Szimuláció

Mi a szimuláció? információ A szimuláció a legáltalánosabb értelemben a megismerés egyik fajtája. A megismerés a tudás megszerzése vagy annak folyamata. A szimuláció célja: a lehető legtöbb információ megszerzése az adott jelenségről, folyamatról, stb.

Az információszerzés módjai Kísérletezés fizikai modellen végzett kísérlet vagy mérés (drága, veszélyes, esetenként lehetetlen) Analízis matematikai összefüggések alkalmazása (bonyolult matematikai eszközök, gyors eredmények, bizonytalanságok) Szimuláció matematikai modellen végzett kísérleti módszer Példa benzinkút forgalma, kell-e új kútfej, stb. Kísérletezés, kiáll egy számláló, napokig figyel, statisztikát csinál. Az extrém eseteket így nem lehet vizsgálni (hírtelen benzin ár emelés-esés, meghibásodás,…) Film lesz!!! Analízis, matematikai módszerek, pl. Markov láncok stb. Példák lesznek!!! Szimuláció: - lehet a matematikai módszerek numerikus megoldása, mert ekkor kevesebb elhanyagolásra van szükség - lehet szimulált kísérlet, ahol megfelelő tulajdonságokkal, kezdeti értékekkel rendelkező objektumokat hozunk létre, és ezek viselkedését vizsgáljuk

Kísérletezés Vetítés, a prezentáció mappájában, almappa.

Analitikus megoldás ℎ =−𝐾 ℎ , ahol h(0)=h0. ℎ − 1 2 𝑑ℎ = −𝐾𝑑𝑡 . ℎ 1 2 1 2 =−Kt+c kezdeti feltételt behelyettesítve 𝑐=2 ℎ 0 . Eredmény: ℎ 𝑡 = 2 ℎ 0 −𝐾𝑡 2 4 𝑇 𝜗 +𝜗=𝐴 𝜙 𝑏 , ahol 𝜗 (0)=0. 𝜗 ℎ =𝑘 𝑒 − 𝑡 𝑇 . Partikuláris (próbafüggvényeket mikor és hogyan lehet alkalmazni?): tetap=c(onstans). Behelyettesítés után: 𝜗 𝑝 =𝐴 𝜙 𝑏 . A teljes megoldás: 𝜗 ℎ =𝑘 𝑒 − 𝑡 𝑇 +𝐴 𝜙 𝑏 . A kezdeti feltételt alkalmazva: 𝑘=−𝐴 𝜙 𝑏 . Az eredmény: 𝜗=𝐴 𝜙 𝑏 1− 𝑒 − 𝑡 𝑇 . ÁBRÁZOLJUK! Lásd még identifikáció! Rezgőrendszert hasonlóan oldjuk meg, mint a termikust, csak a másodfokú egyenlet miatt különböző esetek vannak. Mikor lesz lengés? Mikor lesz „bekúszás”? A félév végén majd megoldjuk programmal!

Szimuláció Ezzel sokat fogunk foglalkozni, példákat már láttunk!

Mikor melyiket alkalmazzuk? Feladat függő, de ha lehet, akkor a sorrendet követjük. kísérletezés analízis szimuláció Mikor melyiket alkalmazzuk? Feladat függő, de ha lehet, akkor a fenti sorrendet követjük. Kísérletezés: ha csak lehet ezt csináljuk (mert pontos, nincs elhanyagolás), nem véletlenül törik az autókat a gyártók, de TGV-t, repülőgépet már nem törnek. Nagyon megfontoltan kísérletezünk az atomerőművekkel kapcsolatosan is! Az is előfordulhat, hogy nem tudjuk elvégezni a kísérletet, mert (még) lehetetlen, pl. mekkora a g a Plutón? Analízis: a modell alkotás mindig nehézségekkel jár, mert nem mindegy, hogy mit, vagy milyen mértékben hanyagolunk el. Ha sikerül, akkor nagyon jó, mert általában függvények a megoldásokat, és azokba behelyettesítve gyorsan kapunk eredményt, valamint függvény vizsgálatokkal az extrémitásokat is megtalálhatjuk, vizsgálhatjuk (optimalizálás). Szimuláció: valós rendszer helyett itt kísérletezünk. Sokkal kevesebb elhanyagolásra van szükség, sőt olyan dolgokat is kipróbálhatunk, amelyek még nem léteznek (pl. új anyagok). A számítások időigényessége a számítógépek fejlődése miatt sokszor már nem számít, bár egyre pontosabb modelleket állítunk fel, így jutunk egyfajta „ördögi” körhöz! Szerepe rohamosan nő, mert „költségmentesen” feszegethetjük a határokat!

Az információ feldolgozás lehetőségei Szimuláció Ismertek: a bemenő jel és a rendszer differenciál egyenlete (leírása) kérdés, hogy mi ebben az esetben a rendszer kimenő jelének időbeni változása Keressük a kiömlési sebességet. A Bernoulli egyenlet zárt tartály esetén: 𝑣 2 2 2𝑔 + ℎ 2 + 𝑝 2 𝛾 = 𝑣 1 2 2𝑔 + ℎ 1 + 𝑝 1 𝛾 A környezet indexe 0, így p2=p0, valamint h2:=0, v2:=v és h1:=h. Ekkor 𝑣 2 2𝑔 + 𝑝 0 𝛾 = 𝑣 1 2 2𝑔 +ℎ+ 𝑝 1 𝛾 Szorozzunk át 2g-vel, majd gyűjtsük a sebességeket egy oldalra, és emeljünk ki: 𝑣 2 − 𝑣 1 2 =2𝑔 ℎ+ 𝑝 1 − 𝑝 0 𝛾 𝑣 2 1− 𝑣 1 2 𝑣 2 =2𝑔 ℎ+ 𝑝 1 − 𝑝 0 𝛾 Az anyagmegmaradás miatt: Fv1=fv , ebből a sebességek arányát helyettesítsük be az egyenlet, majd fejezzük ki a sebességet: 𝑣 2 1− 𝑓 2 𝐹 2 =2𝑔 ℎ+ 𝑝 1 − 𝑝 0 𝛾 𝑣= 2𝑔 ℎ+ 𝑝 1 − 𝑝 0 𝛾 1− 𝑓 2 𝐹 2 Nyitott tartály esetén nincs nyomáskülönbség, így: 𝑣= 2𝑔ℎ 1− 𝑓 2 𝐹 2 Legyen például F=1m2, d=5cm amiből f közel 10-3 következik. Ekkor az arányuk négyzete 10-6, ami az 1 mellett elhanyagolható! A Torricelli formulát kaptuk: 𝑣≈ 2𝑔ℎ dt alatt a sebesség változástól tekintsünk el, és írjuk fel a kiömlési és a „csökkenési” térfogatot. Ezek egyezéséből kapjuk a leíró differenciálegyenletet: ℎ =− 𝑑 2 𝜋 2𝑔 4𝐹 ℎ =−𝐾 ℎ Termikus feladat, egy tömeg hőáramot kap, és a környezetének tud leadni hőt. Mérleg egyenlet: 𝜙𝑏 Δ𝑡=𝜙𝑘 Δ𝑡+𝑚𝑐Δ𝜐 A hőleadás egyenlete: 𝜙𝑘=𝛼𝐹𝜐 Behelyettesítve, majd rendezve: 𝜙𝑏=𝛼𝐹𝜐+𝑚𝑐 Δ𝜐/Δ𝑡 1 𝛼𝐹 𝜙 𝑏 = 𝑚𝑐 𝛼𝐹 𝜐 +𝜐 𝐴𝜙𝑏=𝑇𝜐 ̇+𝜐 Határozzuk meg T mértékegységét, c J/kg/K, alfa W/m2/K. Hasonlítsuk össze a két rendszert elvi síkon. Miért van különbség? Írjuk fel egy egy tömegű csillapított rezgőrendszer egyenletét is: 𝑚𝑦 ̈+𝑘𝑦 ̇+𝑠𝑦=𝐹 Mi a két tároló?

Az információ feldolgozás lehetőségei Identifikáció Ismertek: a bemenő jel és a a kimenő jel (a rendszeré) kérdés, hogy milyen rendszer valósítja meg az adott feladatot (struktúra és paraméter becslés egyidejűleg) Átmeneti függvény, egytárolós rendszer esetén, felrajzolni Felírni az átviteli függvényt, kapcsolat a rajzzal Visszaírni differenciálegyenlet alakra, vessük össze az előzőleg levezetett termikus feladattal! Megmutatni holtidőst is! Mi a holtidő? 𝑦 𝑡 +𝑇 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝐴𝑢 𝑡− 𝑇 𝐻

Az információ feldolgozás lehetőségei Optimális irányítás Ismertek: a kimenő jel és a rendszer differenciál egyenlete (leírása) kérdés, hogy milyen bemenő jel valósítja meg az adott rendszeren a megadott kimenő jelet (integrálkritérium alapján történő optimalizálás) Külön tantárgy van rá!

Modellezési lehetőségek Matemetikai analízis, matematikai modellen Kísérlet a matematikaimodellelen Fizikai modell, kísérletezés Folytonos rendszerek szimulációja Időben diszkrét rendszerek Fizikai modell: pl. kisminta Hibrid számítógép: integrál Időben folytonosként kezelt, de diszkrét módon számított rendszerek

Rendszerek modellezése Matematikai modell - leíró jellemzők (állapotváltozók) - működés egyenletei (differenciál egyenletek) - gerjesztések (bemeneti jelek) - kezdeti feltételek Differenciálegyenletek típusai lineáris – nem-lineáris folytonos – diszkrét determinisztikus - sztochasztikus Állapottér modell ismertetése A rezgőrendszert átírni: 𝑥 1 =𝑦; 𝑥 2 = 𝑥 1 = 𝑦 ; 𝑥 2 = 𝑦 = 𝐹 𝑚 − 𝑘 𝑚 𝑦 − 𝑠 𝑚 𝑦= 𝐹 𝑚 − 𝑘 𝑚 𝑥 2 − 𝑠 𝑚 𝑥 1 Mátrixos alak: 𝑥 1 𝑥 2 = 0 1 − 𝑠 𝑚 − 𝑘 𝑚 𝑥 1 𝑥 2 + 0 1 𝑚 𝐹 𝑦= 1 0 𝑥 1 𝑥 2 +0∙𝐹 Felírhatjuk egyenletrendszer alakban is. Általános algoritmus adható a mátrixos alakra. Nem mindig alkalmazható, pl. tartályos feladat? Lengéstannál azonban általában igen, hőtannál sokszor, stb.

Mechanikai rendszer lineáris állandó együtthatós determinisztikus lineáris – nem-lineáris folytonos – diszkrét determinisztikus - sztochasztikus

Villamos rendszer lineáris állandó együtthatós determinisztikus lineáris – nem-lineáris folytonos – diszkrét determinisztikus - sztochasztikus

Kazán és turbina nemlineáris paraméterváltozó együtthatójú idő-variáns determinisztikus Kazán és turbina lineáris – nem-lineáris folytonos – diszkrét determinisztikus - sztochasztikus

Benzinkút rendszer nemlineáris paraméterváltozó együtthatójú idő-variáns sztochasztikus Benzinkút rendszer lineáris – nem-lineáris folytonos – diszkrét determinisztikus - sztochasztikus

Szimulációs lehetőségek Folytonos rendszerek (szimulációja) kifejezés orientált blokk orientált Diszkrét rendszerek Kifejezés orientáltak pl.: a matematikai programok, ahol egyenleteket oldunk meg. Blokk orientált: pl. az adatfolyam programozásra épült rendszerek, ilyeneket fogunk írni LabVIEWban, de RITSIM2000 (bemutatni!). Az egyenleteket át kell alakítani, „blokkosítani”, az analóg számítógépnél fogjuk látni, hogyan!!!