: az egy szabadsági fokra jutó energia

Szilárd testek fajhője harmonikus oszcillátor szabadsági fokai Klasszikus tárgyalásmód (harmonikus közelítés) 3N db független oszcillátor  ekvipartició tétel  a fajhő nem függ a hőmérséklettől oszcillátorok száma ekvipartició tétel: az egy szabadsági fokra jutó energia

Szilárd testek fajhője harmonikus oszcillátor szabadsági fokai Klasszikus tárgyalásmód (harmonikus közelítés) 3N db független oszcillátor  ekvipartició tétel  a fajhő nem függ a hőmérséklettől oszcillátorok száma ekvipartició tétel: az egy szabadsági fokra jutó energia Kísérleti eredmények magas hőmérséklet Dulong-Petit érték A klasszikus leírásmód koncepcionálisan hibás, amin nem lehet javítani egy-egy konkrét rendszer jobb közelítésével (pl. anharmonikus tagok figyelembe vételével). Az alacsony hőmérsékletű viselkedés univerzális, megértéséhez már kvantummechnaikai tárgyalás kell. alacsony hőmérsékleten univerzális T-függés

Statisztikus fizikai megfontolások folytonos spektrum diszkrét spektrum Legyen egy ε energiájú állapot valószínűsége független alrendszerek együttes rendszer és Z a függvény két paramétere

Statisztikus fizikai megfontolások folytonos spektrum diszkrét spektrum Legyen egy ε energiájú állapot valószínűsége független alrendszerek együttes rendszer és Z a függvény két paramétere Diszkrét energiaspektrum esetén Az n-edik állapot valószínűsége Az energia várható értéke:

Statisztikus fizikai megfontolások folytonos spektrum diszkrét spektrum Legyen egy ε energiájú állapot valószínűsége független alrendszerek együttes rendszer és Z a függvény két paramétere Diszkrét energiaspektrum esetén Az n-edik állapot valószínűsége Az energia várható értéke: Harmonikus oszcillátor (kvantummechanika): azaz ahol

Harmonikus oszcillátor (kvatummechanika): azaz ahol Az energia várható értéke: ahol egy oszcillátor: az n-edik nívó betöltési valószínűsége sok oszcillátor: az n-edik nívó átlagos betöltöttsége

Harmonikus oszcillátor (kvatummechanika): azaz ahol Az energia várható értéke: ahol egy oszcillátor: az n-edik nívó betöltési valószínűsége sok oszcillátor: az n-edik nívó átlagos betöltöttsége Bose-Einstein eloszlásfüggvény segédváltozó

Harmonikus oszcillátor (kvatummechanika): azaz ahol Az energia várható értéke: ahol egy oszcillátor: az n-edik nívó betöltési valószínűsége sok oszcillátor: az n-edik nívó átlagos betöltöttsége Bose-Einstein eloszlásfüggvény segédváltozó Klasszikus határeset (ekvipartició tétel)

Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje kvatummechanikai leírás (1 dimenzió) annyi különböző rezgési módus, ahány darab atomból áll a lánc L=Na (q) /a -/a q

Bose-Einstein statisztika Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje kvatummechanikai leírás (1 dimenzió) annyi különböző rezgési módus, ahány darab atomból áll a lánc L=Na (q) /a -/a q Az energia: Bose-Einstein statisztika rezgési módus energiája rezgési módus betöltöttsége

Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje kvatummechanikai leírás (1 dimenzió) Összegzésből integrálásra való áttérés tetszőleges f(q) függvényre (q) f(q) /a -/a q q Az energia: Bose-Einstein statisztika q helyett frekvencia szerinti integrálásra való áttérés rezgési módus energiája rezgési módus betöltöttsége mivel az állapotsűrűség definiciója (1 dimenzió): 3 dimenzióban:

Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje 3-dimenzió – 3 fonon-ág 1 longitudinális + 2 transzverzális Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak -tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció -ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) /a L T q (q) 3-szor annyi különböző rezgési módus, mint ahány darab atomból áll a lánc

meredekség: a hangsebesség Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak -tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció -ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) meredekség: a hangsebesség rezgési módus energiája Az energia: Bose-Einstein statisztika állapotsűrűség fonon ágak száma

meredekség: a hangsebesség Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak -tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció -ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) meredekség: a hangsebesség rezgési módus energiája Az energia: Bose-Einstein statisztika állapotsűrűség fonon ágak száma

meredekség: a hangsebesség Szilárd testek fajhőjének Debye-modellje Debye-modell feltevései (3 dimenzió): 1. izotróp anyag, minden csak -tól függ 2. Iineáris diszperziós reláció -ig 3. módusok száma 3N (N az atomok száma) meredekség: a hangsebesség rezgési módus energiája Az energia: Bose-Einstein statisztika állapotsűrűség fonon ágak száma megválasztása 3-szor annyi különböző rezgési módus, mint ahány darab atomból áll a lánc

Debye-modell (3 dimenzió): Az energia: A fajhő: Debye-hőmérséklet: Illesztés a kísérleti görbére univerzális

Debye-modell (3 dimenzió): heyes megválasztása biztosítja a szabadsági fokok számának megfelelő klasszikus határértéket Az energia: A fajhő: magas hőmérséklet Dulong-Petit érték Debye-hőmérséklet: Illesztés a kísérleti görbére univerzális

Debye-modell (3 dimenzió): heyes megválasztása biztosítja a szabadsági fokok számának megfelelő klasszikus határértéket Az energia: A fajhő: magas hőmérséklet Dulong-Petit érték Debye-hőmérséklet: Illesztés a kísérleti görbére Az alacsony hőmérsékleten a nagy energiájú állapotok betöltöttsége eltűnik, a kis energiájú fononok diszperziós relációja pedig mindig lineárisan indul, ezért univerzális a T→0 viselkedés. univerzális

Fajhő – általános eset (egyatomos kristály) Az energia: 1-gyel való szorzás A fajhő: , ahol

Fajhő – általános eset (egyatomos kristály) Az energia: 1-gyel való szorzás A fajhő: , ahol Az állapotsűrűség számolása: állandó energiájú felület

Szilárd testek hővezetése (nagyon vázlatosan) termikus energia (helyfüggő) szabad úthossz hangsebesség 200 NaF 100 50 20 10 alacsony hőmérsékleten magas hőmérsékleten 5 2 1 hőmérséklettől független 1 5 10 20 50 100

Zéruspont rezgés Aluminium: